Лемма Хопфа

В математике лемма Хопфа , названная в честь Эберхарда Хопфа , утверждает, что если непрерывная вещественная функция в области евклидова пространства с достаточно гладкой границей гармонична внутри и значение функции в точке на границе больше чем значения в соседних точках внутри области, то производная функции в направлении внешней нормали строго положительна. Лемма — важный инструмент в доказательстве принципа максимума и в теории уравнений в частных производных . Лемма Хопфа была обобщена для описания поведения решения эллиптической задачи при приближении к точке на границе, где достигается ее максимум.

В частном случае лапласиана лемма Хопфа была открыта Станиславом Зарембой в 1910 году. В более общей ситуации для эллиптических уравнений она была независимо найдена Хопфом и Ольгой Олейник в 1952 году, хотя работа Олейника не так широко известна, как работа Хопфа, в западных странах. Существуют также расширения, которые позволяют использовать домены с углами.

Заявление для гармонических функций

Пусть Ω — ограниченная область в R ^н с гладкой границей. Пусть f — вещественная функция, непрерывная на замыкании Ω и гармоническая на Ω. Если x является граничной точкой такой, что f ( x ) > f ( y ) для всех y в Ω, достаточно близких к x , то (односторонняя) производная по направлению от f в направлении направленной наружу нормали к границе в точке x строго положителен.

Доказательство гармонических функций

Вычитая константу, можно предположить, что f ( x ) = 0 и f строго отрицательна во внутренних точках вблизи x . Поскольку граница Ω гладкая, в Ω содержится небольшой шарик, замыкание которого касается границы в точке x и пересекает границу только в точке x . Тогда достаточно проверить результат, заменив Ω этим шаром. Масштабируя и транслируя, достаточно проверить результат для единичного шара в R ^н , предполагая, что f ( x ) равно нулю для некоторого единичного вектора x и f ( y ) < 0, если | й | < 1.

По неравенству Гарнака, примененному к − f

$\displaystyle {-f(rx)\geq -{1-r \over (1+r)^{n-1}}f(0),}$

при r < 1. Следовательно

$\displaystyle {{f(x)-f(rx) \over 1-r}={-f(rx) \over 1-r}\geq -{1 \over (1+r)^{n-1}}f(0)>-{f(0) \over 2^{n-1}}>0.}$

Следовательно, производная по направлению в точке x ограничена снизу строго положительной константой в правой части.

Общее обсуждение

второго порядка Рассмотрим равномерно эллиптический оператор вида

$Lu=a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+b_{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(x)u,\qquad x\in \Omega .$

В частности, наименьшее собственное значениенастоящая симметричная матрица $a_{ij}(x)$ ограничена снизу положительной константой, не зависящей от $x$.Здесь $\Omega$ является открытым ограниченным подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и можно предположить, что $c\leq 0$.

Слабый принцип максимума гласит, что решение уравнения $Lu=0$ в $\Omega$ достигает максимального значения при закрытии ${\overline {\Omega }}$ в какой-то момент на границе $\partial \Omega$. Позволять $x_{0}\in \partial \Omega$ быть такой точкой, то обязательно

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})\geq 0,$

где $\partial /\partial \nu$ обозначает внешнюю нормальную производную . Это просто следствие того, что $u(x)$ должно быть неубывающим, так как $x$ подход $x_{0}$. Лемма Хопфа усиливает это наблюдение, доказывая, что при мягких предположениях о $\Omega$ и $L$, у нас есть

${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0.$

Точная формулировка леммы такова. Предположим, что $\Omega$ представляет собой ограниченную область в $\mathbb {R} ^{2}$ и пусть $L$ быть оператором, описанным выше. Позволять $u$ быть классным $C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ и удовлетворяем дифференциальному неравенству

$Lu\geq 0,\qquad {\textrm {in}}~\Omega .$

Позволять $x_{0}\in \partial \Omega$ быть дано так, чтобы $0\leq u(x_{0})=\max _{x\in {\overline {\Omega }}}u(x)$.Если (я) $\Omega$ является $C^{2}$ в $x_{0}$и (ii) $c\leq 0$, то либо $u$ является константой, или ${\frac {\partial u}{\partial \nu }}(x_{0})>0$, где $\nu$ является нормальным устройством, указывающим наружу, как указано выше.

Приведенный выше результат можно обобщить в нескольких отношениях. Предположение о регулярности $\Omega$ можно заменить условием внутреннего шара: лемма справедлива при условии, что существует открытый шар $B\subset \Omega$ с $x_{0}\in \partial B$. Также можно рассмотреть функции $c$ которые принимают положительные значения, при условии, что $u(x_{0})=0$. Доказательство и другое обсуждение см. В ссылках ниже.

См. также

• Принцип максимума Хопфа

Ссылки

• Эванс, Лоуренс (2000), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество , ISBN  0-8218-0772-2
• Френкель, Л.Е. (2000), Введение в принципы максимума и симметрию в эллиптических задачах , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-461955
• Кранц, Стивен Г. (2005), Геометрическая теория функций: исследования в области комплексного анализа , Springer, стр. 127–128, ISBN  0817643397
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных I. Основная теория , Прикладные математические науки, том. 115 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  9781441970541 (Лемму Хопфа Тейлор называет «принципом Зарембы».)

Внешние ссылки

• Айк Микаелян, Хенрик Шаххолян Лемма Хопфа для одного класса сингулярных/вырожденных УЧП
• Лемма Хопфа для класса дробных сингулярных/вырожденных УЧП
• Д.Е. Апушкинская, А.И. Назаров Контрпример к лемме Хопфа-Олейника (эллиптический случай)