Отношение масса-светимость

В астрофизике соотношение масса -светимость — это уравнение, определяющее связь между массой звезды и ее светимостью , впервые замеченное Якобом Карлом Эрнстом Хальмом . Связь представлена ​​уравнением: $${\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a}$$ где L _⊙ и M _⊙ — светимость и масса Солнца и 1 < a < 6 . Значение a = 3,5 обычно используется для звезд главной последовательности . Это уравнение и обычное значение a = 3,5 применимы только к звездам главной последовательности с массами 2 M _⊙ < M < 55 M _⊙ и не применимы к красным гигантам или белым карликам. Когда звезда приближается к светимости Эддингтона, тогда a = 1.

Таким образом, соотношения для звезд с разными диапазонами масс в хорошем приближении выглядят следующим образом:

$${\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 0.23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}&(M<0.43M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}&(0.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 1.4\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}&(2M_{\odot }<M<55M_{\odot })\\{\frac {L}{L_{\odot }}}&\approx 32000{\frac {M}{M_{\odot }}}&(M>55M_{\odot })\end{aligned}}$$

менее 0,43 M _⊙ конвекция Для звезд с массой является единственным процессом переноса энергии, поэтому соотношение существенно меняется. Для звезд с массами M > 55 M _⊙ соотношение выравнивается и становится L ∝ M. но на самом деле эти звезды недолговечны, потому что они нестабильны и быстро теряют вещество из-за сильных солнечных ветров. Можно показать, что это изменение связано с увеличением радиационного давления в массивных звездах. Эти уравнения определяются эмпирически путем определения массы звезд в двойных системах, расстояние до которых известно с помощью стандартных измерений параллакса или других методов. После того, как будет нанесено достаточное количество звезд, звезды образуют линию на логарифмическом графике, а наклон линии дает правильное значение a .

Другая форма, справедливая для звезд главной последовательности K-типа , позволяющая избежать разрыва показателя степени, была предложена Кунцем и Вангом; там написано: $${\frac {L}{L_{\odot }}}\approx \left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{a(M)}\qquad \qquad (0.20M_{\odot }<M<0.85M_{\odot })$$ с $$a(M)=-141.7\cdot M^{4}+232.4\cdot M^{3}-129.1\cdot M^{2}+33.29\cdot M+0.215$$ ( М в М _⊙ ). Это соотношение основано на данных Манна и его соавторов. которые использовали спектры умеренного разрешения близлежащих карликов позднего K и M с известными параллаксами и интерферометрически определенными радиусами для уточнения их эффективных температур и светимости. Эти звезды также использовались в качестве калибровочной выборки для объектов-кандидатов на Кеплер . Помимо предотвращения разрыва показателя степени при M = 0,43 M _⊙ , соотношение также восстанавливает a = 4,0 для M ≃ 0,85 M _⊙ .

Соотношение масса/светимость важно, поскольку его можно использовать для определения расстояния до двойных систем , которые находятся слишком далеко для обычных измерений параллакса , используя метод, называемый « динамический параллакс ». В этом методе массы двух звезд в двойной системе оцениваются, обычно через массу Солнца. Затем с помощью Кеплера законов небесной механики рассчитывается расстояние между звездами. Как только это расстояние будет найдено, расстояние можно будет определить по дуге, проходящей по небу, что дает предварительное измерение расстояния. На основе этого измерения и видимых звездных величин обеих звезд можно определить светимость, а с помощью соотношения масса-светимость - массы каждой звезды. Эти массы используются для перерасчета расстояния разделения, и процесс повторяется. Процесс повторяется много раз, и может быть достигнута точность до 5%. Соотношение масса/светимость также можно использовать для определения времени жизни звезд, отметив, что время жизни приблизительно пропорционально M/L, хотя можно обнаружить, что более массивные звезды имеют более короткую продолжительность жизни, чем та, которую предсказывает соотношение M/L. Более сложные расчеты учитывают потерю массы звезды с течением времени.

Вывод

Для получения теоретически точного соотношения масса/светимость необходимо найти уравнение генерации энергии и построить термодинамическую модель внутренней части звезды. Однако основное соотношение L ∝ M ³ можно получить, используя некоторые базовые физические принципы и упрощая предположения. Первый такой вывод был выполнен астрофизиком Артуром Эддингтоном в 1924 году. Вывод показал, что звезды можно приблизительно смоделировать как идеальные газы, что было новой, несколько радикальной идеей в то время. Далее следует несколько более современный подход, основанный на тех же принципах.

Важным фактором, контролирующим светимость звезды (энергию, излучаемую в единицу времени), является скорость рассеяния энергии в ее объеме. Там, где нет тепловой конвекции , это рассеивание происходит в основном за счет диффузии фотонов. Интегрируя первый закон Фика по поверхности некоторого радиуса r в зоне излучения (где конвекция пренебрежимо мала), мы получаем полный исходящий поток энергии, который равен светимости в силу сохранения энергии : $$L=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}$$ где D фотонов — коэффициент диффузии , а u — плотность энергии.

Обратите внимание, что это предполагает, что звезда не является полностью конвективной и что все процессы выделения тепла ( нуклеосинтез ) происходят в ядре, ниже зоны излучения. Эти два предположения неверны для красных гигантов , которые не подчиняются обычному соотношению масса-светимость. Звезды малой массы также полностью конвективны, следовательно, не подчиняются закону.

При аппроксимации звезды черным телом плотность энергии связана с температурой законом Стефана-Больцмана : $$u={\frac {4}{c}}\,\sigma _{B}\,T^{4}$$ где $$\sigma _{B}={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$$ – постоянная Стефана–Больцмана , c – скорость света , k _B – постоянная Больцмана и $\hbar$ – приведенная постоянная Планка .

Как и в теории коэффициента диффузии в газах , коэффициент диффузии D приближенно удовлетворяет: $$D={\frac {1}{3}}c\,\lambda$$ фотона где λ — длина свободного пробега .

Поскольку в ядре звезды вещество полностью ионизовано (а также там, где температура того же порядка, что и внутри ядра), фотоны сталкиваются преимущественно с электронами, и поэтому λ удовлетворяет условию $$\lambda ={\frac {1}{n_{e}\sigma _{e\cdot \gamma }}}$$ Здесь $n_{e}$ - плотность электронов и: $$\sigma _{e\cdot \gamma }={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {\alpha \hbar c}{m_{e}c^{2}}}\right)^{2}$$ – сечение электрон-фотонного рассеяния, равное томсоновскому сечению . α — постоянная тонкой структуры , а m _e — масса электрона.

Средняя плотность звездных электронов связана с массой звезды M и радиусом R. $$\langle n_{e}\rangle ={\frac {M}{m_{n}4\pi R^{3}/3}}$$

Наконец, по теореме вириала полная кинетическая энергия равна половине гравитационной потенциальной энергии , _EG поэтому, если средняя масса ядра равна m _n , то средняя кинетическая энергия на ядро ​​удовлетворяет: $${\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}E_{G}{\frac {m_{n}}{M}}=C{\frac {3}{10}}{\frac {GMm_{n}}{R}}$$ где температура T усреднена по звезде, а C — фактор порядка единицы, связанный со строением звезды и может быть оценен по приближенному показателю политропы звезды . Обратите внимание, что это не справедливо для достаточно больших звезд, у которых давление излучения больше, чем давление газа в зоне излучения, поэтому соотношение между температурой, массой и радиусом иное, как описано ниже.

Подводя итоги, мы также принимаем r равным R с точностью до множителя, а n _e at r заменяем его звездным средним с точностью до множителя. Суммарный коэффициент для Солнца составляет примерно 1/15, и мы получаем: $${\begin{aligned}L&=-4\pi \,r^{2}D{\frac {\partial u}{\partial r}}\approx 4\pi \,R^{2}D{\frac {u}{R}}\\L&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {64\pi ^{2}}{9}}{\frac {\sigma _{B}}{\sigma _{e\cdot \gamma }}}{\frac {R^{4}T^{4}m_{n}}{M}}\\&\approx {\frac {1}{15}}{\frac {2\pi ^{3}}{9\cdot 5^{5}}}{\frac {G^{4}\,m_{e}^{2}\,m_{n}^{5}}{\alpha ^{2}\hbar ^{5}}}\,M^{3}=4\cdot {10^{26}}_{W}\,\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3}\\\end{aligned}}$$

Добавляемый коэффициент фактически зависит от M , поэтому закон имеет приближенное значение $M^{3.5}$ зависимость.

Различение малых и больших звездных масс.

Основная статья: светимость Эддингтона

Различить случаи малых и больших звездных масс можно, получив приведенные выше результаты с помощью радиационного давления. В этом случае проще использовать оптическую непрозрачность. $\kappa$ и учитывать внутреннюю температуру T _I непосредственно; точнее, можно считать среднюю температуру в зоне радиации .

Рассмотрение начнем с того, что отметим связь между давлением излучения P _рад и светимостью. Градиент радиационного давления равен переданному импульсу, поглощенному излучением, что дает: $${\frac {dP_{rad}}{dr}}=-{\frac {\kappa \rho }{c}}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},$$ где с — скорость света. Здесь, $1/\kappa \rho =l$; фотон означает свободный путь.

Радиационное давление связано с температурой соотношением $P_{rad}={\frac {4\sigma }{3c}}{T_{I}}^{4}$, поэтому $${T_{I}}^{3}{\frac {dT_{I}}{dr}}=-{\frac {3\kappa \rho }{16\sigma }}{\frac {L}{4\pi r^{2}}},$$ откуда непосредственно следует, что $$L\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R}{\rho }}\varpropto {T_{I}}^{4}{\frac {R^{4}}{M}}.$$

В зоне излучения гравитация уравновешивается давлением на газ, исходящим как от него самого (приближаемого давлением идеального газа), так и от излучения. Для достаточно малой звездной массы последняя пренебрежимо мала, и можно прийти к $$T_{I}\varpropto {\frac {M}{R}}$$ как раньше. Точнее, поскольку интегрирование производилось от 0 до R, то $T_{I}-T_{E}$ слева, но температурой поверхности T _E можно пренебречь по отношению к внутренней температуре T _I .

Отсюда непосредственно следует, что $$L\varpropto M^{3}.$$

Для достаточно большой массы звезды давление излучения больше давления газа в зоне излучения. Подстановка радиационного давления вместо использованного выше давления идеального газа дает $${T_{I}}^{4}\varpropto {\frac {M^{2}}{R^{4}}},$$ следовательно $$L\varpropto M.$$

Температура ядра и поверхности

В первом приближении звезды представляют собой излучатели черного тела с площадью поверхности 4 πR. ² . Таким образом, из закона Стефана-Больцмана светимость связана с температурой поверхности T _S , а через нее с цветом звезды соотношением $$L=4\pi R^{2}\sigma _{B}T_{S}^{4}$$ где σ _B — постоянная Стефана–Больцмана , 5,67 × 10 ⁻⁸ Вт м ⁻² К ⁻⁴

Светимость равна полной энергии, производимой звездой в единицу времени. Поскольку эта энергия производится в результате нуклеосинтеза, обычно в ядре звезды (это не относится к красным гигантам ), температура ядра связана со светимостью скоростью нуклеосинтеза в единице объема: $$L={\frac {dE}{dt}}\approx \epsilon \,{\frac {4\pi }{3}}R^{3}\,n_{A}\,n_{B}\,{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {3m_{R}}}}\,{\sqrt {E_{0}(T)}}{\frac {S(E_{0}(T))}{kT}}e^{-{\frac {3E_{0}(T)}{kT}}}$$ Здесь ε — полная энергия, выделяющаяся в цепной реакции или реакционном цикле . ${\textstyle E_{0}=\left({\sqrt {E_{G}}}\,kT/2\right)^{2/3}}$ – энергия пика Гамова , зависящая от , _EG фактора Гамова . Кроме того, S ( E )/E — сечение реакции, n — плотность числа, $m_{R}=m_{A}\cdot m_{B}/(m_{A}+m_{B})$ — приведенная масса для столкновения частиц, а A , B — два вида, участвующих в предельной реакции (например, оба обозначают протон в протон-протонной цепной реакции , или A — протон, а B — протон). ¹⁴
₇ Н
ядро цикла CNO ).

Поскольку радиус R сам по себе является функцией температуры и массы, можно решить это уравнение, чтобы получить температуру ядра.