Отношение зависимости

Не путать с отношением зависимости , которое представляет собой бинарное отношение, симметричное и рефлексивное.

В математике отношение зависимости — это бинарное отношение , обобщающее отношение линейной зависимости .

Позволять $X$ быть набором . (Двоичное) отношение $\triangleleft$ между элементом $a$ из $X$ и подмножество $S$ из $X$ называется отношением зависимости , записываемым $a\triangleleft S$, если он удовлетворяет следующим свойствам:

1. если $a\in S$, затем $a\triangleleft S$;
2. если $a\triangleleft S$, то существует конечное подмножество $S_{0}$ из $S$, такой, что $a\triangleleft S_{0}$;
3. если $T$ является подмножеством $X$ такой, что $b\in S$ подразумевает $b\triangleleft T$, затем $a\triangleleft S$ подразумевает $a\triangleleft T$;
4. если $a\triangleleft S$ но $a\ntriangleleft S-\lbrace b\rbrace$ для некоторых $b\in S$, затем $b\triangleleft (S-\lbrace b\rbrace )\cup \lbrace a\rbrace$.

Учитывая отношение зависимости $\triangleleft$ на $X$, подмножество $S$ из $X$ называется независимым, если $a\ntriangleleft S-\lbrace a\rbrace$ для всех $a\in S.$ Если $S\subseteq T$, затем $S$ говорят, охватывает $T$ если $t\triangleleft S$ для каждого $t\in T.$ $S$ говорят, что основа это $X$ если $S$ является независимым и $S$ пролеты $X.$

Если $X$ представляет собой непустое множество с отношением зависимости $\triangleleft$, затем $X$ всегда имеет основание относительно $\triangleleft .$ Кроме того, любые два основания $X$ имеют одинаковую мощность .

Если $a\triangleleft S$ и $S\subseteq T$, затем $a\triangleleft T$, используя свойство 3. и 1.

Примеры

• Позволять $V$ быть векторным пространством над полем $F.$ Отношение $\triangleleft$, определяемый $\upsilon \triangleleft S$ если $\upsilon$ находится в подпространстве, охватываемом $S$, является отношением зависимости. Это эквивалентно определению линейной зависимости .
• Позволять $K$ быть поля расширением $F.$ Определять $\triangleleft$ к $\alpha \triangleleft S$ если $\alpha$ является алгебраическим над $F(S).$ Затем $\triangleleft$ является отношением зависимости. Это эквивалентно определению алгебраической зависимости .

См. также

• матроид

В эту статью включены материалы из отношения зависимости на PlanetMath , которое распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .