Формальное распространение

В математике формальное распределение — это бесконечная сумма степеней формальной переменной, обычно обозначаемая $z$ в теории формальных распределений. Коэффициенты этих бесконечных сумм могут представлять собой множество различных математических структур, таких как векторные пространства или кольца , но в приложениях чаще всего принимают значения в алгебре над полем . Этим бесконечным суммам разрешено иметь бесконечное количество положительных и отрицательных степеней, и они не обязаны сходиться , поэтому не определяют функции формальной переменной. Скорее, они интерпретируются как распределения , то есть линейные функционалы на соответствующем пространстве тестовых функций . Они тесно связаны с формальными рядами Лорана , но не обязаны иметь конечное число отрицательных степеней. В частности, это означает, что даже если коэффициенты имеют кольцевые значения, не обязательно возможно перемножить два формальных распределения.

Они важны при изучении алгебр вершинных операторов , поскольку вершинный оператор, играющий центральную роль в теории, принимает значения в пространстве формальных распределений со значениями эндоморфизма .

Определение над C -алгеброй

Позволять $R$ быть алгеброй над $\mathbb {C}$, как и в случае приложений к вершинным алгебрам. Ан $R$-значное формальное распределение в $n$ переменные $z_{1},\cdots ,z_{n}$ это произвольный ряд $$A(z_{1},\cdots ,z_{n})=\sum _{i_{1}\in \mathbb {Z} }\cdots \sum _{i_{n}\in \mathbb {Z} }A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}z_{1}^{i_{1}}\cdots z_{n}^{i_{n}},$$с каждым $A_{i_{1},\cdots ,i_{n}}\in R$. Эти ряды образуют векторное пространство, обозначаемое $R[[z_{1},z_{1}^{-1},\cdots ,z_{n},z_{n}^{-1}]]$. Хотя в пространстве формальных распределений можно перемножить некоторые пары элементов, в целом во всем пространстве произведения не существует.

На практике количество рассматриваемых переменных часто составляет всего одну или две.

Продукты

Если переменные в двух формальных распределениях не пересекаются, то произведение корректно определено.

Произведение формального распределения на полином Лорана также корректно определено.

Формальные распределения по одной переменной

Для этого раздела мы рассматриваем $R[[z,z^{-1}]]$.

Формальный остаток

Формальный вычет представляет собой линейное отображение $\operatorname {Res} :R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R$, заданный $$\operatorname {Res} f(z)=\operatorname {Res} \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}z^{n}=f_{-1}.$$Формальный остаток $f(z)$ также можно написать $\operatorname {Res} _{z}f(z),\operatorname {Res} _{z=0}f(z)$ или $\operatorname {Res} f(z)dz$. Он назван в честь остатков комплексного анализа, и когда $f(z)$ — мероморфная функция в окрестности нуля комплексной плоскости, оба понятия совпадают.

Формальная производная

Формальная производная представляет собой линейное отображение $\partial _{z}:R[[z,z^{-1}]]\rightarrow R[[z,z^{-1}]]$. Для элемента $az^{n}$, его действие определяется выражением $$az^{n}\mapsto \partial _{z}az^{n}=naz^{n-1},$$расширен линейно, чтобы дать карту всего пространства.

В частности, для любого формального распределения $f(z)$, $$\operatorname {Res} \partial _{z}f(z)=0$$

Интерпретация как распространение

Это объясняет, почему их называют распределениями: учитывая, что пространство «пробных функций» является пространством полиномов Лорана, любое формальное распределение определяет линейный функционал от тестовых функций. Если $\varphi \in \mathbb {C} [z,z^{-1}]$ – полином Лорана, формальное распределение $f\in \mathbb {C} [[z,z^{-1}]]$ определяет линейный функционал по формуле $$\varphi \mapsto \langle f,\varphi \rangle :=\operatorname {Res} f(z)\varphi (z).$$

Формальные распределения двух переменных

Для этого раздела мы рассматриваем $R[[z,z^{-1},w,w^{-1}]]$.

Дельта-распределение

Одним из наиболее важных распределений является дельта-функция , и действительно, ее можно реализовать как формальное распределение двух переменных.

Это определено $$\delta (z-w):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }z^{-n-1}w^{n}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n},$$и удовлетворяет для любого формального распределения $f(z)$$$\langle \delta (z-w),f(z)\rangle =\operatorname {Res} _{z}\delta (z-w)f(z)=f(w),$$где теперь индекс $z$ на $\operatorname {Res} _{z}$ необходимо определить, для какой переменной считывается остаток.

Расширения нуля

Тонкий момент, который касается формальных распределений двух переменных, заключается в том, что существуют выражения, которые наивно исчезают, но на самом деле отличны от нуля в пространстве распределений.

Рассмотрим выражение $(z-w)^{-1}$, рассматриваемая как функция двух комплексных переменных. Когда $|z|>|w|$, это расширение серии $(z-w)_{+}^{-1}:=-{\frac {1}{z}}\sum _{n>0}\left({\frac {z}{w}}\right)^{n}$, в то время как для $|z|<|w|$, он имеет расширение серии $(z-w)_{+}^{-1}:={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}$.

Затем $$0=(z-w)^{-1}-(z-w)^{-1}{\overset {?}{=}}(z-w)_{+}^{-1}-(z-w)_{-}^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {w}{z}}\right)^{n}=\delta (z-w).$$

Таким образом, равенство не имеет места.

См. также

• Формальный степенной ряд
• Алгебра вершинных операторов