Марковское ядро

В теории вероятностей марковское ядро ​​(также известное как стохастическое ядро ​​или вероятностное ядро ) — это отображение, которое в общей теории марковских процессов играет ту же роль, что и матрица перехода в теории марковских процессов с конечным пространством состояний .

Формальное определение

Позволять $(X,{\mathcal {A}})$ и $(Y,{\mathcal {B}})$ быть измеримыми пространствами . Ядро Маркова с исходным кодом $(X,{\mathcal {A}})$ и цель $(Y,{\mathcal {B}})$, иногда пишется как $\kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})$, является функцией $\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]$ со следующими свойствами:

1. За каждый (фиксированный) $B_{0}\in {\mathcal {B}}$, карта $x\mapsto \kappa (B_{0},x)$ является ${\mathcal {A}}$- измеримый
2. За каждый (фиксированный) $x_{0}\in X$, карта $B\mapsto \kappa (B,x_{0})$ является вероятностной мерой $(Y,{\mathcal {B}})$

Другими словами, он соответствует каждой точке $x\in X$ мера вероятностная $\kappa (dy|x):B\mapsto \kappa (B,x)$ на $(Y,{\mathcal {B}})$ такая, что для любого измеримого множества $B\in {\mathcal {B}}$, карта $x\mapsto \kappa (B,x)$ измеримо относительно $\sigma$-алгебра ${\mathcal {A}}$.

Примеры

Простое случайное блуждание по целым числам

Брать $X=Y=\mathbb {Z}$, и ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )$ ( силовой набор $\mathbb {Z}$). Тогда ядро ​​Маркова полностью определяется вероятностью, которую оно присваивает одиночным элементам. $\{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z}$ для каждого $n\in X=\mathbb {Z}$:

$\kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}$.

Теперь случайное блуждание $\kappa$ это идет вправо с вероятностью $p$ и влево с вероятностью $1-p$ определяется

$\kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z}$

где $\delta$ это дельта Кронекера . Вероятности перехода $P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)$ для случайного блуждания эквивалентны ядру Маркова.

Общие марковские процессы со счетным пространством состояний

В общем возьмите $X$ и $Y$ как счетные, так и ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)$. Опять же, ядро ​​Маркова определяется вероятностью, которую оно присваивает одноэлементным наборам для каждого $i\in X$

$\kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}$,

Мы определяем марковский процесс, определяя вероятность перехода $P(j|i)=K_{ji}$ где цифры $K_{ji}$ определить (счетную) стохастическую матрицу $(K_{ji})$ т.е.

${\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji}&=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}$

Затем мы определяем

$\kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}$.

Опять же, вероятность перехода, стохастическая матрица и ядро ​​Маркова являются эквивалентными переформулировками.

Марковское ядро, определяемое ядерной функцией и мерой

Позволять $\nu$ быть мерой ​ $(Y,{\mathcal {B}})$, и $k:Y\times X\to [0,\infty ]$ по измеримая функция отношению к продукту $\sigma$-алгебра ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ такой, что

$\int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X$,

затем $\kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)$ то есть отображение

${\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}$

определяет ядро ​​Маркова. Этот пример обобщает пример счетного марковского процесса, где $\nu$ был счетной мерой . Более того, он включает в себя и другие важные примеры, такие как ядра свертки, в частности ядра Маркова, определенные уравнением теплопроводности. Последний пример включает ядро ​​Гаусса на $X=Y=\mathbb {R}$ с $\nu (dx)=dx$ стандартная мера Лебега и

$k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(y-x)^{2}/(2t^{2})}$.

Измеримые функции

Брать $(X,{\mathcal {A}})$ и $(Y,{\mathcal {B}})$ произвольные измеримые пространства и пусть $f:X\to Y$ быть измеримой функцией. Теперь определите $\kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)$ т.е.

$\kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ для всех $B\in {\mathcal {B}}$.

Обратите внимание, что индикаторная функция $\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}$ является ${\mathcal {A}}$-измеримо для всех $B\in {\mathcal {B}}$ если только $f$ измерима.

Этот пример позволяет нам думать о ядре Маркова как об обобщенной функции со (в общем) случайным, а не определенным значением. То есть это многозначная функция , значения которой не имеют одинакового веса.

Процесс Гальтона – Ватсона

В качестве менее очевидного примера возьмем $X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$, и $(Y,{\mathcal {B}})$ настоящие цифры $\mathbb {R}$ со стандартной сигма-алгеброй борелевских множеств . Затем

$\kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}$

где $x$ это количество элементов в состоянии $n$, $\xi _{i}$ являются iid случайными величинами (обычно со средним значением 0) и где $\mathbf {1} _{B}$ – индикаторная функция. Для простого случая подбрасывания монеты это моделирует различные уровни доски Гальтона .

Состав марковских ядер

Учитывая измеримые пространства $(X,{\mathcal {A}})$, $(Y,{\mathcal {B}})$ мы рассматриваем ядро ​​Маркова $\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]$ как морфизм $\kappa :X\to Y$. Интуитивно, а не присваивать каждому $x\in X$ четко выраженная точка $y\in Y$ ядро назначает «нечеткую» точку $Y$ который известен только с некоторым уровнем неопределенности, как и реальные физические измерения. Если у нас есть третье измеримое пространство $(Z,{\mathcal {C}})$и вероятностные ядра $\kappa :X\to Y$ и $\lambda :Y\to Z$, мы можем определить композицию $\lambda \circ \kappa :X\to Z$ по уравнению Чепмена-Колмогорова

$(\lambda \circ \kappa )(dz|x)=\int _{Y}\lambda (dz|y)\kappa (dy|x)$.

Композиция ассоциативна в силу теоремы о монотонной сходимости и тождественной функции, рассматриваемой как ядро ​​Маркова (т. е. дельта-мера $\kappa _{1}(dx'|x)=\delta _{x}(dx')$) — единица измерения этой композиции.

Эта композиция определяет структуру категории на измеримых пространствах с марковскими ядрами как морфизмы, впервые определенные Ловером: категория марковских ядер .

Вероятностное пространство, определяемое распределением вероятностей и марковским ядром

Композиция вероятностного пространства $(X,{\mathcal {A}},P_{X})$ и вероятностное ядро $\kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})$ определяет вероятностное пространство $(Y,{\mathcal {B}},P_{Y}=\kappa \circ P_{X})$, где вероятностная мера определяется выражением

$P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy|x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B|x)P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B|\cdot ).$

Характеристики

Полупрямой продукт

Позволять $(X,{\mathcal {A}},P)$ быть вероятностным пространством и $\kappa$ ядро Маркова из $(X,{\mathcal {A}})$ некоторым $(Y,{\mathcal {B}})$. Тогда существует единственная мера $Q$ на $(X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$, такой, что:

$Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.$

Регулярное условное распределение

Позволять $(S,Y)$ быть борелевским пространством , $X$ а $(S,Y)$-значная случайная величина в пространстве меры $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ и ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ суб- $\sigma$-алгебра. Тогда существует марковское ядро $\kappa$ от $(\Omega ,{\mathcal {G}})$ к $(S,Y)$, такой, что $\kappa (\cdot ,B)$ это версия условного ожидания $\mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]$ для каждого $B\in Y$, то есть

$P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in {\mathcal {G}}.$

Это называется регулярным условным распределением $X$ данный ${\mathcal {G}}$ и не определяется однозначно.

Обобщения

Переходные ядра обобщают марковские ядра в том смысле, что для всех $x\in X$, карта

$B\mapsto \kappa (B|x)$

может быть любой (неотрицательной) мерой, не обязательно вероятностной.

Внешние ссылки

• Марковское ядро ​​в nLab .

Ссылки

• Бауэр, Хайнц (1996), Теория вероятностей , де Грюйтер, ISBN  3-11-013935-9

§36. Ядра и полугруппы ядер

См. также

• Категория ядер Маркова