Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации

Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации ( LDDMM ) — это особый набор алгоритмов, используемых для диффеоморфного отображения и манипулирования плотными изображениями на основе диффеоморфного метрического отображения в рамках академической дисциплины вычислительной анатомии , в отличие от его предшественника, основанного на диффеоморфном отображении . Разница между ними состоит в том, что диффеоморфные метрические отображения удовлетворяют тому свойству, что длина, связанная с их оттоком от единицы, индуцирует метрику на группе диффеоморфизмов , которая, в свою очередь, индуцирует метрику на орбите фигур и форм внутри поля Вычислительная анатомия . Изучение форм и форм с помощью метрики диффеоморфного метрического отображения называется диффеоморфометрией .

Система диффеоморфного картирования — это система, предназначенная для картирования, манипулирования и передачи информации, которая хранится во многих типах пространственно распределенных медицинских изображений.

Диффеоморфное картирование — это основная технология картирования и анализа информации, измеренной в анатомических системах координат человека, которые были измерены с помощью медицинской визуализации. . Диффеоморфное отображение — это широкий термин, который на самом деле относится к ряду различных алгоритмов, процессов и методов. Он привязан ко многим операциям и имеет множество приложений для анализа и визуализации. Диффеоморфное отображение может использоваться для связи различных источников информации, которые индексируются как функция пространственного положения в качестве ключевой индексной переменной. Диффеоморфизмы по своей латинской корневой структуре представляют собой преобразования, сохраняющие структуру, которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми и, следовательно, гладкими, что позволяет вычислять метрические величины, такие как длина дуги и площади поверхности. Пространственное местоположение и размеры в системах анатомических координат человека могут быть записаны с помощью различных методов медицинской визуализации, обычно называемых мультимодальными медицинскими изображениями, обеспечивающими либо скалярные, либо векторные величины в каждом пространственном местоположении. Примерами являются скалярные Т1 или Т2 магнитно-резонансные изображения или матрицы диффузионного тензора 3х3, диффузионная МРТ и диффузионно-взвешенная визуализация со скалярными плотностями, связанными с компьютерная томография (КТ) или функциональные изображения, такие как временные данные функциональной магнитно-резонансной томографии и скалярные плотности, такие как позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ) .

Вычислительная анатомия — это субдисциплина в более широкой области нейроинформатики и , биоинформатики медицинской визуализации . Первым алгоритмом отображения плотных изображений с помощью диффеоморфного метрического отображения был LDDMM Бега. для объемов и сопоставления ориентиров Джоши для наборов точек с соответствием, с алгоритмами LDDMM, которые теперь доступны для вычисления диффеоморфных метрических карт между несоответствующими ориентирами и сопоставление ориентиров, свойственное сферическим многообразиям, кривые, течения и поверхности, тензоры, варифолды, и временные ряды. Термин LDDMM был впервые создан как часть Национальными институтами здравоохранения поддерживаемой исследовательской сети биомедицинской информатики, .

В более общем смысле, диффеоморфное отображение — это любое решение, которое регистрирует или строит соответствия между плотными системами координат в медицинских изображениях, обеспечивая диффеоморфность решений. Сейчас существует множество кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации. в том числе МУРАВИ, ДАРТЕЛЛ, ДЕМОНЫ, СтационарныйЛДДММ, ФастЛДДММ, как примеры активно используемых вычислительных кодов построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Различие между диффеоморфным метрическим отображением, составляющим основу LDDMM, и самыми ранними методами диффеоморфного отображения заключается во введении принципа наименьшего действия Гамильтона, в котором выбираются большие деформации кратчайшей длины, соответствующие геодезическим потокам. Это важное различие возникает из-за оригинальной формулировки римановой метрики, соответствующей правоинвариантности. Длины этих геодезических дают метрику в метрической пространственной структуре анатомии человека. Негеодезические формулировки диффеоморфных отображений вообще не соответствуют ни одной метрической формулировке.

История развития

Диффеоморфное картирование трехмерной информации в системах координат занимает центральное место в медицинской визуализации с высоким разрешением и в области нейроинформатики в новой области биоинформатики . Диффеоморфное картирование трехмерных систем координат, измеренных с помощью плотных изображений с высоким разрешением, имеет долгую историю в трехмерном мире, начиная с компьютерной аксиальной томографии (CAT-сканирование) в начале 80-х годов, проведенной группой Пенсильванского университета под руководством Рузены Байчи . а затем школа Ульфа Гренандера в Университете Брауна с экспериментами HAND. В 90-х годах было несколько решений по регистрации изображений, связанных с линеаризацией малых деформаций и нелинейной упругости.

Центральным направлением подобласти вычислительной анатомии (CA) в области медицинской визуализации является отображение информации в анатомических системах координат в масштабе морфома 1 миллиметр . В СА картирование плотной информации, измеренной в системах координат на основе магнитно-резонансной томографии (МРТ), например, в мозге, было решено путем неточного сопоставления трехмерных МР-изображений друг с другом. Самое раннее использование диффеоморфного отображения посредством больших потоков деформации диффеоморфизмов для преобразования систем координат при анализе изображений и медицинских визуализациях было сделано Кристенсеном, Рэббитом и Миллером. и Найти. Введение потоков, которые похожи на уравнения движения, используемые в гидродинамике, используют представление о том, что плотные координаты при анализе изображений следуют Лагранжа и Эйлера уравнениям движения . Эта модель становится более подходящей для перекрестных исследований, в которых мозг и/или сердце не обязательно являются деформациями одного по отношению к другому. Методы, основанные на линейной или нелинейной энергетике упругости, которая растет по мере удаления от тождественного отображения шаблона, не подходят для исследования поперечного сечения. Скорее, в моделях, основанных на лагранжевых и эйлеровых потоках диффеоморфизмов, ограничение связано с топологическими свойствами, такими как сохранение открытых множеств, отсутствие пересечения координат, что подразумевает уникальность и существование обратного отображения, а также связные множества, остающиеся связанными. После выхода оригинальной статьи Кристенсена использование диффеоморфных методов быстро стало доминировать в области методов картографирования, и стали доступны быстрые и симметричные методы.

Такие методы эффективны тем, что вводят понятия регулярности решений, что позволяет их дифференцировать и вычислять локальные обратные решения. Недостатком этих методов является отсутствие связанного глобального свойства наименьшего действия, которое могло бы оценить потоки минимальной энергии. Это контрастирует с геодезическими движениями, которые играют центральную роль в изучении кинематики твердого тела , и многими проблемами, решаемыми в физике с помощью принципа наименьшего действия Гамильтона . В 1998 году Дюпюи, Гренандер и Миллер установил условия, гарантирующие существование решений плотного совмещения образов в пространстве потоков диффеоморфизмов. Эти условия требуют воздействия, штрафующего кинетическую энергию, измеряемую через норму Соболева, на пространственные производные потока векторных полей.

Код диффеоморфного метрического отображения большой деформации (LDDMM), который Фейсал Бег получил и реализовал для своей докторской диссертации в Университете Джона Хопкинса. разработал самый ранний алгоритмический код, который решал потоки с фиксированными точками, удовлетворяющие необходимым условиям для задачи сопоставления плотных изображений с учетом наименьшего действия. В настоящее время в компьютерной анатомии существует множество кодов, организованных на основе диффеоморфной регистрации. в том числе МУРАВИ, ДАРТЕЛЛ, ДЕМОНЫ, ЛДДММ, СтационарныйLDDMM как примеры активно используемых вычислительных кодов построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Эти методы большой деформации были распространены на ориентиры без регистрации посредством сопоставления измерений. кривые, поверхности, плотный вектор и тензор образы и варифолды, удаляющие ориентацию.

Модель орбиты диффеоморфизма в вычислительной анатомии

Деформируемая форма в вычислительной анатомии (КА) изучается с помощью диффеоморфного картирования для установления соответствий между анатомическими координатами в медицинской визуализации. В этом случае трехмерные медицинские изображения моделируются как случайная деформация некоторого образца, называемого шаблоном. $I_{temp}$, с элементом набора наблюдаемых изображений в модели случайной орбиты КА для изображений $I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{\text{temp}}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}$. Шаблон сопоставляется с целью путем определения вариационной задачи, в которой шаблон преобразуется с помощью диффеоморфизма, используемого в качестве изменения координаты, чтобы минимизировать условие соответствия квадратичной ошибки между преобразованным шаблоном и целью.

Диффеоморфизмы порождаются гладкими потоками $\varphi _{t},t\in [0,1]$, с $\varphi \doteq \varphi _{1}$, удовлетворяющий лагранжевой и эйлеровой спецификации поля потока, связанного с обыкновенным дифференциальным уравнением,

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}},$

с $v_{t},t\in [0,1]$ эйлеровы векторные поля , определяющие течение. Векторные поля гарантированно будут 1-кратно непрерывно дифференцируемыми. $v_{t}\in C^{1}$ моделируя их пребывание в гладкое гильбертово пространство $v\in V$ поддерживающая 1-непрерывную производную. Обратное $\varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]$ определяется эйлеровым векторным полем с потоком, заданным формулой

${\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}={\rm {id}}\ .$ ( Обратный транспортный поток )

Для обеспечения плавности потоков диффеоморфизмов с обратными векторные поля с компонентами в ${\mathbb {R} }^{3}$ должна быть хотя бы 1-кратно непрерывно дифференцируема в пространстве которые моделируются как элементы гильбертова пространства $(V,\|\cdot \|_{V})$ используя теоремы вложения Соболева так, чтобы каждый элемент $v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,$ имеет 3-кратно интегрируемые с квадратом слабые производные. Таким образом $(V,\|\cdot \|_{V})$ гладко вкладывается в 1-раз непрерывно дифференцируемые функции. Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева.

$\operatorname {Diff} _{V}\doteq \{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .$ ( Группа диффеоморфизмов )

Вариационная задача сопоставления плотных изображений и сопоставления разреженных ориентиров

Алгоритм LDDMM для плотного сопоставления изображений

В СА пространство векторных полей $(V,\|\cdot \|_{V})$ моделируются как воспроизводящее гильбертово пространство ядра (RKHS), определяемое 1-1 дифференциальным оператором $A:V\rightarrow V^{*}$ определение нормы $\|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,$ где интеграл вычисляется интегрированием по частям при $Av$ является обобщенной функцией в дуальном пространстве $V^{*}$. Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро ​​Грина, обратное оператору, было непрерывно дифференцируемо по каждой переменной, что означает, что векторные поля поддерживают 1-непрерывную производную ; видеть для необходимых условий на норму существования решений.

Оригинальные алгоритмы диффеоморфного метрического отображения большой деформации (LDDMM) Бега, Миллера, Труве, Юнеса. был получен с учетом вариаций параметризации векторного поля группы, поскольку $v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}$ находятся в векторном пространстве. Бег решил задачу сопоставления плотных изображений, минимизируя интеграл действия кинетической энергии диффеоморфного потока и одновременно минимизируя член сопоставления конечных точек в соответствии с

${\textstyle \min _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi ,\phi _{0}=id}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{R^{3}}|I\circ \phi _{1}^{-1}-J|^{2}\,dx}$

( Изображения вариационных задач )

• Итерационный алгоритм Бега для плотного сопоставления изображений

Обновление до схождения, $\phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}$ каждую итерацию, с $\phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}$:

${\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}-\int _{R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1old}(y)-J\circ \phi _{t1}^{old}(y))\nabla (I\circ \phi _{t}^{-1old}(y))|D\phi _{t1}^{old}(y)|dy),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}$ ( Beg-LDDMM-итерация )

Это означает, что фиксированная точка в $t=0$ удовлетворяет

$\mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|$,

что, в свою очередь, означает, что он удовлетворяет уравнению сохранения, заданному условием соответствия конечных точек в соответствии с

$Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|$

Сопоставление зарегистрированных ориентиров LDDMM

Задача сопоставления ориентиров имеет поточечное соответствие, определяющее условие конечной точки с геодезическими, заданными следующим минимумом:

$\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})$;

На рисунке показано сопоставление плотных изображений LDMM. В верхнем ряду показано перемещение изображения под потоком. $I\circ \phi _{t}^{-1}$; средний ряд показывает последовательность векторных полей $v_{t},$t=0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; нижний ряд показывает последовательность сеток под $\phi _{t}.$

• Итерационный алгоритм сопоставления ориентиров

Джоши первоначально определил проблему сопоставления зарегистрированных ориентиров. Обновление до схождения, $\phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}$ каждую итерацию, с $\phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}$:

${\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}+\sum _{i}K(\cdot ,\phi _{t}^{old}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{oldT}|_{\phi _{t}^{old}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}^{old}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}$ ( Ориентир-LDDMM-итерация )

Это означает, что фиксированная точка удовлетворяет

$Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}$

с

$Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}$.

Варианты плотного изображения LDDMM и сопоставления ориентиров

использовалось Вариационное исчисление в Беге. ^[49] вывести итерационный алгоритм как решение, которое при сходимости удовлетворяет необходимым условиям максимизации, заданным необходимыми условиями для изменения первого порядка, требующего изменения конечной точки относительно изменения первого порядка векторного поля. Производная по направлению вычисляет производную Гато , рассчитанную в оригинальной статье Бега. ^[49] и.

показывать

Вариация первого порядка потока и векторного поля для сопоставления плотных изображений и ориентиров

The first order variation in the vector fields $v+\epsilon \delta v$ requires the variation of $\phi ^{-1}$ generalizes the matrix perturbation of the inverse via $(\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )$ giving $\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi$. To express the variation in terms of $\delta v$, use the solution to the Lie bracket ${\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }$ giving

$\delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt$

• Image Matching:

Taking the directional derivative of the image endpoint condition $E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx$ gives

${\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx$$=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx$

$=\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx$.

Substituting $\phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}$ gives the necessary condition for an optimum:

${\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}$.

• Landmark Matching:

Take the variation in the vector fields $v+\epsilon \delta v$ of ${\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}$ use the chain rule for the perturbation $\delta \phi \circ \phi$ to gives the first variation

$\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt$

$=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt$

Сопоставление изображений тензора диффузии LDDMM

Сопоставление LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии берет изображение $I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ как поле единичного вектора, определяемое первым собственным вектором. Групповое действие становится

$\varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

где $\|\cdot \|$ что обозначает норму квадрата ошибки изображения.

Сопоставление LDDMM на основе всей тензорной матрицы имеет групповое действие $\varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},$ преобразованные собственные векторы

${\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}$.

Задача плотного сопоставления с основным собственным вектором DTI

Вариационная задача сопоставления векторного изображения $I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$с конечной точкой

$E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).$

становится

$\min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .$

Проблема плотного соответствия в DTI MATRIX

Вариационная задача сопоставления: $M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}$ с конечной точкой

$E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx$

с $\|\cdot \|_{F}$ Норма Фробениуса, дающая вариационную задачу

$\min _{v:v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx$ ( Dense-TensorDTI-Matching )

LDDMM ODF

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокон в каждом месте. HARDI измеряет распространение вдоль $n$ равномерно распределенные направления на сфере и могут характеризовать более сложную геометрию волокон путем восстановления функции распределения ориентации (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF — это функция, определенная на единичной сфере, ${\mathbb {S} }^{2}$. Обозначим корневую ФОД ( ${\sqrt {\text{ODF}}}$) как $\psi ({\bf {s}})$, где $\psi ({\bf {s}})$ неотрицательен, чтобы обеспечить уникальность и $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$. Метрика определяет расстояние между двумя ${\sqrt {\text{ODF}}}$ функции $\psi _{1},\psi _{2}\in \Psi$ как

${\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ — это нормальное скалярное произведение между точками сферы под $\mathrm {L} ^{2}$ метрика. Шаблон и цель обозначаются $\psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)$, $\psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)$, ${\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}$$x\in X$ индексируется по единичной сфере и домену изображения, при этом цель индексируется аналогичным образом.

Определим вариационную задачу, предполагая, что два объема ODF могут быть порождены друг из друга посредством потоков диффеоморфизмов. $\phi _{t}$, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений ${\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}$. Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается по формуле $\phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X$, где $(D\phi _{1})$ является якобианом аффинно преобразованной ODF и определяется как

${\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}$.

Гамильтониан LDDMM для плотного сопоставления изображений

Бег решил первые алгоритмы LDDMM, решив вариационное сопоставление с вариациями векторных полей. Другое решение Виалара, перепараметризует задачу оптимизации с точки зрения состояния $q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I$, для изображения $I(x),x\in X=R^{3}$, причем уравнение динамики управляет состоянием посредством управления, заданного через уравнение переноса по формуле ${\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}$. Термин соответствия конечной точки $E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}$ дает вариационную задачу:

${\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{matrix}}$ ( Сопоставление адвективного состояния-изображения )

${\begin{cases}{\text{Hamiltonian Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text{Endpoint Condition}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1}-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Conserved Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _{t1}|\ ,\ \ t\in [0,1]\ .\\\end{cases}}$ ( Условие согласования гамильтониана )

показывать

Доказательство гамильтоновой динамики

The Hamiltonian dynamics with advected state and control dynamics $q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}$, ${\dot {q}}=-\nabla q\cdot v$ with extended Hamiltonian $H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)$ gives the variational problem

$\min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .$

The first variation gives the condition on the optimizing vector field $Av=-p\nabla q$, with the endpoint condition $p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})$ and dynamics on the Lagrange multipliers determined by the Gatteux derivative conditions $(-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0$ and the state $(\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0$.

Программное обеспечение для диффеоморфного картографирования

Пакеты программного обеспечения , содержащие различные алгоритмы диффеоморфного отображения, включают следующее:

• Деформометрический
• МУРАВЬИ
• МИЛЫЙ Воксельная морфометрия (VBM)
• ДЕМОНЫ
• ЛДДММ
• СтационарныйLDDMM

Облачное программное обеспечение

• МРТОблако

См. также

• Вычислительная анатомия § Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии
• Риманова метрика и скобки Лия в вычислительной анатомии
• Байесовская модель вычислительной анатомии

Дальнейшее чтение

• Черитоглу, Джан; Ван, Лей; Селемон, Линн Д.; Чернанский, Джон Г.; Миллер, Майкл И.; Ратнанатер, Дж. Тилак (28 мая 2010 г.). «Регистрация диффеоморфного метрического картирования большой деформации реконструированных трехмерных изображений гистологических срезов и МР-изображений in vivo» . Границы человеческой неврологии . 4 : 43. дои : 10.3389/fnhum.2010.00043 . ISSN   1662-5161 . ПМЦ   2889720 . ПМИД   20577633 .