Пересечение линии и плоскости

Три возможных отношения плоскость-линия в трех измерениях. (В каждом случае показана только часть плоскости, простирающаяся бесконечно далеко.)

В аналитической геометрии пересечение линии и плоскости может в трехмерном пространстве быть пустым множеством , точкой или линией. Это вся линия, если эта линия встроена в плоскость, и пустое множество, если линия параллельна плоскости, но находится вне ее. В противном случае линия пересекает плоскость в одной точке.

Различение этих случаев и определение уравнений для точки и линии в последних случаях находят применение в компьютерной графике , планировании движения и обнаружении столкновений .

Алгебраическая форма

В векторной записи плоскость можно представить как множество точек. $\mathbf {p}$ для чего

$(\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$

где $\mathbf {n}$ является вектором нормали к плоскости и $\mathbf {p_{0}}$ это точка на плоскости. (Обозначение $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ обозначает скалярное произведение векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$.)

Векторное уравнение для линии:

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R}$

где $\mathbf {l}$ - единичный вектор в направлении линии, $\mathbf {l_{0}}$ является точкой на прямой, а $d$ является скаляром в области действительных чисел . Подстановка уравнения прямой в уравнение плоскости дает

$((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.$

Расширение дает

$(\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.$

И решение для $d$ дает

$d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.$

Если $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0$ тогда прямая и плоскость параллельны. Будет два случая: если $(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0$ тогда прямая содержится в плоскости, то есть прямая пересекает плоскость в каждой точке прямой. В противном случае линия и плоскость не пересекаются.

Если $\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0$ есть одна точка пересечения. Стоимость $d$ можно вычислить и точку пересечения, $\mathbf {p}$, определяется

$\mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d$.

Параметрическая форма

Пересечение линии и плоскости.

Линия описывается всеми точками, расположенными в заданном направлении от точки. Общая точка на линии, проходящей через точки $\mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})$ и $\mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})$ может быть представлено как

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,$

где $\mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}$ вектор, указывающий из $\mathbf {l} _{a}$ к $\mathbf {l} _{b}$.

Аналогично, общая точка на плоскости определяется треугольником, определяемым точками $\mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$, $\mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $\mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ может быть представлено как

$\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,$

где $\mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}$ вектор, указывающий из $\mathbf {p} _{0}$ к $\mathbf {p} _{1}$, и $\mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}$ вектор, указывающий из $\mathbf {p} _{0}$ к $\mathbf {p} _{2}$.

Таким образом, точка, в которой линия пересекает плоскость, описывается путем установки точки на линии равной точке на плоскости, что дает параметрическое уравнение:

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.$

Это можно переписать как

$\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,$

что можно выразить в матричной форме как

${\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},$

где векторы записаны в виде векторов-столбцов.

В результате получается система линейных уравнений , которую можно решить относительно $t$, $u$ и $v$. Если решение удовлетворяет условию $t\in [0,1],$, то точка пересечения находится на отрезке между $\mathbf {l} _{a}$ и $\mathbf {l} _{b}$, в противном случае оно находится в другом месте строки. Аналогично, если решение удовлетворяет $u,v\in [0,1],$, то точка пересечения находится в параллелограмме, образованном точкой $\mathbf {p} _{0}$ и векторы $\mathbf {p} _{01}$ и $\mathbf {p} _{02}$. Если решение дополнительно удовлетворяет $(u+v)\leq 1$, то точка пересечения лежит в треугольнике, образованном тремя точками $\mathbf {p} _{0}$, $\mathbf {p} _{1}$ и $\mathbf {p} _{2}$.

Определитель матрицы можно рассчитать как

$\det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).$

Если определитель равен нулю, то единственного решения не существует; линия либо лежит в плоскости, либо параллельна ей.

Если существует единственное решение (определитель не равен 0), то его можно найти, обратив матрицу и переставив ее:

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},$

который расширяется до

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}$

а затем

${\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},$

таким образом давая решения:

$t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}$

$u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}$

$v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.$

Тогда точка пересечения равна

$\mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t$

Использование

В трассировки лучей методе компьютерной графики поверхность можно представить как набор частей плоскостей. Пересечение луча света с каждой плоскостью используется для создания изображения поверхности. на основе зрения В трехмерной реконструкции , подобласти компьютерного зрения, значения глубины обычно измеряются с помощью так называемого метода триангуляции, который находит пересечение между плоскостью света и лучом, отраженным в сторону камеры.

Алгоритм можно обобщить на пересечение с другими плоскими фигурами, в частности, пересечение многогранника с прямой .

См. также

• Координаты Плюкера#Плоскость-линия встречаются при расчете пересечения, когда линия выражается координатами Плюкера.
• Пересечение плоскости-плоскости

Внешние ссылки

• Пересечения линий, сегментов и плоскостей (2D и 3D) с сайта GeomAlgorithms.com

Ссылки

• https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/1%3A_Vectors_in_Space/Intersection_of_a_Line_and_a_Plane