Расстояние ближайшего сближения

Расстояние наибольшего сближения двух объектов — это расстояние между их центрами, когда они внешне касаются друг друга . Объекты могут представлять собой геометрические фигуры или физические частицы с четко определенными границами. Расстояние наибольшего сближения иногда называют расстоянием контакта.

Для простейших объектов, сфер , расстояние наибольшего сближения представляет собой просто сумму их радиусов. Для несферических объектов расстояние наибольшего сближения является функцией ориентации объектов, и его расчет может быть затруднен. Максимальная плотность упаковки твердых частиц – важная проблема, вызывающая постоянный интерес. ^[1] зависит от их расстояния наибольшего сближения.

Взаимодействия частиц обычно зависят от их разделения, а расстояние наибольшего сближения играет важную роль в определении поведения конденсированных систем.

Исключенный объем

Исключенный объем частиц (объем, исключенный из центров других частиц из-за присутствия одной) является ключевым параметром в таких описаниях; ^[2]^[3] расстояние наибольшего сближения требуется для расчета исключенного объема. Исключенный объем одинаковых сфер всего в четыре раза превышает объем одной сферы . Для других анизотропных объектов исключенный объем зависит от ориентации, и его расчет может оказаться на удивление трудным. ^[4] Простейшие формы после сфер — эллипсы и эллипсоиды; им было уделено значительное внимание , ^[5] однако их исключенный объем неизвестен. Вьейяр Барон смог предложить критерий перекрытия двух эллипсов. Его результаты были полезны для компьютерного моделирования систем твердых частиц и для решения проблем упаковки с использованием моделирования Монте-Карло .

Единственная анизотропная форма, исключенный объем которой может быть выражен аналитически, — это сфероцилиндр ; решение этой проблемы — классическая работа Онсагера. ^[6] Проблема была решена путем учета расстояния между двумя отрезками линий, которые являются центральными линиями цилиндров с крышками. Результаты для других форм недоступны. Зависимость расстояния наибольшего сближения от ориентации имеет удивительные последствия. Системы твердых частиц, взаимодействия которых имеют только энтропийный характер, могут стать упорядоченными. Твердые сфероцилиндры образуют не только ориентационно-упорядоченные нематические, но и позиционно-упорядоченные смектические фазы. ^[7] Здесь система отказывается от некоторого (ориентационного и даже позиционного) беспорядка, чтобы обрести беспорядок и энтропию в другом месте.

Случай двух эллипсов

Вьейяр Барон первым исследовал эту проблему и, хотя он не получил результата для расстояния наибольшего сближения, вывел критерий перекрытия для двух эллипсов. Его окончательные результаты были полезны для изучения фазового поведения твердых частиц и проблемы упаковки с использованием моделирования Монте-Карло . Несмотря на то, что критерии перекрытия были разработаны, ^[8]^[9] Аналитические решения по расстоянию наибольшего сближения и местоположению точки контакта стали доступны лишь недавно. ^[10]^[11] Подробности расчетов приведены в работе. ^[12] Подпрограмма Fortran 90 представлена в Ref. ^[13]

Процедура состоит из трёх шагов:

Преобразование двух касательных эллипсов $E_{1}$ и $E_{2}$ , центры которого соединены вектором $d$ , в круг $C_{1}'$ и эллипс $E_{2}'$ , центры которого соединены вектором $d'$ . Круг $C_{1}'$ и эллипс $E_{2}'$ остаются касательными после преобразования.
Определение расстояния $d'$ самого близкого приближения $C_{1}'$ и $E_{2}'$ аналитически. Это требует соответствующего решения уравнения четвертой степени . Нормальный $n'$ рассчитывается.
Определение расстояния $d$ наибольшего сближения и местонахождение точки контакта $E_{1}$ и $E_{2}$ обратными преобразованиями векторов $d'$ и $n'$ .

Вход:

длины полуосей $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}$ ,
единичные векторы $k_{1}$ , $k_{2}$ вдоль больших осей обоих эллипсов, и
единичный вектор $d$ соединяя центры двух эллипсов.

Выход:

расстояние $d$ между центрами, когда эллипсы $E_{1}$ и $E_{2}$ являются внешне касательными и
расположение точки контакта с точки зрения $k_{1}$ , $k_{2}$ .

Случай двух эллипсоидов

Рассмотрим два эллипсоида , каждый из которых имеет заданную форму и ориентацию , центры которых лежат на прямой с заданным направлением . Мы хотим определить расстояние между центрами, когда эллипсоиды находятся в точечном внешнем контакте. Расстояние наибольшего сближения зависит от формы эллипсоидов и их ориентации. Аналитического решения этой проблемы не существует, поскольку для определения расстояния требуется решение полиномиального уравнения шестого порядка . Здесь разрабатывается алгоритм определения этого расстояния на основе аналитических результатов для расстояния наибольшего сближения эллипсов в 2D, который может быть реализован численно. Подробности приведены в публикациях. ^[14]^[15] Подпрограммы предоставляются в двух форматах: Fortran90. ^[16] и С. ^[17]

Алгоритм состоит из трёх шагов.

Построение плоскости, содержащей линию, соединяющую центры двух эллипсоидов, и нахождение уравнений эллипсов, образованных пересечением этой плоскости и эллипсоидов .
Определение расстояния наибольшего сближения эллипсов; это расстояние между центрами эллипсов, когда они находятся в точечном внешнем контакте.
Вращение плоскости до тех пор, пока расстояние наибольшего сближения эллипсов не станет максимальным . Расстояние наибольшего сближения эллипсоидов и есть это максимальное расстояние.

См. также

Ссылки

^ Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа . 460 (7257). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 876–879. arXiv : 0908.4107 . дои : 10.1038/nature08239 . ISSN 0028-0836 . ПМИД 19675649 . S2CID 52819935 .
^ TL Hill, Введение в статистическую термодинамику (Аддисон Уэсли, Лондон, 1960)
^ Т. А. Виттен и П. А. Пинкус, Структурированные жидкости (Oxford University Press, Оксфорд, 2004).
^ Силы, рост и форма в мягком конденсированном веществе: на стыке физики и биологии, изд. А.Т. Скельтроп и А.В. Белушкин (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),
^ Донев, Александр; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Чайкин, ПМ; Торквато, Сальваторе (23 июня 2004 г.). «Необычайно плотные кристаллические упаковки эллипсоидов». Письма о физических отзывах . 92 (25). Американское физическое общество (APS): 255506. arXiv : cond-mat/0403286 . дои : 10.1103/physrevlett.92.255506 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 15245027 . S2CID 7982407 .
^ Онсагер, Ларс (1949). «Влияние формы на взаимодействие коллоидных частиц». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 51 (4). Уайли: 627–659. дои : 10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x . ISSN 0077-8923 . S2CID 84562683 .
^ Френкель, Даан. (10 сентября 1987 г.). «Возвращение к сфероцилиндрам Онзагера». Журнал физической химии . 91 (19). Американское химическое общество (ACS): 4912–4916. дои : 10.1021/j100303a008 . hdl : 1874/8823 . ISSN 0022-3654 .
^ Вьейяр-Барон, Жак (15 мая 1972 г.). «Фазовые переходы классической системы жесткого эллипса». Журнал химической физики . 56 (10). Издательство AIP: 4729–4744. дои : 10.1063/1.1676946 . ISSN 0021-9606 .
^ Перрам, Джон В.; Вертхайм, MS (1985). «Статистическая механика жестких эллипсоидов. I. Алгоритм перекрытия и контактная функция». Журнал вычислительной физики . 58 (3). Эльзевир Б.В.: 409–416. дои : 10.1016/0021-9991(85)90171-8 . ISSN 0021-9991 .
^ X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсов в двух измерениях», Electronic Liquid Crystal Communications. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine , 2007 г.
^ Чжэн, Сяоюй; Палффи-Мухорай, Питер (26 июня 2007 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсов в двух измерениях». Физический обзор E . 75 (6): 061709. arXiv : 0911.3420 . дои : 10.1103/physreve.75.061709 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 17677285 . S2CID 7576313 .
^ X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, Полная версия, содержащая алгоритм точки контакта, 4 мая 2009 г.
^ Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния контакта и точки контакта для двумерных эллипсов, авторы X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, май 2009 г.
^ Чжэн, Сяоюй; Иглесиас, Уайлдер; Палффи-Мухорай, Питер (20 мая 2009 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсоидов». Физический обзор E . 79 (5). Американское физическое общество (APS): 057702. doi : 10.1103/physreve.79.057702 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 19518604 .
^ X. Чжэн, В. Иглесиас, П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсоидов», Electronic Liquid Crystal Communications , 2008 г.
^ Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов
^ Подпрограмма C для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов

[1] Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009). «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел». Природа . 460 (7257). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 876–879. arXiv : 0908.4107 . дои : 10.1038/nature08239 . ISSN 0028-0836 . ПМИД 19675649 . S2CID 52819935 .

[2] TL Hill, Введение в статистическую термодинамику (Аддисон Уэсли, Лондон, 1960)

[3] Т. А. Виттен и П. А. Пинкус, Структурированные жидкости (Oxford University Press, Оксфорд, 2004).

[4] Силы, рост и форма в мягком конденсированном веществе: на стыке физики и биологии, изд. А.Т. Скельтроп и А.В. Белушкин (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),

[5] Донев, Александр; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Чайкин, ПМ; Торквато, Сальваторе (23 июня 2004 г.). «Необычайно плотные кристаллические упаковки эллипсоидов». Письма о физических отзывах . 92 (25). Американское физическое общество (APS): 255506. arXiv : cond-mat/0403286 . дои : 10.1103/physrevlett.92.255506 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 15245027 . S2CID 7982407 .

[6] Онсагер, Ларс (1949). «Влияние формы на взаимодействие коллоидных частиц». Анналы Нью-Йоркской академии наук . 51 (4). Уайли: 627–659. дои : 10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x . ISSN 0077-8923 . S2CID 84562683 .

[7] Френкель, Даан. (10 сентября 1987 г.). «Возвращение к сфероцилиндрам Онзагера». Журнал физической химии . 91 (19). Американское химическое общество (ACS): 4912–4916. дои : 10.1021/j100303a008 . hdl : 1874/8823 . ISSN 0022-3654 .

[8] Вьейяр-Барон, Жак (15 мая 1972 г.). «Фазовые переходы классической системы жесткого эллипса». Журнал химической физики . 56 (10). Издательство AIP: 4729–4744. дои : 10.1063/1.1676946 . ISSN 0021-9606 .

[9] Перрам, Джон В.; Вертхайм, MS (1985). «Статистическая механика жестких эллипсоидов. I. Алгоритм перекрытия и контактная функция». Журнал вычислительной физики . 58 (3). Эльзевир Б.В.: 409–416. дои : 10.1016/0021-9991(85)90171-8 . ISSN 0021-9991 .

[10] X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсов в двух измерениях», Electronic Liquid Crystal Communications. Архивировано 5 марта 2016 г. в Wayback Machine , 2007 г.

[11] Чжэн, Сяоюй; Палффи-Мухорай, Питер (26 июня 2007 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсов в двух измерениях». Физический обзор E . 75 (6): 061709. arXiv : 0911.3420 . дои : 10.1103/physreve.75.061709 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 17677285 . S2CID 7576313 .

[12] X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, Полная версия, содержащая алгоритм точки контакта, 4 мая 2009 г.

[13] Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния контакта и точки контакта для двумерных эллипсов, авторы X. Чжэн и П. Палффи-Мухорай, май 2009 г.

[14] Чжэн, Сяоюй; Иглесиас, Уайлдер; Палффи-Мухорай, Питер (20 мая 2009 г.). «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных жестких эллипсоидов». Физический обзор E . 79 (5). Американское физическое общество (APS): 057702. doi : 10.1103/physreve.79.057702 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 19518604 .

[15] X. Чжэн, В. Иглесиас, П. Палффи-Мухорай, «Расстояние наибольшего сближения двух произвольных твердых эллипсоидов», Electronic Liquid Crystal Communications , 2008 г.

[16] Подпрограмма Fortran90 для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов

[17] Подпрограмма C для определения расстояния наибольшего сближения эллипсоидов

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]