Четырехугольник Ламберта

В геометрии четырехугольник Ламберта (также известный как четырехугольник Ибн аль-Хайсама – Ламберта ), ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} – четырехугольник , у которого три угла прямые. Исторически четвертый угол четырехугольника Ламберта представлял значительный интерес, поскольку, если бы можно было доказать, что он прямой, то постулат евклидовой параллельности можно было бы доказать как теорему. Теперь известно, что тип четвертого угла зависит от геометрии, в которой существует четырехугольник. В гиперболической геометрии четвертый угол — острый , в евклидовой — , прямой в эллиптической тупой — .

Четырехугольник Ламберта можно построить из четырехугольника Саккери, соединив середины основания и вершины четырехугольника Саккери. Этот отрезок перпендикулярен как основанию, так и вершине, поэтому любая половина четырехугольника Саккери является четырехугольником Ламберта.

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

В гиперболической геометрии четырехугольник Ламберта AOBF , где углы $\angle FAO,\angle AOB,\angle OBF$ правы , а F напротив О , $\angle AFB$ — острый угол , а кривизна = -1 имеют место следующие соотношения: ^{[ 3 ]}

$\sinh AF=\sinh OB\cosh BF$

$\tanh AF=\cosh OA\tanh OB$

$\sinh BF=\sinh OA\cosh AF$

$\tanh BF=\cosh OB\tanh OA$

$\cosh OF=\cosh OA\cosh AF$

$\cosh OF=\cosh OB\cosh BF$

$\sin \angle AFB={\frac {\cosh OB}{\cosh AF}}={\frac {\cosh OA}{\cosh BF}}$

$\cos \angle AFB=\sinh OA\sinh OB=\tanh AF\tanh BF$

$\cot \angle AFB=\tanh OA\sinh AF=\tanh OB\sinh BF$

$\sin \angle AOF={\frac {\sinh AF}{\sinh OF}}$

$\cos \angle AOF={\frac {\tanh OA}{\tanh OF}}$

$\tan \angle AOF={\frac {\tanh AF}{\sinh OA}}$

Где $\tanh ,\cosh ,\sinh$ являются гиперболическими функциями

Примеры

Ламберта Четырехсторонняя фундаментальная область в орбифолде *p222
* 3222 симметрии с углом 60 градусов в одном из углов.	* Симметрия 4222 с углом 45 градусов в одном из углов.	Предельный четырехугольник Ламберта имеет три прямых угла и один угол 0 градусов с идеальной вершиной на бесконечности, что определяет орбифолда * ∞222 симметрию .

См. также

Неевклидова геометрия

Примечания

^ Рашед, Рошди; Пападопулос, Атанас (23 октября 2017 г.). Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави . Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-056987-2 .
^ альтернативное название четырехугольника Ибн аль-Хайсама-Ламберта было предложено в книге Бориса Абрамовича Розенфельда (1988), «История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства» , стр. 65. Спрингер, ISBN 0-387-96458-4 , в честь Ибн аль-Хайсама.
^ Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 436 . ISBN 0387906940 .

Ссылки

Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975 г.
М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история , 4-е издание, WH Freeman, 2008.

[1] Рашед, Рошди; Пападопулос, Атанас (23 октября 2017 г.). Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави . Вальтер де Грюйтер ГмбХ & Ко КГ. ISBN 978-3-11-056987-2 .

[2] альтернативное название четырехугольника Ибн аль-Хайсама-Ламберта было предложено в книге Бориса Абрамовича Розенфельда (1988), «История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства» , стр. 65. Спрингер, ISBN 0-387-96458-4 , в честь Ибн аль-Хайсама.

[3] Мартин, Джордж Э. (1998). Основы геометрии и неевклидова плоскость (Исправленное 4-е печатное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 436 . ISBN 0387906940 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]