Метод вихревой решетки

Моделирование самолета с использованием Open VOGEL, среды с открытым исходным кодом для аэродинамического моделирования, основанной на UVLM.

Метод вихревой решетки (VLM) — численный метод, используемый в вычислительной гидродинамике , в основном на ранних стадиях проектирования самолетов и в аэродинамическом образовании на университетском уровне. , например крыло VLM моделирует несущую поверхность самолета , как бесконечно тонкий слой дискретных вихрей для расчета подъемной силы и индуцированного сопротивления . Влияние толщины и вязкости не учитывается.

VLM могут рассчитывать обтекание крыла с элементарными геометрическими определениями. Для прямоугольного крыла достаточно знать размах и хорду. С другой стороны спектра они могут описывать обтекание самолета довольно сложной геометрии (с множеством несущих поверхностей с конусностью, изломами, закручиванием, развалом, управляющими поверхностями задней кромки и многими другими геометрическими особенностями).

Моделируя поле потока, можно извлечь распределение давления или, как в случае с VLM, распределение силы вокруг моделируемого тела. Эти знания затем используются для расчета аэродинамических коэффициентов и их производных, которые важны для оценки управляемости самолета на этапе концептуального проектирования. Имея первоначальную оценку распределения давления на крыле, конструкторы могут приступить к проектированию несущих частей крыла, киля и хвостового оперения , а также других несущих поверхностей. Кроме того, хотя VLM не может рассчитать вязкое сопротивление, можно оценить индуцированное сопротивление, возникающее в результате создания подъемной силы. Следовательно, поскольку сопротивление должно быть сбалансировано с тягой в крейсерской конфигурации, двигательная группа также может получить важные данные из моделирования VLM.

Историческая справка

Джон ДеЯнг представляет предысторию VLM в документации семинара НАСА в Лэнгли SP-405.

VLM является расширением теории подъемных линий Прандтля . где крыло самолета моделируется как бесконечное количество подковообразных вихрей . Название было придумано В. М. Фолкнером в его документе Совета по аэронавтическим исследованиям в 1946 году. С тех пор метод был развит и усовершенствован У.П. Джонсом, Х. Шлихтингом, Г.Н. Уордом и другими.

Хотя необходимые вычисления можно выполнить вручную, VLM выиграла от появления компьютеров для выполнения больших объемов необходимых вычислений.

Вместо одного подковообразного вихря на крыло, как в теории подъемной линии , VLM использует решетку подковообразных вихрей, как описано Фолкнером в его первой статье по этому вопросу в 1943 году. Количество используемых вихрей варьируется в зависимости от требуемого разрешения распределения давления и требуемой точности расчета аэродинамических коэффициентов. Типичное количество вихрей составляет около 100 на все крыло самолета; в отчете Совета по авиационным исследованиям Фолкнера, опубликованном в 1949 году, упоминается использование «84-вихревой решетки до стандартизации 126-решетки» (стр. 4).

Этот метод подробно описан во всех основных учебниках по аэродинамике, таких как Katz & Plotkin, Андерсон, Бертин и Смит Хоутон и Карпентер или Дрела,

Теория

Метод вихревой решетки построен на теории идеального течения, также известной как потенциальное течение . Идеальный поток — это упрощение реального потока, наблюдаемого в природе, однако для многих инженерных приложений это упрощенное представление обладает всеми свойствами, важными с инженерной точки зрения. Этот метод пренебрегает всеми вязкими эффектами. Турбулентность, диссипация и пограничные слои вообще не решаются. Однако сопротивление, вызванное подъемной силой, можно оценить и, при особой осторожности, смоделировать некоторые явления сваливания.

Предположения

Относительно задачи в методе вихревой решетки сделаны следующие предположения:

• Поле течения несжимаемо , невязкое и безвихревое . Однако дозвуковое сжимаемое течение с малыми возмущениями можно смоделировать, если общее трехмерное преобразование Прандтля-Глауэрта . в метод включить
• Подъемные поверхности тонкие. Влияние толщины на аэродинамические силы не учитывается.
• Угол атаки и угол бокового скольжения малы, приближение к небольшому углу .

Метод

Согласно сделанным выше предположениям поле течения является консервативным векторным полем , что означает, что существует существует потенциал скорости возмущения $\varphi$ такой, что вектор полной скорости $\mathbf {V}$ дается

$\mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi$

и это $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа .

Уравнение Лапласа является линейным уравнением второго порядка, и поэтому оно подлежит к принципу суперпозиции. Это означает, что если $\varphi _{1}$ и $\varphi _{2}$ это два решения линейное дифференциальное уравнение, затем линейную комбинацию $c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}$ также является решением для любых значений констант $c_{1}$ и $c_{2}$. Как Андерсон скажем: «Сложная схема потока ибо безвихревой несжимаемый поток может быть синтезирован путем сложения ряда элементарных потоков, которые также являются безвихревыми и несжимаемыми». Такими элементарными потоками являются точечный источник или сток, дублет и вихревая линия , каждый из которых является решением уравнения Лапласа. Их можно накладывать разными способами, образуя линейные источники, вихревые листы и т. д. В методе Вихревой Решетки каждый такой элементарный поток представляет собой поле скоростей подковообразного вихря некоторой напряженности $\Gamma$.

Модель самолета

Все несущие поверхности самолета разделены на некоторое количество четырехугольных панелей, подковообразный вихрь на каждой панели размещены и точка коллокации (или точка управления). Поперечный сегмент вихря находится на позиции 1/4 хорды панели, а точка коллокации - на позиции 3/4 хорды. Сила вихря $\Gamma$ предстоит определить. Нормальный вектор $\mathbf {n}$ также размещается в каждой точке сочетания и устанавливается перпендикулярно поверхности изгиба фактической подъемной поверхности.

Для проблемы с $N$ панели, скорость возмущения в точке коллокации $i$ определяется путем суммирования вкладов всех подковообразных вихрей в виде матрицы коэффициентов аэродинамического влияния (AIC). $\mathbf {w} _{ij}$.

$\nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}$

Вектор скорости набегающего потока выражается через скорость набегающего потока. $V_{\infty }$ и углы атаки и скольжения, $\alpha ,\beta$.

$\mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}$

нулю . В каждой точке коллокации применяется граничное условие Неймана, которое предписывает, что нормальная скорость на поверхности развала равна Альтернативные реализации также могут использовать граничное условие Дирихле непосредственно на потенциале скорости .

$\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0$

Это также известно как условие касания потока. Оценивая скалярные произведения выше, получаем следующую систему уравнений. Новая матрица AIC для нормальной стирки $a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}$, а правая часть образована скоростью набегающего потока и двумя аэродинамическими углами $b_{i}=V_{\infty }[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}$

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}$

Эта система уравнений решается для всех сил вихрей $\Gamma _{i}$. Полный вектор силы $\mathbf {F}$ и вектор полного момента $\mathbf {M}$ относительно начала координат затем вычисляются путем суммирования вкладов всех сил $\mathbf {F} _{i}$ на всех отдельных подковообразных вихрях, причем $\rho$ является плотностью жидкости.

$\mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{i}$

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}$

$\mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}$

Здесь, $\mathbf {l} _{i}$ - вектор поперечного сегмента вихря, а $\mathbf {v} _{i}$ - скорость возмущения в центре этого сегмента $\mathbf {r} _{i}$ (не в точке коллокации).

Подъемная сила и индуцированное сопротивление получаются из $x,y,z$ компоненты полного вектора силы $\mathbf {F}$. Для случая нулевого скольжения они определяются выражением

${\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}$

Внешние ссылки

• http://web.mit.edu/drela/Public/web/avl/
• https://github.com/OpenVOGEL

Источники

• НАСА, Использование вихревой решетки . НАСА SP-405, НАСА-Лэнгли, Вашингтон, 1976 г.
• Прандтль. Л, Приложения современной гидродинамики в аэронавтике , NACA-TR-116, НАСА, 1923.
• Фолкнер. В.М., Точность расчетов на основе теории вихревых решеток , номер журнала 9621, British ARC, 1946.
• Дж. Кац, А. Плоткин, Аэродинамика малых скоростей, 2-е изд., Cambridge University Press , Кембридж, 2001.
• Дж. Д. Андерсон-младший, Основы аэродинамики , 2-е изд., McGraw-Hill Inc, 1991.
• Дж. Дж. Бертин, М. Л. Смит, Аэродинамика для инженеров , 3-е изд., Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1998.
• Э. Л. Хоутон, П. В. Карпентер, Аэродинамика для студентов-инженеров , 4-е изд., Эдвард Арнольд, Лондон, 1993.
• Ламар, Дж. Э., Герберт, Х. Е., Производственная версия расширенной компьютерной программы FORTRAN с вихревой решеткой НАСА-Лэнгли. Том 1: Руководство пользователя , NASA-TM-83303, НАСА, 1982 г.
• Ламар, Дж. Э., Герберт, Х. Е., Производственная версия расширенной компьютерной программы FORTRAN с вихревой решеткой НАСА-Лэнгли. Том 2: Исходный код , NASA-TM-83304, НАСА, 1982 г.
• Мелин, Томас, Реализация вихревой решетки MATLAB для приложений с линейным аэродинамическим крылом , Королевский технологический институт (KTH), Швеция, декабрь 2000 г.
• М. Дрела, Аэродинамика летательного аппарата , MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 2014.