Условия Рэнкина – Гюгонио.

Условия Рэнкина -Гюгонио , называемые также условиями скачка Рэнкина-Гюгонио или соотношениями Рэнкина-Гюгонио , описывают взаимосвязь между состояниями по обе стороны от ударной волны или волны горения ( горение или детонация ) в одномерном потоке в жидкости или одномерная деформация твердых тел. Они названы в честь работы, проведенной шотландским инженером и физиком Уильямом Джоном Маккуорном Рэнкином. ^[1] и французский инженер Пьер Анри Гюгонио . ^[2]^[3]

Основная идея условий скачка состоит в том, чтобы рассмотреть, что происходит с жидкостью, когда она претерпевает быстрые изменения. Рассмотрим, например, вбивание поршня в трубку, наполненную нереагирующим газом. Возмущение распространяется по жидкости несколько быстрее скорости звука . Поскольку возмущение распространяется сверхзвуково , это ударная волна , и жидкость после скачка не имеет предварительной информации о ней. В системе отсчета, движущейся вместе с волной, атомы или молекулы перед волной врезаются в волну со сверхзвуковой скоростью. На микроскопическом уровне они претерпевают столкновения в масштабе длины свободного пробега , пока не останавливаются в постударном потоке (но двигаясь в системе отсчета волны или трубки). Массовая передача кинетической энергии нагревает постударный поток. Поскольку предполагается, что средняя длина свободного пробега пренебрежимо мала по сравнению со всеми другими масштабами длины при гидродинамической обработке, фронт ударной волны по существу представляет собой гидродинамический разрыв. . Условия скачка затем устанавливают переход между потоком до и после удара, основанный исключительно на сохранении массы, импульса и энергии. Условия верны, хотя на самом деле ударная волна имеет положительную толщину. Этот нереагирующий пример ударной волны также обобщается на реагирующие потоки, где фронт горения (либо детонация, либо дефлаграция) в первом приближении может быть смоделирован как разрыв.

Управляющие уравнения

В системе координат, движущейся с разрывом, условия Ренкина – Гюгонио можно выразить как: ^[4]

$\rho _{1}\,u_{1}=\rho _{2}\,u_{2}\equiv m$	Сохранение массы
$\rho _{1}\,u_{1}^{2}+p_{1}=\rho _{2}\,u_{2}^{2}+p_{2}$	Сохранение импульса
$h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}$	Сохранение энергии

где m – массовый расход на единицу площади, ρ ₁ и ρ ₂ – массовая плотность жидкости до и после волны, u ₁ и u ₂ – скорость жидкости до и после волны, p ₁ и p ₂ — давления в двух областях, а h ₁ и h ₂ — удельные (в смысле единицы массы ) энтальпии в двух областях. Если, кроме того, поток является реактивным, то уравнения сохранения видов требуют, чтобы

\omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,\dots ,N,\qquad {\text{Conservation of species}}

исчезать как выше, так и ниже разрыва. Здесь, $\omega$ — массовая скорость производства i -го вида от общего количества N , участвующих в реакции.

Сочетание сохранения массы и импульса дает нам

{\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}

которая определяет прямую линию, известную как линия Майкельсона-Релея , названная в честь русского физика Владимира А. Михельсона (обычно называемого на английском языке Майкельсоном) и лорда Рэлея , которая имеет отрицательный наклон (поскольку $m^{2}$ всегда положителен) в $p-\rho ^{-1}$ самолет. ^[5] Используя уравнения Ренкина-Гюгонио сохранения массы и импульса для исключения u ₁ и u ₂ , уравнение сохранения энергии можно выразить как уравнение Гюгонио:

h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).

Обратная плотность также может быть выражена как удельный объем , $v=1/\rho$ . Наряду с этим необходимо указать связь между вышестоящим и нисходящим уравнением состояния.

f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})

где $Y_{i}$ – это массовая доля вида. Наконец, уравнение теплотворного состояния $h=h(p,\rho ,Y_{i})$ предполагается известным, т.е.

h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).

Упрощенные соотношения Рэнкина – Гюгонио. ^[4]

Следующие предположения сделаны для упрощения уравнений Рэнкина – Гюгонио. Предполагается, что смесь подчиняется закону идеального газа , так что соотношение между уравнениями состояния ниже по потоку и выше по потоку можно записать как

{\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}

где $R$ - универсальная газовая постоянная и средняя молекулярная масса ${\overline {W}}$ предполагается постоянным (в противном случае ${\overline {W}}$ будет зависеть от массовой доли всех видов). Если предположить, что удельная теплоемкость при постоянном давлении $c_{p}$ также является постоянным поперек волны, изменение энтальпии (уравнение теплотворного состояния) можно просто записать как

h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})

где первый член в приведенном выше выражении представляет собой количество тепла, выделяемого волной на единицу массы восходящей смеси, а второй член представляет собой явный нагрев. Исключив температуру с помощью уравнения состояния и подставив приведенное выше выражение для изменения энтальпии в уравнение Гюгонио, получим уравнение Гюгонио, выраженное только через давление и плотность:

\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,

где $\gamma$ - коэффициент удельной теплоемкости , который для воздуха обычной комнатной температуры (298 КЕЛЬВИН) = 1,40. Кривая Гюгонио без тепловыделения ( $q=0$ ) часто называют «ударным гугониотом» или просто (н) «Гюгонио». Наряду с уравнением линии Рэлея, приведенное выше уравнение полностью определяет состояние системы. Эти два уравнения можно записать компактно, введя следующие безразмерные масштабы:

{\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.

Тогда уравнение линии Рэлея и уравнение Гюгонио упрощаются до

{\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}

Учитывая условия вверх по течению, пересечение двух приведенных выше уравнений в ${\tilde {v}}$ - ${\tilde {p}}$ самолет определяет условия ниже по течению; в ${\tilde {v}}$ - ${\tilde {p}}$ плоскости, условие вверх по течению соответствует точке $({\tilde {v}},{\tilde {p}})=(1,1)$ . Если не происходит тепловыделения, например ударные волны без химической реакции, то $\alpha =0$ . Кривые Гюгонио асимптоты к линиям ${\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)$ и ${\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)$ , которые на рисунке изображены пунктирными линиями. Как указано на рисунке, разрешена только белая область, ограниченная этими двумя асимптотами, так что $\mu$ является положительным. Ударные волны и детонации соответствуют верхней левой белой области, где ${\tilde {p}}>1$ и ${\tilde {v}}<1$ , то есть давление увеличивается, а удельный объем уменьшается поперек волны ( условие Чепмена – Жуге для детонации - это когда линия Рэлея касается кривой Гюгонио). С другой стороны, дефлаграции соответствуют нижней правой белой области, где ${\tilde {p}}<1$ и ${\tilde {v}}>1$ , то есть давление уменьшается, а удельный объем поперек волны увеличивается; падение давления в пламени обычно очень мало, что редко учитывается при изучении дефлаграции.

Для ударных волн и детонаций рост давления поперек волны может принимать любые значения между $0\leq {\tilde {p}}<\infty$ ; чем круче наклон линии Рэлея, тем сильнее волна. Напротив, здесь отношение удельного объема ограничено конечным интервалом $(\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)$ (верхняя оценка получена для случая ${\tilde {p}}\rightarrow 0$ поскольку давление не может принимать отрицательные значения). Если $\gamma =1.4$ (двухатомный газ без возбуждения колебательной моды), интервал $1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6$ , другими словами, ударная волна может увеличить плотность максимум в 6 раз. Для одноатомного газа $\gamma =5/3$ , допустимый интервал $1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4$ . Для двухатомных газов с возбужденной колебательной модой имеем $\gamma =9/7$ приводящий к интервалу $1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8$ . В действительности коэффициент удельной теплоемкости в ударной волне не является постоянным из-за диссоциации и ионизации молекул, но даже в этих случаях коэффициент плотности в целом не превышает примерно 11–13 раз . ^[6]

Вывод из уравнений Эйлера

Рассмотрим газ в одномерном контейнере (например, длинной тонкой трубке). Предположим, что жидкость невязкая (т. е. в ней нет эффектов вязкости, таких как, например, трение о стенки трубы). Кроме того, предположим, что теплопередача за счет проводимости или излучения отсутствует и что гравитационным ускорением можно пренебречь. Такую систему можно описать следующей системой законов сохранения , известной как одномерные уравнения Эйлера , которая в форме сохранения имеет вид:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)

( 1 )

{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)

( 2 )

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{t}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],

( 3 )

где

$\rho ,$ жидкости массовая плотность ,
$u,$ жидкости скорость ,
$e,$ удельная внутренняя энергия жидкости,
$p,$ жидкости давление и
$E^{t}=\rho e+\rho {\tfrac {1}{2}}u^{2},$ - полная плотность энергии жидкости, [Дж/м ³], а e - его удельная внутренняя энергия

Предположим далее, что газ калорически идеален и что поэтому политропное уравнение состояния простого вида

p=\left(\gamma -1\right)\rho e,

( 4 )

допустимо, где $\gamma$ - постоянное соотношение удельных теплоемкостей $c_{p}/c_{v}$ . Эта величина также появляется как показатель политропы политропного процесса, описываемого формулой

{\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constant}}.

( 5 )

Подробный список уравнений течения сжимаемой жидкости и т. д. можно найти в отчете NACA Report 1135 (1953). ^[7]

Примечание. Для калорически идеального газа $\gamma$ является постоянной и для термически идеального газа $\gamma$ является функцией температуры. В последнем случае зависимость давления от плотности массы и внутренней энергии может отличаться от той, которую дает уравнение ( 4 ).

Условия прыжка

Прежде чем двигаться дальше, необходимо ввести понятие состояния скачка – состояния, которое сохраняется при разрыве или резком изменении.

Рассмотрим одномерную ситуацию, в которой происходит скачок скалярной сохраняющейся физической величины. $w$ , который подчиняется интегральному закону сохранения

{\frac {d}{dt}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}w\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}

( 6 )

для любого $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{1}<x_{2}$ , и, следовательно, уравнением в частных производных

{\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)=0

( 6' )

для плавных решений. ^[8]

Пусть решение демонстрирует скачок (или удар) при $x=x_{s}(t)$ , где $x_{1}<x_{s}(t)$ и $x_{s}(t)<x_{2}$ , затем

{\frac {d}{dt}}\left[\left(\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w\,dx\right)\right]=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)\,dx

( 7 )

\therefore w_{1}{\frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{\frac {dx_{s}}{dt}}+\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t}\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t}\,dx=-f(w){\Big |}_{x_{1}}^{x_{2}}

( 8 )

Индексы 1 и 2 обозначают условия непосредственно перед и сразу после скачка соответственно, т.е. ${\textstyle w_{1}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ и ${\textstyle w_{2}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$ . $\therefore$ есть поэтому знак .

Обратите внимание: чтобы прийти к уравнению ( 8 ), мы использовали тот факт, что $dx_{1}/dt=0$ и $dx_{2}/dt=0$ .

Теперь позвольте $x_{1}\to x_{s}(t)-\epsilon$ и $x_{2}\to x_{s}(t)+\epsilon$ , когда у нас есть ${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\to 0}$ и ${\textstyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\to 0}$ , и в пределе

u_{s}\left(w_{1}-w_{2}\right)=f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right),

( 9 )

где мы определили $u_{s}=dx_{s}(t)/dt$ системы ( характеристика или скорость удара ), которая путем простого деления определяется выражением

u_{s}={\frac {f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right)}{w_{1}-w_{2}}}.

( 10 )

Уравнение ( 9 ) представляет собой условие скачка закона сохранения ( 6 ). Шоковая ситуация возникает в системе, где ее характеристики пересекаются, и при этих условиях требованием единственности однозначного решения является то, чтобы решение удовлетворяло условию допустимости или условию энтропии . Для физически реальных приложений это означает, что решение должно удовлетворять условию энтропии Лакса

f'\left(w_{2}\right)>u_{s}>f'\left(w_{1}\right),

( 11 )

где $f'\left(w_{1}\right)$ и $f'\left(w_{2}\right)$ представляют собой характерные скорости в условиях восходящего и нисходящего потока соответственно.

Шоковое состояние

В случае гиперболического закона сохранения ( 6 ) мы видели, что скорость ударной волны можно получить простым делением. Однако для одномерных уравнений Эйлера ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ) у нас есть векторная переменная состояния ${\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$ и условия прыжка становятся

u_{s}\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}

( 12 )

u_{s}\left(\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}\right)=\left(\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}\right)-\left(\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}\right)

( 13 )

u_{s}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\left[\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\right]-\left[\rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\right].

( 14 )

Уравнения ( 12 ), ( 13 ) и ( 14 ) известны как условия Рэнкина-Гюгонио для уравнений Эйлера и получены путем применения законов сохранения в интегральной форме в контрольном объеме, включающем скачок. Для этой ситуации $u_{s}$ невозможно получить простым делением. Однако это можно показать, преобразуя задачу к движущейся системе координат.(параметр $u_{s}':=u_{s}-u_{1}$ , $u'_{1}:=0$ , $u'_{2}:=u_{2}-u_{1}$ удалить $u_{1}$ ) и некоторые алгебраические манипуляции (включающие исключение $u'_{2}$ из преобразованного уравнения ( 13 ) с использованием преобразованного уравнения ( 12 )), что скорость ударной волны определяется выражением

u_{s}=u_{1}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}},

( 15 )

где ${\textstyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$ - скорость звука в жидкости в условиях выше по потоку. ^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]

Ударная линия Гюгонио и Рэлея в твердых телах

Ударная линия Гюгонио и Рэлея в *плоскости p* — v . Кривая представляет собой график уравнения ( 17 ) с *известными p* ₁ , v ₁ , c ₀ и s . Если p ₁ = 0 , кривая пересечет ось удельного объема в точке v ₁ .

Для ударов в твердых телах выражение в замкнутой форме, такое как уравнение ( 15 ), не может быть получено из первых принципов. Вместо этого экспериментальные наблюдения ^[15] указывают на то, что линейное соотношение ^[16] Вместо этого можно использовать ударную волну Гюгонио в плоскости u _s - up _вид , которая имеет

u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}

( 16 )

где c ₀ — объемная скорость звука в материале (при одноосном сжатии), s наклон ударной волны Гюгонио), полученный из подгонки к экспериментальным данным, а up _{— параметр (} = u ₂ — скорость частицы внутри сжатого материала. область за ударным фронтом.

Приведенное выше соотношение в сочетании с уравнениями Гюгонио сохранения массы и импульса можно использовать для определения ударной волны Гюгонио в плоскости p — v , где v — удельный объем (на единицу массы): ^[17]

p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)}{\left[\rho _{2}-s\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)\right]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)}{\left[v_{1}-s\left(v_{1}-v_{2}\right)\right]^{2}}}\,.

( 17 )

Альтернативные уравнения состояния, такие как уравнение состояния Ми – Грюнайзена, также могут использоваться вместо приведенного выше уравнения.

Ударная Гюгонио описывает место всех возможных термодинамических состояний, в которых может существовать материал после ударной волны, проецируемое на двумерную плоскость состояний. Таким образом, это набор состояний равновесия, который не отражает конкретно путь, по которому материал претерпевает трансформацию.

Слабые толчки являются изэнтропическими , и изэнтропа представляет собой путь, по которому материал нагружается от начального до конечного состояния волной сжатия со сходящимися характеристиками. Таким образом, в случае слабых толчков Гюгонио будет падать прямо на изэнтропу и может использоваться непосредственно как эквивалентный путь. В случае сильного шока мы уже не можем сделать это упрощение напрямую. Однако для инженерных расчетов считается, что изэнтропа достаточно близка к Гюгонио, поэтому можно сделать то же предположение.

Если Гюгонио представляет собой приблизительно путь нагружения между состояниями для «эквивалентной» волны сжатия, то условия скачка для пути ударного нагружения можно определить, проведя прямую линию между начальным и конечным состояниями. Эта линия называется линией Рэлея и имеет следующее уравнение:

p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}\left(\rho _{1}-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}}}\right)

( 18 )

Предел упругости по Гюгонио

Большинство твердых материалов подвергаются пластическим деформациям при сильных ударах. Точка на ударной волне Гюгонио, в которой материал переходит из чисто упругого состояния в упругопластическое состояние, называется пределом упругости Гюгонио (HEL), а давление, при котором происходит этот переход, обозначается p _HEL . Значения p _HEL могут находиться в диапазоне от 0,2 ГПа до 20 ГПа. Выше HEL материал теряет большую часть своей прочности на сдвиг и начинает вести себя как жидкость.

Магнитогидродинамика

Условия Рэнкина-Гюгонио в магнитной гидродинамике интересно рассмотреть, поскольку они очень важны для астрофизических приложений. Поперек разрыва нормальная составляющая $H_{n}$ магнитного поля $\mathbf {H}$ и тангенциальная составляющая $\mathbf {E} _{t}$ электрического поля $\mathbf {E} =-\mathbf {u} \times \mathbf {H} /c$ (бесконечный предел проводимости) должен быть непрерывным. Таким образом, мы имеем ^[18]

{\begin{aligned}0=[\![j]\!],\,\,j\equiv \rho u_{n}&\quad {\text{conservation of mass}},\\0=[\![H_{n}]\!]&\quad {\text{continuity of normal component of }}\mathbf {H} ,\end{aligned}}

где $[\![\cdot ]\!]$ – это разница между значениями какой-либо физической величины по обе стороны разрыва. Остальные условия имеют вид ^[18]

{\begin{aligned}j^{2}[\![1/\rho ]\!]+[\![p]\!]+[\![\mathbf {H} _{t}^{2}]\!]/8\pi =0&\quad {\text{conservation of normal momentum}},\\j[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of tangential momentum}},\\j[\![h+j^{2}/2\rho ^{2}+\mathbf {u} _{t}^{2}/2+\mathbf {H} _{t}^{2}/4\pi \rho ]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}\cdot \mathbf {u} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of energy}},\\H_{n}[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=j[\![\mathbf {H} _{t}/\rho ]\!]&\quad {\text{continuity of tangential components of }}\mathbf {E} .\end{aligned}}

Эти условия являются общими в том смысле, что они включают контактные разрывы ( $j=0,\,H_{n}\neq 0,\,[\![\mathbf {u} ]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} ]\!]=0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0$ ) тангенциальные разрывы ( $j=H_{n}=0,\,[\![\mathbf {u} _{t}\rho ]\!]\neq 0,\,[\![\mathbf {H} _{t}]\!]\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0$ ), вращательные или альфвеновские разрывы ( ${\textstyle j=H_{n}{\sqrt {\rho /4\pi }}\neq 0,\,[\![\rho ]\!]=[\![u_{n}]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} _{t}]\!]=0}$ ) и ударные волны ( $j\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0$ ).

См. также

Ссылки

^ Рэнкин, WJM (1870 г.). «К термодинамической теории волн конечных продольных возмущений» . Философские труды Лондонского королевского общества . 160 : 277–288. дои : 10.1098/rstl.1870.0015 .
^ Гюгонио, Х. (1887). «Воспоминания о распространении движений в телах, особенно совершенных газах (первая часть)» . Журнал Политехнической школы (на французском языке). 57 :3–97. См. также: Гюгонио, Х. (1889) «Мемуары о распространении движений в телах, особенно в совершенных газах (вторая часть)] , Journal of the École Polytechnique , vol. 58, стр. 1–125.
^ Салас, доктор медицины (2006). «Любопытные события, ведущие к теории ударных волн, приглашенная лекция, 17-й симпозиум по ударному взаимодействию , Рим , 4–8 сентября» (PDF) .
^ Jump up to: ^а ^б Уильямс, ФА (2018). Теория горения. ЦРК Пресс.
^ Михельсон, В.А. (1893). «Нормальная скорость воспламенения горючих газовых смесей». Труды Московского университета . 10 :1–92.
^ Зельдович, Ю.Б., и Райзер, Ю.П. (2012). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Курьерская корпорация.
^ Исследовательский персонал Эймса (1953), «Уравнения, таблицы и диаграммы для сжимаемого потока» (PDF) , отчет 1135 Национального консультативного комитета по аэронавтике.
^ Обратите внимание, что интегральный закон сохранения ( 6 ) в общем случае не может быть получен из дифференциального уравнения ( 6' ) путем интегрирования по $[x_{1};x_{2}]$ поскольку ( 6' ) справедливо только для гладких решений.
^ Липманн, Х.В., и Рошко, А. (1957). Элементы газодинамики. Курьерская корпорация.
^ Ландау, LD (1959). Е. М. Лифшиц, Механика жидкости. Курс теоретической физики, 6.
^ Шапиро, AH (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости. Джон Уайли и сыновья.
^ Андерсон, JD (1990). Современное сжимаемое течение: в исторической перспективе (Том 12). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
^ Уизем, Великобритания (1999). Линейные и нелинейные волны . Уайли. ISBN 978-0-471-94090-6 .
^ Курант Р. и Фридрихс К.О. (1999). Сверхзвуковое течение и ударные волны (Том 21). Springer Science & Business Media.
^ Аренс, Т.Дж. (1993), «Уравнение состояния» (PDF) , Ударное сжатие твердых тел под высоким давлением, ред. Дж. Р. Асай и М. Шахинпур , Springer-Verlag, Нью-Йорк: 75–113, doi : 10.1007/978-1-4612-0911-9_4 , ISBN 978-1-4612-6943-4
^ Хотя широко распространено мнение о наличии линейной зависимости, экспериментальные данные показывают, что почти 80% протестированных материалов не удовлетворяют этому широко распространенному линейному поведению. См. Керли, Г.И., 2006, «Линейное соотношение US-up в физике ударных волн», arXiv : 1306.6916 ; для подробностей.
^ Пуарье, JP. (2008) «Введение в физику недр Земли», издательство Кембриджского университета.
^ Jump up to: ^а ^б Ландау, Лев Давидович, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред. Том. 8. elsevier, 2013. Раздел 70, стр. 240.

[[Ran-70]-1] Рэнкин, WJM (1870 г.). «К термодинамической теории волн конечных продольных возмущений» . Философские труды Лондонского королевского общества . 160 : 277–288. дои : 10.1098/rstl.1870.0015 .

[[Hug-87]-2] Гюгонио, Х. (1887). «Воспоминания о распространении движений в телах, особенно совершенных газах (первая часть)» . Журнал Политехнической школы (на французском языке). 57 :3–97. См. также: Гюгонио, Х. (1889) «Мемуары о распространении движений в телах, особенно в совершенных газах (вторая часть)] , Journal of the École Polytechnique , vol. 58, стр. 1–125.

[[Sal-06]-3] Салас, доктор медицины (2006). «Любопытные события, ведущие к теории ударных волн, приглашенная лекция, 17-й симпозиум по ударному взаимодействию , Рим , 4–8 сентября» (PDF) .

[Williams2018-4] Jump up to: ^а ^б Уильямс, ФА (2018). Теория горения. ЦРК Пресс.

[5] Михельсон, В.А. (1893). «Нормальная скорость воспламенения горючих газовых смесей». Труды Московского университета . 10 :1–92.

[6] Зельдович, Ю.Б., и Райзер, Ю.П. (2012). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Курьерская корпорация.

[[Ame-53]-7] Исследовательский персонал Эймса (1953), «Уравнения, таблицы и диаграммы для сжимаемого потока» (PDF) , отчет 1135 Национального консультативного комитета по аэронавтике.

[8] Обратите внимание, что интегральный закон сохранения ( 6 ) в общем случае не может быть получен из дифференциального уравнения ( 6' ) путем интегрирования по $[x_{1};x_{2}]$ поскольку ( 6' ) справедливо только для гладких решений.

[9] Липманн, Х.В., и Рошко, А. (1957). Элементы газодинамики. Курьерская корпорация.

[10] Ландау, LD (1959). Е. М. Лифшиц, Механика жидкости. Курс теоретической физики, 6.

[11] Шапиро, AH (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости. Джон Уайли и сыновья.

[12] Андерсон, JD (1990). Современное сжимаемое течение: в исторической перспективе (Том 12). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.

[[Whi-99]-13] Уизем, Великобритания (1999). Линейные и нелинейные волны . Уайли. ISBN 978-0-471-94090-6 .

[14] Курант Р. и Фридрихс К.О. (1999). Сверхзвуковое течение и ударные волны (Том 21). Springer Science & Business Media.

[15] Аренс, Т.Дж. (1993), «Уравнение состояния» (PDF) , Ударное сжатие твердых тел под высоким давлением, ред. Дж. Р. Асай и М. Шахинпур , Springer-Verlag, Нью-Йорк: 75–113, doi : 10.1007/978-1-4612-0911-9_4 , ISBN 978-1-4612-6943-4

[Kerley-16] Хотя широко распространено мнение о наличии линейной зависимости, экспериментальные данные показывают, что почти 80% протестированных материалов не удовлетворяют этому широко распространенному линейному поведению. См. Керли, Г.И., 2006, «Линейное соотношение US-up в физике ударных волн», arXiv : 1306.6916 ; для подробностей.

[17] Пуарье, JP. (2008) «Введение в физику недр Земли», издательство Кембриджского университета.

[landau-18] Jump up to: ^а ^б Ландау, Лев Давидович, Е.М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред. Том. 8. elsevier, 2013. Раздел 70, стр. 240.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]