Формула Ландау – Зинера

Эскиз избегаемого перехода . На графике представлены энергии системы по параметру z (который может меняться во времени). Пунктирные линии представляют энергии диабатических состояний, которые пересекаются в точке z _c , а сплошные линии представляют энергию адиабатических состояний (собственные значения гамильтониана).

Формула Ландау -Зинера представляет собой аналитическое решение уравнений движения, управляющих динамикой перехода квантовой системы с двумя состояниями , с зависящим от времени гамильтонианом, изменяющимся так, что энергетическое разделение двух состояний является линейной функцией времени. Формула, дающая вероятность диабатического (не адиабатического ) перехода между двумя энергетическими состояниями, была опубликована отдельно Львом Ландау , Кларенс Зинер , Эрнст Штюкельберг , и Этторе Майорана , в 1932 году.

Если система начинается в бесконечном прошлом в собственном состоянии с более низкой энергией, мы хотим вычислить вероятность обнаружения системы в собственном состоянии с верхней энергией в бесконечном будущем (так называемый переход Ландау – Зинера). Для бесконечно медленного изменения разности энергий (т. е. нулевой скорости Ландау – Зинера) адиабатическая теорема говорит нам, что такого перехода не произойдет, поскольку в этот момент система всегда будет находиться в мгновенном собственном состоянии гамильтониана. вовремя. При ненулевых скоростях переходы происходят с вероятностью, описываемой формулой Ландау–Зинера.

Условия и приближение

Такие переходы происходят между состояниями всей системы; следовательно, любое описание системы должно включать все внешние воздействия, включая столкновения и внешние электрические и магнитные поля. Чтобы уравнения движения системы можно было решить аналитически, вводится ряд упрощений, известных под общим названием приближение Ландау – Зинера. Упрощения заключаются в следующем:

1. Параметр возмущения в гамильтониане — это известная линейная функция времени.
2. Энергетическое разделение диабатических состояний изменяется линейно со временем.
3. Связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени

Первое упрощение делает эту трактовку полуклассической. В случае атома, находящегося в магнитном поле, напряженность поля становится классической переменной, которую можно точно измерить во время перехода. Это требование является весьма ограничительным, поскольку линейное изменение, как правило, не является оптимальным профилем для достижения желаемой вероятности перехода.

Второе упрощение позволяет сделать замену

$\Delta E=E_{2}(t)-E_{1}(t)\equiv \alpha t,\,$

где $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$ — энергии двух состояний в момент времени t , заданные диагональными элементами матрицы Гамильтона, и $\alpha$ является константой. Для случая атома в магнитном поле это соответствует линейному изменению магнитного поля. Для линейного зеемановского сдвига это следует непосредственно из пункта 1.

Окончательное упрощение требует, чтобы зависящее от времени возмущение не связывало диабатические состояния; скорее, связь должна быть вызвана статическим отклонением от $1/r$ Кулоновский потенциал , обычно описываемый квантовым дефектом .

Формула

Детали решения Зинера несколько непрозрачны: оно основано на наборе замен, позволяющих привести уравнение движения к форме уравнения Вебера. и используя известное решение. Более прозрачное решение предлагает Курт Виттиг. используя контурную интеграцию .

Ключевым показателем качества в этом подходе является скорость Ландау–Зинера:

$v_{\rm {LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}},$

где q - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение системы), и $E_{1}$ и $E_{2}$ – энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой $v_{\rm {LZ}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау–Зинера, вероятность $P_{\rm {D}}$, диабатического перехода определяется выражением

${\begin{aligned}P_{\rm {D}}&=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma &={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\&={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\end{aligned}}$

Количество $a$ - это недиагональный элемент гамильтониана двухуровневой системы, связывающий основания, и как таковой он равен половине расстояния между двумя невозмущенными собственными энергиями в месте пересечения, которого удалось избежать, когда $E_{1}=E_{2}$.

Проблема с несколькими государствами

Простейшим обобщением модели Ландау–Зинера с двумя состояниями является многоуровневая система с гамильтонианом вида

$H(t)=A+Bt$,

где A и B — эрмитовые матрицы размера N x N с элементами, не зависящими от времени. Целью многосостоятельной теории Ландау-Зинера является определение элементов матрицы рассеяния и вероятностей перехода между состояниями этой модели после эволюции с таким гамильтонианом от отрицательного бесконечного к положительному бесконечному времени. Вероятности перехода представляют собой квадраты абсолютных значений элементов матрицы рассеяния.

Существуют точные формулы, называемые ограничениями иерархии, которые предоставляют аналитические выражения для специальных элементов матрицы рассеяния в любой модели Ландау – Зинера с несколькими состояниями. Особые случаи этих соотношений известны как формула Брундоблера-Эльзера (БЭ), ), и теорема о запрете ,. Дискретные симметрии часто приводят к ограничениям, уменьшающим количество независимых элементов матрицы рассеяния.

Существуют также условия интегрируемости, выполнение которых приводит к точным выражениям для полных матриц рассеяния в многоуровневых моделях Ландау–Зинера. Было идентифицировано множество таких полностью решаемых моделей, в том числе:

• Demkov–Osherov model который описывает один уровень, пересекающий полосу параллельных уровней. Удивительным фактом решения этой модели является совпадение точно полученной матрицы вероятности перехода с ее формой, полученной с помощью простой квазиклассической аппроксимации независимого пересечения. С некоторыми обобщениями это свойство проявляется практически во всех разрешимых системах Ландау–Зинера с конечным числом взаимодействующих состояний.
• Обобщенная модель галстука-бабочки. Модель описывает связь двух (или одного в пределе вырожденного случая) уровней с набором невзаимодействующих в противном случае диабатических состояний, которые пересекаются в одной точке.
• Управляемая модель Тэвиса – Каммингса описывает взаимодействие N спинов- ⁠ 1/2 ⁠ . с бозонной модой в линейно зависящем от времени магнитном поле Это самая богатая из известных решенных систем. Она имеет комбинаторную сложность: размерность ее векторного пространства состояний растет экспоненциально с числом спинов N. Вероятности перехода в этой модели описываются q-деформированной биномиальной статистикой. Это решение нашло практическое применение в физике бозе-эйнштейновских конденсатов.
• Спиновые кластеры, взаимодействующие с зависящими от времени магнитными полями. Этот класс моделей демонстрирует относительно сложное поведение вероятностей перехода из-за эффектов интерференции путей в квазиклассическом приближении независимого пересечения.
• Приводимые (или составные) модели Ландау – Зинера с несколькими состояниями. Этот класс состоит из систем, которые можно разделить на подмножества других разрешимых и более простых моделей с помощью преобразования симметрии. Ярким примером является произвольный спиновый гамильтониан. ${\textstyle H=gS_{x}+btS_{z}}$, где S _z и S _x — спиновые операторы, а S >1/2; b и g — постоянные параметры. Это самая ранняя известная разрешимая система, которая обсуждалась Майораной в 1932 году. Среди других примеров есть модели пары вырожденных пересечений уровней: и одномерная квантовая цепочка Изинга в линейно меняющемся магнитном поле.
• Переходы Ландау–Зинера в бесконечных линейных цепях. К этому классу относятся системы с формально бесконечным числом взаимодействующих состояний. Хотя наиболее известные их примеры могут быть получены как пределы моделей конечного размера (таких как модель Тэвиса – Каммингса), существуют также случаи, не относящиеся к этой классификации. Например, существуют разрешимые бесконечные цепочки с ненулевыми связями между неближайшими состояниями.

Исследование шума

Применение решения Ландау-Зинера к задачам подготовки квантовых состояний и манипулирования ими с дискретными степенями свободы стимулировало изучение влияния шума и декогеренции на вероятность перехода в управляемой двухуровневой системе. Для описания этих эффектов было получено несколько компактных аналитических результатов, включая формулу Каянумы. для сильного диагонального шума и формула Покровского–Синицына для связи с быстрым цветным шумом с недиагональными компонентами.

Используя функцию Швингера-Келдыша Грина, в конце 1980-х годов Ао и Раммер провели довольно полное и всестороннее исследование влияния квантового шума во всех режимах параметров: от слабой связи до сильной, от низкой до высокой температуры, от медленного до быстрого прохождения. и т. д. В различных пределах были получены краткие аналитические выражения, показывающие богатое поведение такой задачи. Влияние ядерно-спиновой ванны и взаимодействия тепловой ванны на процесс Ландау-Зинера исследовали Синицын и Прокофьев. и Покровский и Солнце, соответственно.

Точные результаты теории Ландау-Зинера с несколькими состояниями ( теорема о запрете движения и формула BE ) могут быть применены к системам Ландау-Зинера, которые связаны с ваннами, состоящими из бесконечного числа осцилляторов и / или спиновых ванн (диссипативные переходы Ландау-Зинера). Они дают точные выражения для вероятностей перехода, усредненных по конечным состояниям ванны, если эволюция начинается с основного состояния при нулевой температуре, см. в [12]. для осциллирующих ванн и для универсальных результатов, включая центрифужную ванну в Ref.

См. также

• Теория неадиабатического переходного состояния
• Адиабатическая теорема
• Смягчение связи
• Упрочнение связки
• Уравнение Фруассара-Сторы