Риманова метрика и скобка Ли в вычислительной анатомии

Вычислительная анатомия (КА) — это исследование формы и формы в медицинской визуализации . Изучение деформируемых форм в вычислительной анатомии основано на многомерных группах диффеоморфизмов. $\operatorname {Diff} _{V}$ которые порождают орбиты вида ${\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$ . В CA эта орбита вообще считается гладким римановым многообразием. поскольку в каждой точке многообразия $m\in {\mathcal {M}}$ есть внутренний продукт, вызывающий норму $\|\cdot \|_{m}$ в касательном пространстве которая плавно меняется от точки к точке в многообразии форм. $m\in {\mathcal {M}}$ . Это создается путем просмотра группа диффеоморфизмов $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ как риманово многообразие с $\|\cdot \|_{\varphi }$ , связанный с касательным пространством в точке $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ . Это индуцирует норму и метрику на орбите $m\in {\mathcal {M}}$ под действием группы диффеоморфизмов.

Группа диффеоморфизмов, порожденная лагранжевыми и эйлеровыми потоками

Диффеоморфизмы в вычислительной анатомии генерируются для удовлетворения лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потока . $\varphi _{t},t\in [0,1]$ , порожденный с помощью обыкновенного дифференциального уравнения

{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatorname {id} ;

( Лагранжев поток )

с эйлеровыми векторными полями $v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})$ в ${\mathbb {R} }^{3}$ для $v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]$ , с обратным потоком, заданным выражением

{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\operatorname {id} ,

( Эйлеров поток )

и $3\times 3$ Матрица Якоби для потоков в $\mathbb {R} ^{3}$ дано как $\ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).$

Для обеспечения гладкости потоков диффеоморфизмов с обратными векторные поля ${\mathbb {R} }^{3}$ должна быть хотя бы 1-кратно непрерывно дифференцируема в пространстве ^[1]^[2] которые моделируются как элементы гильбертова пространства $(V,\|\cdot \|_{V})$ используя теоремы вложения Соболева так, чтобы каждый элемент $v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,$ имеет производные, интегрируемые с 3 квадратами, поэтому следует $(V,\|\cdot \|_{V})$ гладко вкладывается в 1-раз непрерывно дифференцируемые функции. ^[1]^[2] Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в соболевской норме:

\operatorname {Diff} _{V}\doteq \{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}=\operatorname {id} ,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .

( Группа диффеоморфизмов )

Модель римановой орбиты

Формы в вычислительной анатомии (КА) изучаются с помощью диффеоморфного отображения для установления соответствий между анатомическими системами координат. В этом случае трехмерные медицинские изображения моделируются как диффеморфные преобразования некоторого образца, называемого шаблоном. $I_{temp}$ , в результате чего наблюдаемые изображения становятся элементами модели случайной орбиты CA . Для изображений они определяются как $I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$ , где для диаграмм, представляющих подмногообразия, обозначаются как ${\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$ .

Риманова метрика

Орбита фигур и форм в вычислительной анатомии создается групповым действием. ${\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$ . Это превращается в риманову орбиту путем введения метрики, связанной с каждой точкой и соответствующим касательным пространством. Для этого на группе определяется метрика, индуцирующая метрику на орбите. Возьмем в качестве метрики вычислительной анатомии для каждого элемента касательного пространства. $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ в группе диффеоморфизмов

\|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V}

,

с векторными полями, смоделированными так, чтобы они находились в гильбертовом пространстве с нормой в гильбертовом пространстве. $(V,\|\cdot \|_{V})$ . Мы моделируем $V$ как воспроизводящее ядро гильбертова пространства (RKHS), определяемое 1-1 дифференциальным оператором $A:V\rightarrow V^{*}$ . Для $\sigma (v)\doteq Av\in V^{*}$ распределение или обобщенная функция, линейная форма $(\sigma \mid w)\doteq \int _{\mathbb {R} ^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)$ определяет норму: и внутренний продукт для $v\in V$ в соответствии с

\langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .

где интеграл вычисляется интегрированием по частям для $Av$ обобщенная функция $Av\in V^{*}$ двойное пространство. Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро Грина, связанное с обратным, было достаточно гладким, чтобы векторные поля поддерживали 1-непрерывную производную .

Правоинвариантная метрика на диффеоморфизмах

Метрика группы диффеоморфизмов определяется расстоянием, определенным на парах элементов в группе диффеоморфизмов согласно

d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=\inf _{v_{t}}\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt:\varphi _{0}=\psi ,\varphi _{1}=\varphi ,{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}\right)^{1/2}\ .

( метрические диффеоморфизмы )

Это расстояние обеспечивает правоинвариантную метрику диффеоморфометрии, ^[3]^[4]^[5] инвариантен к перепараметризации пространства, поскольку для всех $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ ,

d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi ).

Скобка Ли в группе диффеоморфизмов

Скобка Ли дает корректировку члена скорости, возникающего в результате возмущения движения в условиях искривленных пространств. Использование принципа наименьшего действия Гамильтона позволяет получить оптимизирующие потоки как критическую точку для интеграла действия интеграла кинетической энергии. Скобка Ли для векторных полей в вычислительной анатомии была впервые введена Миллером, Труве и Юнесом. ^[6] Вывод вычисляет возмущение $\delta v$ на векторных полях $v^{\varepsilon }=v+\varepsilon \delta v$ через производную по времени группового возмущения, скорректированного коррекцией скобки Ли векторных полей в этой настройке функции с участием матрицы Якоби, в отличие от случая матричной группы:

ad_{v}:V\mapsto V

данный

ad_{v}(w)\doteq (Dv)w-(Dw)v,v,w\in V.

( сопряженная скобка Лие )

Доказательство: Доказательство того, что скобка Ли векторных полей принимает возмущение потока первого порядка в точке. $\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}$ .

Скобка Ли векторных полей

Taking the first order perturbation gives $\varphi _{t}^{\varepsilon }\doteq (\operatorname {id} +\varepsilon w)\circ \varphi =\varphi +\varepsilon w\circ \varphi$ , with fixed boundary $w_{0}=w_{1}=0$ , with ${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }=v_{t}^{\varepsilon }\circ \varphi _{t}^{\varepsilon },\varphi _{0}^{\varepsilon }=\operatorname {id} ,\varphi _{1}^{\varepsilon }=\varphi _{1}$ , giving the following two Eqns:

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }={\frac {d}{dt}}\varphi _{t}+\varepsilon {\frac {d}{dt}}(w_{t}\circ \varphi _{t})=v_{t}\circ \varphi _{t}+(Dw_{t})\circ \varphi _{t}v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .$
${\dot {\varphi }}_{t}^{\varepsilon }=(v_{t}+\varepsilon \delta v_{t})\circ (\varphi _{t}+\varepsilon w_{t}\circ \varphi _{t})\simeq v_{t}\circ \varphi _{t}+\varepsilon (Dv_{t})\circ \varphi _{t}w_{t}\circ \varphi _{t}+\delta v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .$

Equating the above two equations gives the perturbation of the vector field in terms of the Lie bracket adjustment.

Скобка Ли дает изменение векторного поля первого порядка относительно изменения первого порядка потока.

\delta v_{t}={\frac {d}{dt}}w_{t}-ad_{v_{t}}(w_{t})={\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})\ .

Обобщенное уравнение Эйлера–Лагранжа для метрики на диффеоморфных потоках

Уравнение Эйлера-Лагранжа можно использовать для расчета геодезических потоков через группу, которая составляет основу метрики. Интеграл действия для лагранжиана кинетической энергии принципа Гамильтона принимает вид

J(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|{\dot {\varphi }}_{t}\|_{\varphi _{t}}^{2}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|{\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|_{V}^{2}\,dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}A({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})\cdot ({\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1})\,dx\,dt\ .

( Интеграл действия Гамильтона )

Интеграл действия через векторное поле соответствует интегрированию кинетической энергии

J(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt\ .

Геодезические соединения кратчайших путей на орбите определяются с помощью принципа наименьшего действия Гамильтона, требующего вариаций первого порядка решений на орбитах вычислительной анатомии, которые основаны на вычислении критических точек на метрической длине или энергии пути. Исходный вывод уравнения Эйлера ^[7] связанный с геодезическим потоком диффеоморфизмов, использует обобщенное функциональное уравнение, когда $Av\in V^{*}$ является распределением или обобщенной функцией, принимает вариацию интеграла действия первого порядка с помощью сопряженного оператора для скобки Ли ( сопряженная скобка Лия ) дает для всех гладких $w\in V$ ,

{\frac {d}{d\varepsilon }}J(\varphi ^{\varepsilon })|_{\varepsilon =0}=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\,dx\,dt=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\right)\,dx\,dt.

Использование кронштейна $ad_{v}:w\in V\mapsto V$ и $ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*}$ дает

{\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ,

( ЭЛ-Генерал )

значит все гладко $w\in V,$

\int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot \left((Dv_{t})w-(Dw)v_{t}\right)\,dx=0.

Уравнение ( общее Эйлера ) — это уравнение Эйлера, когда диффеоморфный импульс формы является обобщенной функцией. ^[8] Это уравнение было названо EPDiff, уравнением Эйлера – Пуанкаре для диффеоморфизмов, и изучалось в контексте механики жидкости для несжимаемых жидкостей с $L^{2}$ метрика. ^[9] ^[10]

Риманова экспонента для позиционирования

В модели случайной орбиты Вычислительной анатомии весь поток сводится к начальному состоянию, которое формирует координаты, кодирующие диффеоморфизм, а также обеспечивает средства позиционирования информации на орбите. Впервые это была система геодезического позиционирования Миллера, Труве и Юнеса. ^[4] Из начального состояния $v_{0}$ тогда геодезическое позиционирование относительно римановой метрики вычислительной анатомии решает поток уравнения Эйлера-Лагранжа. Решение геодезической из начального условия $v_{0}$ называется римановой экспонентой, отображением $\operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}$ при принадлежности к группе.

Риманова экспонента удовлетворяет $\operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})=\varphi _{1}$ для исходного состояния ${\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}$ , динамика векторного поля ${\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]$ ,

для классического уравнения о диффеоморфном шейп-импульсе как гладком векторе $Av_{t}=\mu _{t}\,dx$ с $\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx\ ,w\in V$ уравнение Эйлера существует в классическом смысле, впервые полученном для плотности: ^[11]

{\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,\ Av_{t}=\mu _{t}\,dx;

для обобщенного уравнения $Av\in V^{*}$ , затем

{\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ .

Это распространился на всю группу, $\varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})\circ \varphi$ .

Вариационная задача сопоставления или регистрации информации о системе координат в вычислительной анатомии.

Сопоставление информации в различных системах координат имеет центральное значение для вычислительной анатомии . Добавление соответствующего термина $E:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\rightarrow R^{+}$ к интегралу действия уравнения ( интегралу действия Гамильтона ) который представляет целевую конечную точку

C(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\ .

Член конечной точки добавляет граничное условие для уравнения Эйлера-Лагранжа ( EL-General ) что дает уравнение Эйлера с граничным членом. Взятие вариации дает

Необходимое геодезическое условие:

{\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}=0\end{cases}}

Доказательство: ^[11] Доказательство с помощью вариационного исчисления использует приведенные выше возмущения и аргументы классического вариационного исчисления.

Доказательство с помощью вариационного исчисления с конечной энергией.

{\begin{aligned}&\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}\delta \varphi _{t}-(Dv_{t}\delta \varphi _{t}-D\delta \varphi _{t}v_{t})\right)\,dx\,dt+\int _{X}\left({\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\cdot \delta \varphi _{1}\,dx\right)\\[6pt]={}&-\int _{0}^{1}\int _{X}\left({\frac {dAv_{t}}{dt}}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot \delta \varphi _{t}\,dx\,dt+\int _{X}\left(Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\right)\cdot \delta \varphi _{1}\,dx.\end{aligned}}

Условия конечной геодезической точки Эйлера – Лагранжа для сопоставления изображений

Самые ранние алгоритмы диффеоморфного метрического картографирования большой деформации ( LDDMM ) решали проблемы сопоставления, связанные с изображениями и зарегистрированными ориентирами. находятся в векторном пространстве. Геодезическое уравнение сопоставления изображений удовлетворяет классическому динамическому уравнению с условием конечной точки. Необходимые условия геодезической для сопоставления изображений имеют форму классического уравнения ( EL-Classic ) Эйлера-Лагранжа с граничными условиями:

\min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-J(x)|^{2}\,dx

Необходимое геодезическое условие:

{\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\end{cases}}

Условия конечной геодезической точки Эйлера – Лагранжа для сопоставления ориентиров

Зарегистрированная задача сопоставления ориентиров удовлетворяет динамическому уравнению для обобщенных функций с условием конечной точки:

\min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\varphi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\varphi _{1}(x_{i})-y_{i}).

Необходимые геодезические условия:

{\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ,\\[4pt]&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}(y_{i}-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}

Доказательство: ^[11]

Вариант ${\frac {\partial }{\partial \varphi }}E(\varphi )$ требует вариации обратного $\varphi ^{-1}$ обобщает матричное возмущение обратного через $(\varphi +\varepsilon \delta \varphi \circ \varphi )\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})=\operatorname {id} +o(\varepsilon )$ предоставление $\delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1}=-(D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi$ предоставление

{\begin{aligned}&{\frac {d}{d\varepsilon }}{\frac {1}{2}}\left.\int _{X}|I\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})-J|^{2}\,dx\right|_{\varepsilon =0}\\[6pt]={}&\int _{X}(I\circ \varphi ^{-1}-J)\nabla I|_{\varphi ^{-1}}(-D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx\\[6pt]={}&-\int _{X}(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx.\end{aligned}}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б П. Дюпюи, У. Гренандер, М. И. Миллер, Существование решений на потоках диффеоморфизмов, Ежеквартальный журнал прикладной математики, 1997.
^ Jump up to: ^а ^б А. Найден. Бесконечномерное групповое действие и распознавание образов. CR Acad Sci Paris Sér I Math, 321 (8): 1031–1034, 1995.
^ Миллер, Мичиган; Юнес, Л. (1 января 2001 г.). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие принципы». Международный журнал компьютерного зрения . 41 : 61–84. CiteSeerX 10.1.1.37.4816 . дои : 10.1023/A:1011161132514 . S2CID 15423783 .
^ Jump up to: ^а ^б Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01 марта 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека» . Технология . 2 (1): 36–43. дои : 10.1142/S2339547814500010 . ISSN 2339-5478 . ПМК 4041578 . ПМИД 24904924 .
^ Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2015 г.). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со времен Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi : 10.1146/annurev-bioeng-071114-040601 . ПМИД 26643025 .
^ Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии» . Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0 . ISSN 0924-9907 . ПМЦ 2897162 . ПМИД 20613972 .
^ Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии» . Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0 . ISSN 0924-9907 . ПМЦ 2897162 . ПМИД 20613972 .
^ М. И. Миллер, А. Труве, Л. Юнес, Геодезическая съемка в вычислительной анатомии, IJCV, 2006.
^ Роберто, Камасса; Холм, Дэррил Д. (13 сентября 1993 г.). «Интегрируемое уравнение мелкой воды с остроконечными солитонами». Письма о физических отзывах . 71 (11): 1661–1664. arXiv : patt-sol/9305002 . Бибкод : 1993PhRvL..71.1661C . doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661 . ПМИД 10054466 . S2CID 8832709 .
^ Холм, Дэррил Д.; Марсден, Джеррольд Э.; Ратиу, Тудор С. (1998). «Уравнения Эйлера – Пуанкаре и полупрямые произведения с приложениями к теориям континуума» . Достижения в математике . 137 (1): 1–81. arXiv : чао-дин/9801015 . дои : 10.1006/aima.1998.1721 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с М.И. Миллер, А. Труве, Л. Юнес, О метрике и уравнениях Эйлера – Лагранжа вычислительной анатомии, Анну. Преподобный Биомед. англ. 2002. 4: 375–405. doi : 10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733 Авторские права °c, 2002 г., Annual Reviews.

[:22-1] Jump up to: ^а ^б П. Дюпюи, У. Гренандер, М. И. Миллер, Существование решений на потоках диффеоморфизмов, Ежеквартальный журнал прикладной математики, 1997.

[:4-2] Jump up to: ^а ^б А. Найден. Бесконечномерное групповое действие и распознавание образов. CR Acad Sci Paris Sér I Math, 321 (8): 1031–1034, 1995.

[3] Миллер, Мичиган; Юнес, Л. (1 января 2001 г.). «Групповые действия, гомеоморфизмы и сопоставление: общие принципы». Международный журнал компьютерного зрения . 41 : 61–84. CiteSeerX 10.1.1.37.4816 . дои : 10.1023/A:1011161132514 . S2CID 15423783 .

[pmid24904924-4] Jump up to: ^а ^б Миллер, Майкл И.; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01 марта 2014 г.). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека» . Технология . 2 (1): 36–43. дои : 10.1142/S2339547814500010 . ISSN 2339-5478 . ПМК 4041578 . ПМИД 24904924 .

[5] Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (1 января 2015 г.). «Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет со времен Д'Арси Томпсона». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии . 17 (1): 447–509. doi : 10.1146/annurev-bioeng-071114-040601 . ПМИД 26643025 .

[6] Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии» . Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0 . ISSN 0924-9907 . ПМЦ 2897162 . ПМИД 20613972 .

[7] Миллер, Майкл И.; Труве, Ален; Юнес, Лоран (31 января 2006 г.). «Геодезическая съемка для вычислительной анатомии» . Журнал математического изображения и видения . 24 (2): 209–228. дои : 10.1007/s10851-005-3624-0 . ISSN 0924-9907 . ПМЦ 2897162 . ПМИД 20613972 .

[:0-8] М. И. Миллер, А. Труве, Л. Юнес, Геодезическая съемка в вычислительной анатомии, IJCV, 2006.

[:2-9] Роберто, Камасса; Холм, Дэррил Д. (13 сентября 1993 г.). «Интегрируемое уравнение мелкой воды с остроконечными солитонами». Письма о физических отзывах . 71 (11): 1661–1664. arXiv : patt-sol/9305002 . Бибкод : 1993PhRvL..71.1661C . doi : 10.1103/PhysRevLett.71.1661 . ПМИД 10054466 . S2CID 8832709 .

[:3-10] Холм, Дэррил Д.; Марсден, Джеррольд Э.; Ратиу, Тудор С. (1998). «Уравнения Эйлера – Пуанкаре и полупрямые произведения с приложениями к теориям континуума» . Достижения в математике . 137 (1): 1–81. arXiv : чао-дин/9801015 . дои : 10.1006/aima.1998.1721 .

[:6-11] Jump up to: ^а ^б ^с М.И. Миллер, А. Труве, Л. Юнес, О метрике и уравнениях Эйлера – Лагранжа вычислительной анатомии, Анну. Преподобный Биомед. англ. 2002. 4: 375–405. doi : 10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733 Авторские права °c, 2002 г., Annual Reviews.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]