Непервая упорядочиваемость

В формальной логике непервая упорядочиваемость — это неспособность утверждения естественного языка быть адекватно отражена формулой логики первого порядка . В частности, утверждение является непервоупорядочиваемым , если не существует формулы логики первого порядка, которая верна в модели тогда и только тогда, когда утверждение выполняется в этой модели. Утверждения, не поддающиеся первому упорядочению, иногда представляются как свидетельство того, что логика первого порядка не способна уловить нюансы значения естественного языка.

Этот термин был придуман Джорджем Булосом в его статье «Быть — значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)». ^[1]Куайн утверждал, что такие предложения требуют символизации второго порядка , которую можно интерпретировать как количественную оценку множественного числа в той же области, что и кванторы первого порядка, без постулирования отдельных «объектов второго порядка» ( свойств , множеств и т. д.).

Примеры [ править ]

Каждое предложение Каплана [ править ]

Стандартным примером является Гича - Каплана предложение : «Некоторые критики восхищаются только друг другом».Если Axy понимать, что означает « x восхищается y », а вселенная дискурса — это совокупность всех критиков, то разумным переводом предложения в логику второго порядка будет:

\exists X(\exists x,y(Xx\land Xy\land Axy)\land \exists x\neg Xx\land \forall x\,\forall y(Xx\land Axy\rightarrow Xy))

В том, что эта формула не имеет эквивалента первого порядка, можно убедиться, превратив ее в формулу на языке арифметики. Подставьте формулу ${\textstyle (y=x+1\lor x=y+1)}$ для Акси . Результат,

\exists X(\exists x,y(Xx\land Xy\land (y=x+1\lor x=y+1))\land \exists x\neg Xx\land \forall x\,\forall y(Xx\land (y=x+1\lor x=y+1)\rightarrow Xy))

утверждает, что существует набор

X

с этими свойствами:

есть как минимум два числа $В X$
Существует число, не принадлежащее $X$ , т.е. $X$ не содержит всех чисел.
Если число $x$ принадлежит $X$ и $y$ равно $x + 1$ или $x - 1$ , $y$ также принадлежит $X.$ то

Модель формальной теории арифметики, такая как арифметика Пеано первого порядка , называется стандартной , если она содержит только знакомые натуральные числа $0, 1, 2, ...$ в качестве элементов. Иначе модель называется нестандартной . Следовательно, приведенная выше формула верна только в нестандартных моделях, поскольку в стандартной модели множество $X$ должно содержать все доступные числа $0, 1, 2,...$ . существует множество $X,$ Кроме того, в каждой нестандартной модели удовлетворяющее формуле.

Предположим, что существует рендеринг приведенной выше формулы первого порядка под названием $E$ . Если $\neg E$ были добавлены к аксиомам Пеано, это означало бы, что не существует нестандартных моделей дополненных аксиом. Однако обычный аргумент в пользу существования нестандартных моделей все равно пройдет, доказывая, что нестандартные модели все-таки существуют. Это противоречие, поэтому мы можем заключить, что такой формулы $E$ не существует в логике первого порядка.

Конечность области [ править ]

не существует формулы $A$ В логике первого порядка , равенство которой справедливо для всех и только моделей с конечными областями. Другими словами, не существует формулы первого порядка, которая могла бы выразить «существует только конечное число вещей».

Это следует из теоремы о компактности следующим образом. ^[2] Предположим, что существует формула $A$ , которая верна во всех и только в моделях с конечными областями определения. мы можем выразить $Для любого положительного целого числа n$ предложение « $имеется не менее n$ в области определения элементов». Для заданного $n$ вызовите формулу, выражающую наличие как минимум $n$ элементов $B n$ . Например, формула $B 3$ имеет вид:

\exists x\exists y\exists z(x\neq y\wedge x\neq z\wedge y\neq z)

что означает, что в домене имеется как минимум три различных элемента. Рассмотрим бесконечное множество формул

A,B_{2},B_{3},B_{4},\ldots

Каждое конечное подмножество этих формул имеет модель: по заданному подмножеству найдите наибольшее

n

, для которого формула

B n

входит в это подмножество. Тогда модель с областью, содержащей

n

элементов, будет удовлетворять

формулам A

(поскольку область определения конечна) и всем

формулам B

в подмножестве. Применяя теорему о компактности, все бесконечное множество также должно иметь модель. Из-за наших предположений относительно

A

модель должна быть конечной. Однако эта модель не может быть конечной, поскольку, если модель имеет только

m

элементов, она не удовлетворяет формуле

B m+1

. Это противоречие показывает, что не может быть формулы

А

с предполагаемым нами свойством.

Другие примеры [ править ]

Понятие идентичности не может быть определено в языках первого порядка, это просто неразличимость. ^[3]
Архимедово свойство , которое можно использовать для идентификации действительных чисел среди действительных закрытых полей .
Теорема о компактности подразумевает, что связность графов не может быть выражена в логике первого порядка. ^{[ нужны разъяснения ]}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Булос, Джордж (август 1984 г.). «Быть — значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)». Журнал философии . 81 (8): 430–449. дои : 10.2307/2026308 . JSTOR 2026308 . Перепечатано в Булос, Джордж (1998). Логика, логика и еще раз логика . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-53767-Х .
^ Промежуточная логика (PDF) . Открытый логический проект. п. 235 . Проверено 21 марта 2022 г.
^ Нунан, Гарольд; Кертис, Бен (25 апреля 2014 г.). "Личность" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

Внешние ссылки [ править ]

Удобный для печати CSS и возможность непервого порядка, Теренс Тао

[boolos-to-be-1] Булос, Джордж (август 1984 г.). «Быть — значит быть значением переменной (или быть некоторыми значениями некоторых переменных)». Журнал философии . 81 (8): 430–449. дои : 10.2307/2026308 . JSTOR 2026308 . Перепечатано в Булос, Джордж (1998). Логика, логика и еще раз логика . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-53767-Х .

[2] Промежуточная логика (PDF) . Открытый логический проект. п. 235 . Проверено 21 марта 2022 г.

[3] Нунан, Гарольд; Кертис, Бен (25 апреля 2014 г.). "Личность" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[1]

[2]

[3]