Ретракт (теория групп)

В математике , в области теории групп , подгруппа группы если называется ретрактом, существует эндоморфизм группы, который сюръективно отображается в подгруппу и является единицей на подгруппе. В символах, $H$ является отказом от $G$ тогда и только тогда, когда существует эндоморфизм $\sigma :G\to G$ такой, что $\sigma (h)=h$ для всех $h\in H$ и $\sigma (g)\in H$ для всех $g\in G$ . ^[1]^[2]

Эндоморфизм $\sigma$ является идемпотентным элементом эндоморфизмов моноида преобразований , поэтому он называется идемпотентным эндоморфизмом ^[1]^[3] или опровержение. ^[2]

О ретрактах известно следующее:

Подгруппа является ретрактом тогда и только тогда, когда она имеет нормальное дополнение . ^[4] Нормальное дополнение, в частности, является ядром ретракции.
Каждый прямой фактор является ретрактом. ^[1] И наоборот, любой ретракт, являющийся нормальной подгруппой, является прямым фактором. ^[5]
Каждый ретракт имеет свойство расширения конгруэнтности .
Каждый регулярный фактор и, в частности, каждый свободный фактор является ретрактом.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Баер, Рейнхольд (1946), «Абсолютные ретракты в теории групп», Бюллетень Американского математического общества , 52 (6): 501–506, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08601-2 , MR 0016419 .
^ Jump up to: ^а ^б Линдон, Роджер С .; Шупп, Пауль Э. (2001), Комбинаторная теория групп , Классика математики, Берлин: Springer-Verlag , с. 2, ISBN 3-540-41158-5 , МР 1812024
^ Крылов Петр А.; Михалев Александр Владимирович; Туганбаев, Аскар А. (2003), Кольца эндоморфизмов абелевых групп , Алгебры и приложения, том. 2, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers , с. 24, номер домена : 10.1007/978-94-017-0345-1 , ISBN 1-4020-1438-4 , МР 2013936 .
^ Мясников Алексей Георгиевич; Романьков, Виталий (2014), «Вербально замкнутые подгруппы свободных групп», Journal of Group Theory , 17 (1): 29–40, arXiv : 1201.0497 , doi : 10.1515/jgt-2013-0034 , MR 3176650 , S2CID 119323021 .
^ Пример нормальной подгруппы, которая не является ретрактом и, следовательно, не является прямым фактором, см. Гарсия, ОК; Ларрион, Ф. (1982), «Инъективность в многообразиях групп», Algebra Universalis , 14 (3): 280–286, doi : 10.1007/BF02483931 , MR 0654396 , S2CID 122193204 .

Эта теории групп статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[baer-1] Jump up to: ^а ^б ^с Баер, Рейнхольд (1946), «Абсолютные ретракты в теории групп», Бюллетень Американского математического общества , 52 (6): 501–506, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08601-2 , MR 0016419 .

[cgt-2] Jump up to: ^а ^б Линдон, Роджер С .; Шупп, Пауль Э. (2001), Комбинаторная теория групп , Классика математики, Берлин: Springer-Verlag , с. 2, ISBN 3-540-41158-5 , МР 1812024

[3] Крылов Петр А.; Михалев Александр Владимирович; Туганбаев, Аскар А. (2003), Кольца эндоморфизмов абелевых групп , Алгебры и приложения, том. 2, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers , с. 24, номер домена : 10.1007/978-94-017-0345-1 , ISBN 1-4020-1438-4 , МР 2013936 .

[4] Мясников Алексей Георгиевич; Романьков, Виталий (2014), «Вербально замкнутые подгруппы свободных групп», Journal of Group Theory , 17 (1): 29–40, arXiv : 1201.0497 , doi : 10.1515/jgt-2013-0034 , MR 3176650 , S2CID 119323021 .

[5] Пример нормальной подгруппы, которая не является ретрактом и, следовательно, не является прямым фактором, см. Гарсия, ОК; Ларрион, Ф. (1982), «Инъективность в многообразиях групп», Algebra Universalis , 14 (3): 280–286, doi : 10.1007/BF02483931 , MR 0654396 , S2CID 122193204 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]