Формула Брахмагупты

В евклидовой геометрии формула Брахмагупты VII века , названная в честь индийского математика , используется для нахождения площади любого вписанного четырёхугольника (того, который можно вписать в круг) по длинам сторон. Ее обобщенная версия, формула Бретшнейдера , может использоваться с нециклическим четырехугольником. Формулу Герона можно рассматривать как частный случай формулы Брахмагупты для треугольников.

Формулировка

Формула Брахмагупты дает площадь $K$ вписанного четырехугольника , стороны которого имеют длины $a$ , $b$ , $c$ , $d$ как

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

где $s$ , полупериметр , определяется как

s={\frac {a+b+c+d}{2}}.

Эта формула обобщает формулу Герона для площади треугольника . Треугольник можно рассматривать как четырехугольник с одной стороной нулевой длины. С этой точки зрения, когда $d$ приближается к нулю, вписанный четырехугольник сходится в вписанный треугольник (все треугольники являются вписанными), а формула Брахмагупты упрощается до формулы Герона.

Если полупериметр не используется, формула Брахмагупты имеет вид

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.

Другая эквивалентная версия

K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot

Доказательство

Тригонометрическое доказательство

Здесь использованы обозначения, представленные на рисунке справа. Площадь $K$ вписанного четырехугольника равна сумме площадей $△ ADB$ и $△ BDC$ :

K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.

Но поскольку $□ABCD$ — вписанный четырёхугольник, $∠ DAB = 180° - ∠ DCB$ . Следовательно, $A = грех C.$ грех Поэтому,

K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A

K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A

4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-((pq+rs)\cos A)^{2}

(используя тригонометрическое тождество ).

Решение для общей стороны $DB$ в $△ ADB$ и $△ BDC$ закон косинусов дает

p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.

Подставив $cos C = -cos A$ углы $A$ и $C$ дополнительны ( поскольку ) и переставив, получим

(pq+rs)\cos A={\frac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}).

Подставив это в уравнение площади,

4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}

16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.

Правая часть имеет вид $a 2 - б 2 = (a - b)(a + b)$ и, следовательно, может быть записано как

[2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]

что после перестановки членов в квадратных скобках дает

16K^{2}=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]

это можно снова учесть

16K^{2}=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).

Вводя полупериметр $S = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ p + q + r + s / 2 ⁠$ дает

16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).

Извлекая квадратный корень, получаем

K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.

Нетригонометрическое доказательство

Альтернативное, нетригонометрическое доказательство использует два применения формулы площади треугольника Герона к подобным треугольникам. ^{[ 1 ]}

Распространение на нециклические четырехугольники.

В случае нециклических четырехугольников формулу Брахмагупты можно расширить, рассмотрев меры двух противоположных углов четырехугольника:

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}

где $θ$ — половина суммы любых двух противоположных углов. (Выбор пары противоположных углов не имеет значения: если взять два других угла, половина их суммы равна $180° - θ$ . Поскольку $cos(180° - θ) = -cos θ$ , мы имеем $cos 2 (180° - θ) = потому что 2 θ$ .) Эта более общая формула известна как формула Бретшнейдера .

Это свойство вписанных четырехугольников (и, в конечном счете, вписанных углов ) в том, что сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 °. Следовательно, в случае вписанного четырехугольника $угол θ$ равен 90°, откуда следует член

abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,

давая основную форму формулы Брахмагупты. Из последнего уравнения следует, что площадь вписанного четырехугольника — это максимально возможная площадь любого четырехугольника с заданными длинами сторон.

Близкая формула, доказанная Кулиджем , также дает площадь выпуклого четырехугольника общего вида. Это ^{[ 2 ]}

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}

где $p$ и $q$ — длины диагоналей четырехугольника. Во четырехугольнике вписанном $pq = ac + bd$ согласно теореме Птолемея , и формула Кулиджа сводится к формуле Брахмагупты.

Связанные теоремы

Формула Герона для площади треугольника — это частный случай, полученный при выборе $d = 0$ .
Связь между общей и расширенной формой формулы Брахмагупты аналогична тому, как закон косинусов расширяет теорему Пифагора .
Существуют все более сложные формулы в замкнутой форме для площади обычных многоугольников на кругах, как описано Мэли и др. ^{[ 3 ]}

Ссылки

^ Гесс, Альбрехт, «Шоссе от Херона до Брахмагупты», Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
^ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939), стр. 345-347.
^ Мэйли, Ф. Миллер; Роббинс, Дэвид П.; Роскис, Джули (2005). «О площадях циклических и полуциклических многоугольников». Достижения прикладной математики . 34 (4): 669–689. arXiv : math/0407300 . дои : 10.1016/j.aam.2004.09.008 . S2CID 119565975 .

Внешние ссылки

Эта статья включает в себя материалы доказательства формулы Брахмагупты на сайте PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Гесс, Альбрехт, «Шоссе от Херона до Брахмагупты», Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.

[2] Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939), стр. 345-347.

[3] Мэйли, Ф. Миллер; Роббинс, Дэвид П.; Роскис, Джули (2005). «О площадях циклических и полуциклических многоугольников». Достижения прикладной математики . 34 (4): 669–689. arXiv : math/0407300 . дои : 10.1016/j.aam.2004.09.008 . S2CID 119565975 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]