Круг Ван Ламоэна

Круг Ван Ламоена проходит через шесть окружностей. $A_{b}$, $A_{c}$, $B_{c}$, $B_{a}$, $C_{a}$, $C_{b}$

В евклидовой плоской геометрии круг Ван Ламоена — это особый круг , связанный с любым данным треугольником. $T$. Он содержит центры описанных шести треугольников, определенных внутри $T$ по трем медианам .

Конкретно, пусть $A$, $B$, $C$ быть вершинами ​ $T$, и пусть $G$ быть его центроидом (пересечением трех его медиан). Позволять $M_{a}$, $M_{b}$, и $M_{c}$ быть серединами боковых линий $BC$, $CA$, и $AB$, соответственно. Оказывается, центры описанных шести треугольников $AGM_{c}$, $BGM_{c}$, $BGM_{a}$, $CGM_{a}$, $CGM_{b}$, и $AGM_{b}$ лежат на общем круге, который представляет собой круг Ван Ламоена. $T$.

История

Круг Ван Ламоена назван в честь математика Флор ван Ламоена который поставил его в качестве задачи в 2000 году. Доказательство было предоставлено Кином Ю. Ли в 2001 году. и редакция амер. Математика. Ежемесячно в 2002 году.

Характеристики

Центром круга Ван Ламоена является точка $X(1153)$ в Кларка Кимберлинга полном списке центров треугольников .

В 2003 году Алексей Мякишев и Питер Ю. Ву доказали, что обратная теорема почти верна в следующем смысле: пусть $P$ быть любой точкой внутри треугольника, и $AA'$, $BB'$, и $CC'$ быть ее цевианами , то есть отрезками линий , соединяющими каждую вершину с $P$ и расширяются до тех пор, пока каждый не встретится с противоположной стороной. Тогда центры описанных шести треугольников $APB'$, $APC'$, $BPC'$, $BPA'$, $CPA'$, и $CPB'$ лежат на одном круге тогда и только тогда, когда $P$ является центроидом $T$ или его ортоцентр (пересечение трех его высот ). Более простое доказательство этого результата было дано Нгуеном Минь Ха в 2005 году.

См. также

• Парирующий круг
• Лестер круг