Гипотеза Смейла

Гипотеза Смейла , названная в честь Стивена Смейла , представляет собой утверждение о том, что группа диффеоморфизмов имеет 3-сферы гомотопический тип своей группы изометрий, ортогональной группы O(4) . Это было доказано в 1983 году Алленом Хэтчером . ^[1]

Эквивалентные утверждения [ править ]

Существует несколько эквивалентных утверждений гипотезы Смейла. Во-первых, компонент узла в пространстве гладких вложений круга в 3-пространство имеет гомотопический тип круглых кругов, что эквивалентно O(3) . Интересно, что это утверждение не эквивалентно обобщенной гипотезе Смейла в более высоких измерениях.

Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что группа диффеоморфизмов трехмерного шара , ограничивающихся единицей на границе, стягиваема.

Еще одно эквивалентное утверждение состоит в том, что пространство римановых метрик постоянной кривизны на трехмерной сфере стягиваемо.

Высшие измерения [ править ]

(Ложное) утверждение о том, что включение $O(n+1)\to {\text{Diff}}(S^{n})$ является слабой эквивалентностью для всех $n$ иногда имеется в виду, когда речь идет об обобщенной гипотезе Смейла . Для $n=1$ , это классика, ибо $n=2$ Смейл сам это доказал. ^[2]

Для $n\geq 5$ предположение неверно из-за несостоятельности ${\text{Diff}}(S^{n})/O(n+1)$ быть сжимаемым. ^[3]

В конце 2018 года Тадаюки Ватанабэ выпустил препринт, доказывающий несостоятельность гипотезы Смейла в оставшемся четырехмерном случае. ^[4] опираясь на работу над интегралом Концевича , обобщением интеграла связи Гаусса . По состоянию на 2021 год доказательство остается неопубликованным в математическом журнале.

См. также [ править ]

Комплект сфер

Ссылки [ править ]

^ Хэтчер, Аллен Э. (май 1983 г.). «Доказательство гипотезы Смейла, Diff(S ³) ≃ O(4)». Анналы математики . 117 (3): 553. doi : 10.2307/2007035 . JSTOR 2007035 .
^ Смейл, Стивен (август 1959 г.). «Диффеоморфизмы 2-сферы». Труды Американского математического общества . 10 (4): 621–626. дои : 10.2307/2033664 . JSTOR 2033664 .
^ Хэтчер, Аллен (2012). «50-летний взгляд на группы диффеоморфизмов» (PDF) .
^ Ватанабэ, Тадаюки (19 августа 2019 г.). «Некоторые экзотические нетривиальные элементы рациональных гомотопических групп Diff(S ⁴)". arXiv : 1812.02448 [ math.GT ].

Внешние ссылки [ править ]

Хартнетт, Кевин (26 октября 2021 г.). «Как Тадаюки Ватанабэ опроверг главную гипотезу о сферах» . Журнал Кванта .

[1] Хэтчер, Аллен Э. (май 1983 г.). «Доказательство гипотезы Смейла, Diff(S ³) ≃ O(4)». Анналы математики . 117 (3): 553. doi : 10.2307/2007035 . JSTOR 2007035 .

[2] Смейл, Стивен (август 1959 г.). «Диффеоморфизмы 2-сферы». Труды Американского математического общества . 10 (4): 621–626. дои : 10.2307/2033664 . JSTOR 2033664 .

[3] Хэтчер, Аллен (2012). «50-летний взгляд на группы диффеоморфизмов» (PDF) .

[4] Ватанабэ, Тадаюки (19 августа 2019 г.). «Некоторые экзотические нетривиальные элементы рациональных гомотопических групп Diff(S ⁴)". arXiv : 1812.02448 [ math.GT ].

[1]

[2]

[3]

[4]