Сито Гольдстона-Пинца-Йылдырыма

Сито Голдстона-Пинца-Йылдырыма (также называемое ситом GPY или методом GPY ) — это ситовой метод и вариант сита Сельберга с обобщенными многомерными ситовыми весами. Сито привело к ряду важных прорывов в аналитической теории чисел .

Он назван в честь математиков Дэна Голдстона , Яноша Пинца и Джема Йылдырыма . Они использовали его в 2005 году, чтобы показать, что существует бесконечно много простых наборов, расстояния между которыми сколь угодно меньше среднего расстояния, которое следует из теоремы о простых числах .

модифицировал решето, Затем Итан Чжан чтобы доказать конечную границу наименьшего промежутка между двумя последовательными простыми числами , который достигается бесконечно часто. Позже сито было снова модифицировано Джеймсом Мейнардом (который понизил границу до $600$) и Теренс Тао .

Сито Гольдстона-Пинца-Йылдырыма

Обозначения

Исправить $k\in \mathbb {N}$ и следующие обозначения:

• $\mathbb {P}$ представляет собой набор простых чисел и $1_{\mathbb {P} }(n)$ характеристическая функция этого множества,
• $\Lambda (n)$ – функция Мангольдта ,
• $\omega (n)$ — это малая простая омега-функция (которая подсчитывает отдельные простые множители $n$)
• ${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$ представляет собой набор различных неотрицательных целых чисел $h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}$.
• $\theta (n)$ - еще одна характеристическая функция простых чисел, определяемая как

$\theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}$

Обратите внимание, что $\theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)$.

Для ${\mathcal {H}}$ мы также определяем

• ${\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})$,
• $P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})$
• $\nu _{p}({\mathcal {H}})$ - это количество различных классов остатков ${\mathcal {H}}$ модуль $p$. Например $\nu _{3}(\{0,2,4\})=3$ и $\nu _{3}(\{0,2\})=2$ потому что $\{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}$ и $\{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}$.

Если $\nu _{p}({\mathcal {H}})<k$ для всех $p\in \mathbb {P}$, то мы позвоним ${\mathcal {H}}$ допустимо.

Строительство

Позволять ${\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}$ допустимо, и рассмотрим следующую отсеивающую функцию

${\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.$

Для каждого $n\in [N+1,2N]$ эта функция подсчитывает простые числа формы $n+h_{i}$ минус некоторый порог $c$, так что если ${\mathcal {S}}>0$ тогда существуют некоторые $n$ такой, что по крайней мере $\lfloor c\rfloor +1$ являются простыми числами в ${\mathcal {H}}(n)$.

С $1_{\mathbb {P} }(n)$ имеет не такие хорошие аналитические свойства, лучше выбрать следующую функцию просеивания

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.$

С $\log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)$ и $c=\log(3n)$, у нас есть ${\mathcal {S}}>0$ только если существует хотя бы два простых числа $n+h_{i}$ и $n+h_{j}$. Далее нам нужно выбрать весовую функцию $w(n)$ так что мы можем обнаружить простые k-кортежи .

Вывод весов

Кандидатом на роль весовой функции является обобщенная функция Мангольдта.

$\Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},$

который обладает следующим свойством: если $\omega (n)>k$, затем $\Lambda _{k}(n)=0$. Эта функция также обнаруживает факторы, которые являются правильными степенями простых чисел, но в приложениях их можно удалить с незначительной ошибкой.

Итак, если ${\mathcal {H}}(n)$ является простым набором k, то функция

$\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))$

не исчезнет. Фактор $1/k!$ предназначен только для вычислительных целей. (Классическая) функция фон Мангольдта может быть аппроксимирована усеченной функцией фон Мангольдта

$\Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),$

где $R$ теперь больше не обозначает длину ${\mathcal {H}}$ но для позиции усечения. Аналогично аппроксимируем $\Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})$ с

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}$

В технических целях мы предпочитаем аппроксимировать кортежи простыми числами, состоящими из нескольких компонентов, а не просто простые кортежи и вводить еще один параметр. $0\leq \ell \leq k$ поэтому мы можем выбрать иметь $k+\ell$ или менее отчетливые простые факторы. Это приводит к окончательной форме

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }$

Без этого дополнительного параметра $\ell$ у каждого есть отчетливый $d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}$ ограничение $d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R$ но вводя этот параметр, можно получить более слабое ограничение $d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R$. Итак, у человека есть $k+\ell$-размерное сито для $k$Задача о трехмерном сите.

Сито Гольдстона-Пинца-Йылдырыма

Сито ГПИ имеет следующий вид

${\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k$

с

$\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k$.

Доказательство основной теоремы Голдстона, Пинца и Йылдырыма.

Учитывать $({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})$ и $({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})$ и $1\leq h_{0}\leq R$ и определить $M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}$. В своей статье Голдстон, Пинц и Йылдырым в двух предложениях доказали, что при подходящих условиях две асимптотические формулы вида

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N$

и

$\sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N$

держи, где $C_{1},C_{2}$ две константы, ${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})$ и ${\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})$ представляют собой две единичные серии, описание которых мы здесь опускаем.

Наконец, можно применить эти результаты к ${\mathcal {S}}$ вывести теорему Голдстона, Пинца и Йылдырыма о бесконечном числе простых наборов, расстояния между которыми сколь угодно меньше среднего расстояния.