Многокрышка бифильтрация

2- и 3-кратное накрытие 7 точек плоскости по определенному параметру масштаба.

Бифильтрация мультипокрытия — это двухпараметрическая последовательность вложенных топологических пространств, полученная в результате покрытия конечного множества в метрическом пространстве растущими метрическими шарами . Это многомерное расширение фильтрации смещений , которое собирает информацию о плотности базового набора данных путем фильтрации точек смещений по каждому индексу в зависимости от того, сколько шаров покрывает каждую точку. Многопокровная бифильтрация была объектом исследования в рамках многомерного анализа устойчивой гомологии и топологических данных .

Определение

Следуя обозначениям Corbet et al. (2022), учитывая конечное множество $A\subset \mathbb {R} ^{d}$, многонакрывающая бифильтрация на $A$ представляет собой двухпараметрическую фильтрацию, индексируемую $\mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{\text{op}}$ определяется по индексу как $\operatorname {Cov} _{r,k}:=\{b\in \mathbb {R} ^{d}:||b-a||\leq r{\text{ for at least }}k{\text{ points }}a\in A\}$, где $\mathbb {N}$ обозначает неотрицательные целые числа. Обратите внимание, что когда $k=1$ исправлено, мы восстанавливаем фильтрацию смещения .

Характеристики

Бифильтрация с несколькими покрытиями допускает топологически эквивалентную политопальную модель полиномиального размера, называемую « ромбовидной бифильтрацией». Ромбовидная бифильтрация — это расширение ромбовидной мозаики, введенное Эдельсбруннером и Осангом в 2021 году для вычисления постоянной гомологии бифильтрации с несколькими покрытиями вдоль одной оси набора индексаций. Ромбовидная бифильтрация на множестве $n$ точки в евклидовом пространстве можно вычислить за полиномиальное время.

Пример ромбовидной мозаики на наборе из пяти точек.

Многопокровная бифильтрация также топологически эквивалентна многопокровной конструкции нерва, которую Шихи назвал бифильтрацией подразделения-Чеха , которая учитывает барицентрическое подразделение нерва смещений. В частности, бифильтрация Чеха с разделением и мультипокрытием слабо эквивалентны и, следовательно, имеют изоморфные модули гомологии во всех измерениях. Однако бифильтрация подразделения-Чеха имеет экспоненциальное количество симплексов в размере набора данных и, следовательно, не поддается эффективным прямым вычислениям.