Уравнение Борна – Ланде

Уравнение Борна-Ланде является средством расчета энергии решетки кристаллического ионного соединения . В 1918 году Макс Борн и Альфред Ланде предположили, что энергия решетки может быть получена из электростатического потенциала ионной решетки и потенциальной энергии отталкивания.

$E=-{\frac {N_{A}Mz^{+}z^{-}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Где:

• E = энергия решетки.
• N _A = постоянная Авогадро ;
• M = константа Маделунга , относящаяся к геометрии кристалла;
• С ⁺ = числовой заряд катиона
• С ⁻ = числовой заряд аниона
• e = элементарный заряд , 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ С
• ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

  4π е ₀ = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ С ² /(Дж·м)

• r ₀ = расстояние между ближайшим катионом [ +ve ] и анионом [-ve ].
• n = показатель Борна, обычно число от 5 до 12, определяется экспериментально путем измерения сжимаемости твердого тела или выводится теоретически.

Вывод

Ионная решетка моделируется как совокупность твердых упругих сфер, которые сжимаются вместе за счет взаимного притяжения электростатических зарядов ионов. Они достигают наблюдаемого равновесного расстояния друг от друга благодаря уравновешивающему отталкиванию на коротком расстоянии.

Электростатический потенциал

Электростатическая потенциальная энергия E _пары между парой ионов одинакового и противоположного заряда равна:

$E_{\text{pair}}=-{\frac {z^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

где

z = величина заряда одного иона

e = элементарный заряд, 1,6022 × 10 ⁻¹⁹ С

ε ₀ = диэлектрическая проницаемость свободного пространства

4 π е ₀ = 1,112 × 10 ⁻¹⁰ С ² /(Дж·м)

r = расстояние, разделяющее ионные центры

Для простой решетки, состоящей из ионов с одинаковым и противоположным зарядом в соотношении 1:1, взаимодействия между одним ионом и всеми другими ионами решетки необходимо суммировать для расчета E _M , иногда называемого Маделунгом или энергией решетки:

$E_{\text{M}}=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

где

M = константа Маделунга , которая связана с геометрией кристалла.

r = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

Отталкивающий термин

Борн и Ланде предположили, что отталкивающее взаимодействие между ионами решетки будет пропорционально ⁠ 1 / р ^н ⁠ так, чтобы член энергии отталкивания E _R был выражен:

$E_{\text{R}}={\frac {B}{r^{n}}}$

где

B = постоянное масштабирование силы отталкивающего взаимодействия

r = ближайшее расстояние между двумя ионами противоположного заряда

n = показатель Борна, число от 5 до 12, обозначающее крутизну отталкивающего барьера.

Общая энергия

Таким образом, полную интенсивную потенциальную энергию иона в решетке можно выразить как сумму потенциалов Маделунга и потенциала отталкивания:

$E(r)=-{\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r}}+{\frac {B}{r^{n}}}$

Минимизация этой энергии по отношению к r дает равновесное разделение r ₀ в терминах неизвестной константы B :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} r}}&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}-{\frac {nB}{r^{n+1}}}\\0&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}^{2}}}-{\frac {nB}{r_{0}^{n+1}}}\\r_{0}&=\left({\frac {4\pi \epsilon _{0}nB}{z^{2}e^{2}M}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\\B&={\frac {z^{2}e^{2}M}{4\pi \epsilon _{0}n}}r_{0}^{n-1}\end{aligned}}$

Оценив минимальную интенсивную потенциальную энергию и подставив выражение для B через r ₀ , получим уравнение Борна–Ланде:

$E(r_{0})=-{\frac {Mz^{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)$

Расчетные энергии решетки

Уравнение Борна – Ланде дает представление об энергии решетки системы.

Сложный	Рассчитано	Экспериментальный
NaCl	-756 кДж/моль	−787 кДж/моль
ЛиФ	−1007 кДж/моль	−1046 кДж/моль
СаСl 2	−2170 кДж/моль	−2255 кДж/моль

Прирожденный показатель

Показатель Борна обычно составляет от 5 до 12. Приблизительные экспериментальные значения перечислены ниже:

Ионная конфигурация	Он	Ne	Ар, Cu +	Кр, Аг +	Ксе, Ау +
н	5	7	9	10	12

См. также

• Kapustinskii equation
• Уравнение Борна – Майера