Дуализирующая связка

В алгебраической геометрии дуализирующий пучок на собственной схеме X размерности n над полем k является когерентным пучком. $\omega _{X}$ вместе с линейным функционалом

t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k

индуцирующий естественный изоморфизм векторных пространств

\operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi

для каждого когерентного пучка F на X (верхний индекс * относится к двойственному векторному пространству ). ^[1] Линейный функционал $t_{X}$ называется следовым морфизмом .

Пара $(\omega _{X},t_{X})$ , если он существует, единственен с точностью до естественного изоморфизма. На самом деле, говоря языком теории категорий , $\omega _{X}$ — объект, представляющий контравариантный функтор $F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}$ из категории когерентных пучков на X в категорию k -векторных пространств.

Для нормального проективного многообразия X дуализирующий пучок существует и фактически является каноническим пучком : $\omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})$ где $K_{X}$ является каноническим делителем . В более общем смысле, дуализирующий пучок существует для любой проективной схемы.

Существует следующий вариант теоремы двойственности Серра : для проективной схемы X чистой размерности n и пучка Коэна–Маколея F на X таких, что $\operatorname {Supp} (F)$ имеет чистую размерность n , существует естественный изоморфизм ^[2]

\operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}

.

В частности, если X само является схемой Коэна–Маколея , то указанная выше двойственность справедлива для любого локально свободного пучка.

Относительный дуализирующий пучок

Учитывая правильный конечно представленный морфизм схем $f:X\to Y$ , ( Клейман 1980 ) определяет относительный дуализирующий пучок $\omega _{f}$ или $\omega _{X/Y}$ как ^[3] пучок такой, что для каждого открытого подмножества $U\subset Y$ и квазикогерентный пучок $F$ на $U$ , существует канонический изоморфизм

(f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F

,

который является функториалом в $F$ и ездит на работу с открытыми ограничениями.

Пример : ^[4]Если $f$ — локальный морфизм полного пересечения схем конечного типа над полем, то (по определению) каждая точка $X$ имеет открытое окружение $U$ и факторизация $f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y$ , регулярное вложение коразмерности $k$ за которым следует гладкий морфизм относительной размерности $r$ . Затем

\omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}

где $\Omega _{\pi }^{1}$ – пучок относительных кэлеровских дифференциалов и $N_{U/Z}$ это обычный комплект для $i$ .

Примеры

Дуализирующий пучок узловой кривой

Для гладкой кривой C ее дуализирующий пучок $\omega _{C}$ может быть задан каноническим пучком $\Omega _{C}^{1}$ .

Для узловой кривой C с узлом p мы можем рассмотреть нормализацию $\pi :{\tilde {C}}\to C$ с двумя идентифицированными точками x , y . Позволять $\Omega _{\tilde {C}}(x+y)$ — пучок рациональных 1-форм на ${\tilde {C}}$ с возможными простыми полюсами в точках x и y , и пусть $\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}$ — подпучок, состоящий из рациональных 1-форм с суммой вычетов в точках x и y, равной нулю. Тогда прямое изображение $\pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}$ определяет дуализирующий пучок узловой кривой C . Конструкцию можно легко обобщить на узловые кривые с несколькими узлами.

Это используется при построении расслоения Ходжа на компактифицированном пространстве модулей кривых : оно позволяет нам расширить относительный канонический пучок над границей, которая параметризует узловые кривые. Тогда расслоение Ходжа определяется как прямой образ относительного дуализирующего пучка.

Дуализирующий пучок проективных схем

Как уже говорилось выше, дуализирующий пучок существует для всех проективных схем. Для X замкнутая подсхема P ^н коразмерности r его дуализирующий пучок можно записать как ${\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})$ . Другими словами, используется дуализирующий пучок на окружающем P ^н построить дуализирующий пучок на X . ^[1]

См. также

Примечание

^ Jump up to: ^а ^б Хартсхорн 1977 , гл. III, § 7.
^ Коллар и Мори 1998 , Теорема 5.71.
^ Клейман 1980 , Определение 6
^ Арбарелло, Корнальба и Гриффитс 2011 , гл. X., ближе к концу § 2.

Ссылки

Арбарелло, Э.; Корнальба, М.; Гриффитс, Пенсильвания (2011). Геометрия алгебраических кривых . Основные принципы математических наук. Том 268. doi : 10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2 . МР 2807457 .
Клейман, Стивен Л. (1980). «Относительная двойственность квазикогерентных пучков» (PDF) . Математическая композиция . 41 (1): 39–60. МР 0578050 .
Коллар, Янош; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Кембриджские трактаты по математике, том. 134, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-63277-5 , МР 1658959
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

Внешние ссылки

Вакил, Рави. «ОСНОВЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КЛАССЫ 53 И 54» (PDF) . Математика 216: Основы алгебраической геометрии 2005-06 .
Относительная дуализирующая связка (обращение, поведение)

Эта алгебраической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[Hartshorne1977Ch.III§7-1] Jump up to: ^а ^б Хартсхорн 1977 , гл. III, § 7.

[2] Коллар и Мори 1998 , Теорема 5.71.

[3] Клейман 1980 , Определение 6

[4] Арбарелло, Корнальба и Гриффитс 2011 , гл. X., ближе к концу § 2.

[1]

[2]

[3]

[4]