Теория Пикара – Лефшеца

В математике теория Пикара – Лефшеца изучает топологию комплексного многообразия , рассматривая критические точки на голоморфной функции многообразии. Он был введен Эмилем Пикардом для сложных поверхностей в его книге Picard & Simart (1897) и расширен до более высоких измерений Соломоном Лефшецем ( 1924 ). Это сложный аналог теории Морса , который изучает топологию реального многообразия , рассматривая критические точки вещественной функции. Пьер Делинь и Николас Кац ( 1973 ) распространили теорию Пикара-Лефшеца на многообразия над более общими полями, и Делинь использовал это обобщение в своем доказательстве гипотез Вейля .

Формула Пикара-Лефшеца

Формула Пикара –Лефшеца описывает монодромию в критической точке.

Предположим, что f — голоморфное отображение (k+1) -мерного проективного комплексного многообразия в проективную прямую P ¹ . Предположим также, что все критические точки невырождены, лежат в разных слоях и имеют образы x ₁ ,..., x _n в P ¹ . Выберите любую другую точку x в P. ¹ . Фундаментальная группа π ₁ ( P ¹ – { x ₁ , ..., x _n }, x ) порождается петлями w _i, идущими вокруг точек x _i , и каждой точке x _i существует исчезающий цикл в гомологиях H _k ( Y _x ) волокно в точке x . Обратите внимание, что это средние гомологии, поскольку слой имеет комплексную размерность k , следовательно, действительную размерность 2k .Монодромное действие π ₁ ( P ¹ – { x ₁ , ..., x _n }, x ) на H _k ( Y _x ) описывается формулой Пикара–Лефшеца следующим образом. (Действие монодромии на другие группы гомологии тривиально.) Действие монодромии генератора w _i фундаментальной группы на $\gamma$ ∈ H _k ( Y _x ) определяется выражением

$w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}$

где δi _— цикл xi _{исчезающий} . Эта формула неявно появляется для k = 2 (без явных коэффициентов исчезающих циклов δ _i ) у Пикара и Симарта (1897 , стр. 95). Лефшец (1924 , главы II, V) дал явную формулу для всех измерений.

Пример

Рассмотрим проективное семейство гиперэллиптических кривых рода $g$ определяется

$y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})$

где $t\in \mathbb {A} ^{1}$ это параметр и $k=2g+1$. Тогда это семейство имеет двухточечные вырождения всякий раз, когда $t=a_{i}$. Поскольку кривая представляет собой связную сумму $g$ торы, форма пересечения на $H_{1}$ общей кривой является матрица

${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

мы можем легко вычислить формулу Пикара-Лефшеца вокруг вырождения на $\mathbb {A} _{t}^{1}$. Предположим, что $\gamma ,\delta$ являются $1$-циклы от $j$-й тор. Тогда формула Пикара-Лефшеца будет иметь вид

$w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta$

если $j$-й тор содержит исчезающий цикл. В противном случае это карта идентичности.

См. также

• Карандаш Лефшеца

Ссылки

• Делинь, Пьер ; Кац, Николас (1973), Группы монодромии в алгебраической геометрии. II , Конспекты лекций по математике, вып. 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0060505 , ISBN.  978-3-540-06433-6 , МР   0354657
• Ламотке, Клаус (1981), «Топология комплексных проективных многообразий по С. Лефшецу», Топология , 20 (1): 15–51, doi : 10.1016/0040-9383(81)90013-6 , ISSN   0040-9383 , МР   0592569
• Лефшец, С. (1924), Анализ ситуации и алгебраическая геометрия , Готье-Вилларс, MR   0033557
• Лефшец, Соломон (1975), Приложения алгебраической топологии. Графы и сети, теория Пикара-Лефшеца и интегралы Фейнмана , Прикладные математические науки, вып. 16, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90137-4 , МР   0494126
• Пикард, Э.; Симарт, Г. (1897), Теория алгебраических функций двух независимых переменных. Том I (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars et Fils.
• Васильев В.А. (2002), Прикладная теория Пикара – Лефшеца , Математические обзоры и монографии, т. 1, с. 97, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/surv/097 , ISBN.  978-0-8218-2948-6 , МР   1930577