Теорема Лестера

В евклидовой плоской геометрии разностороннем теорема Лестера утверждает, что в любом треугольнике две точки Ферма , девятиточечный центр и описанный центр лежат на одной и той же окружности .Результат назван в честь Джун Лестер, опубликовавшей его в 1997 году. ^[1] и круг, проходящий через эти точки, назвал кругом Лестера Кларк Кимберлинг . ^[2]Лестер доказал этот результат, используя свойства комплексных чисел ; последующие авторы дали элементарные доказательства ^[3]^[4]^[5]^[6], доказательства с использованием векторной арифметики, ^[7] и компьютеризированные доказательства. ^[8] Центр круга Лестера также является центром треугольника. Это центр, обозначенный как X(1116) в Энциклопедии Треугольных Центров . ^[9] Недавно Питер Мозес обнаружил, что лежит еще 21 центр треугольника на круге Лестера . Точки пронумерованы от X(15535) до X(15555) в Энциклопедии центров треугольников . ^[10]

Обобщение Жиберта

В 2000 году Бернар Гиберт предложил обобщение теоремы Лестера, включающее гиперболу Киперта треугольника. Его результат можно сформулировать следующим образом: каждый круг с диаметром, который является хордой гиперболы Киперта и перпендикулярен линии Эйлера треугольника, проходит через точки Ферма . ^[11]^[12]

Обобщения Дао

Первое обобщение Дао

В 2014 году Дао Тхань Оай распространил результат Гиберта на каждую прямоугольную гиперболу . Обобщение таково: пусть $H$ и $G$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы, и пусть $F_{+}$ и $F_{-}$ — две точки гиперболы, симметричные относительно ее центра ( антиподальные точки ), где касательные в этих точках параллельны прямой $HG$ . Позволять $K_{+}$ и $K_{-}$ две точки на гиперболе, касательные которых пересекаются в точке $E$ на линии $HG$ . Если линия $K_{+}K_{-}$ пересекает $HG$ в $D$ , а перпендикуляр серединный $DE$ пересекает гиперболу в точке $G_{+}$ и $G_{-}$ , то шесть очков $F_{+}$ , $F_{-},$ $E,$ $F,$ $G_{+}$ , и $G_{-}$ лежать на круге. Когда прямоугольная гипербола является гиперболой Киперта и $F_{+}$ и $F_{-}$ являются двумя точками Ферма , обобщение Дао становится обобщением Жиберта. ^[12]^[13]

Второе обобщение Дао

В 2015 году Дао Тхань Оай предложил еще одно обобщение круга Лестера, на этот раз связанное с кубом Нойберга . Это можно сформулировать следующим образом: Пусть $P$ — точка на кубике Нейберга , и пусть $P_{A}$ быть отражением $P$ в линии $BC$ , с $P_{B}$ и $P_{C}$ определяется циклически. Линии $AP_{A}$ , $BP_{B}$ , и $CP_{C}$ известно, что они совпадают в точке, обозначенной как $Q(P)$ . Четыре пункта $X_{13}$ , $X_{14}$ , $P$ , и $Q(P)$ лежать на круге. Когда $P$ в этом суть $X(3)$ , известно, что $Q(P)=Q(X_{3})=X_{5}$ , что делает обобщение Дао повторной формулировкой теоремы Лестера. ^[13]^[14]^[15]^[16]