Формула Мелера – Гейне

В математике формула Мелера – Гейне, введенная Густавом Фердинандом Мелером. и Эдуард Гейне описывает асимптотическое поведение полиномов Лежандра при стремлении индекса к бесконечности вблизи краев носителя веса. Существуют обобщения на другие классические ортогональные многочлены , которые также называются формулой Мелера-Гейне. Формула дополняет формулы Дарбу, описывающие асимптотику внутри и вне носителя.

Полиномы Лежандра

Простейший случай формулы Мелера – Гейне гласит, что

$\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }P_{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=J_{0}(z),$

где P _n — полином Лежандра порядка n , а J _{0 —} порядка функция Бесселя 0. Предел равномерен по z в произвольной ограниченной области на комплексной плоскости .

Полиномы Якоби

Обобщение на полиномы Якоби P ^{( а , б )}
_n предоставлен Габором Сегё. следующее

$\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(1-{\frac {z^{2}}{2n^{2}}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),$

где Jα _α функция Бесселя порядка — .

Полиномы Лагерра

Используя обобщенные полиномы Лагерра и вырожденные гипергеометрические функции , их можно записать как

$\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z^{2}}{4n}}\right)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z),$

где L ^{( а )}
_n — функция Лагерра.

Полиномы Эрмита

Используя выражения, эквивалентные полиномам Эрмита и полиномам Лагерра, где два уравнения , существуют их можно записать как

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{4^{n}n!}}{\sqrt {n}}H_{2n}\left({\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\frac {1}{2}}J_{-{\frac {1}{2}}}(z)\\\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{4^{n}n!}}H_{2n+1}\left({\frac {z}{2{\sqrt {n}}}}\right)&=(2z)^{\frac {1}{2}}J_{\frac {1}{2}}(z),\end{aligned}}$

где H _n — функция Эрмита.