NLTS-гипотеза

В квантовой теории информации гипотеза об отсутствии тривиальных состояний с низкой энергией (NLTS) является предшественником квантовой теоремы PCP (qPCP) и постулирует существование семейств гамильтонианов со всеми низкоэнергетическими состояниями нетривиальной сложности . Он был сформулирован Майклом Фридманом и Мэтью Гастингсом в 2013 году. Доказательство NLTS будет следствием одного аспекта проблем qPCP — невозможности подтвердить аппроксимацию локальных гамильтонианов через NP-полноту . Другими словами, NLTS-доказательство будет одним из последствий QMA- сложности задач qPCP. На высоком уровне, если это будет доказано, NLTS станет одним из свойств неньютоновской сложности квантовых вычислений . Гипотезы NLTS и qPCP предполагают почти бесконечную сложность предсказания результата квантовых систем со многими взаимодействующими состояниями. Эти расчеты сложности будут иметь последствия для квантовых вычислений, такие как стабильность запутанных состояний при более высоких температурах и возникновение запутанности в природных системах. В настоящее время существует доказательство гипотезы NLTS, опубликованное в препринте.

Свойство NLTS

Свойство NLTS — это базовый набор ограничений, который формирует основу гипотезы NLTS.

Определения

Местные гамильтонианцы

Основная статья: QMA § The_local_hamiltonian_problem

Смотрите также: Гамильтониан (квантовая механика)

A k -локальный гамильтониан (квантовая механика) $H$ — эрмитова матрица, действующая на n кубитов, которую можно представить как сумму $m$ Гамильтоновы члены, действующие не более $k$ кубиты каждый:

$H=\sum _{i=1}^{m}H_{i}.$

Общая k -локальная гамильтонианская проблема состоит в том, что для данного k -локального гамильтониана $H$, чтобы найти наименьшее собственное значение $\lambda$ из $H$. $\lambda$ также называется энергией основного состояния гамильтониана.

Таким образом, семейство локальных гамильтонианов возникает из k -локальной задачи. Клиш формулирует следующее определение локальных гамильтонианов в контексте NLTS:

Пусть I ⊂ N — индексное множество. Семейством локальных гамильтонианов называется множество гамильтонианов { H ^{( н )} }, n ∈ I , где каждый H ^{( н )} определяется на n конечномерных подсистемах (далее в качестве кубитов), которые имеют вид

$H^{(n)}=\sum _{n}H_{m}^{(n)},$

где каждый H _м ^{( н )} действует нетривиально на O (1) кубитов. Еще одним ограничением является операторная норма H _m ^{( н )} ограничен константой, не зависящей от n , и каждый кубит участвует только в постоянном числе термов H _m ^{( н )} .

Топологический порядок

Основная статья: Топологический порядок, защищенный симметрией

См. также: Топологический порядок , Периодическая таблица топологических инвариантов и Топологический изолятор.

В физике топологический ​ порядок — это своего рода порядок в фазе материи с нулевой температурой (также известной как квантовая материя). В контексте NLTS Клиш утверждает: «Семейство гамильтонианов с локальной щелью называется топологически упорядоченным , если какое-либо основное состояние не может быть получено из состояния-продукта с помощью схемы постоянной глубины».

Свойство NLTS

Клиш определяет свойство NLTS следующим образом:

Пусть I — бесконечное множество размеров системы. Семейство локальных гамильтонианов { H ^{( н )} }, n ∈ I обладает свойством NLTS , если существуют ε > 0 и функция f : N → N такая, что

• для всех n ∈ I , H ^{( н )} имеет энергию земли 0,
• ⟨0 ^н | В ^† ЧАС ^{( н )} В |0 ^н ⟩ > εn для любой глубины d схемы U , состоящей из двух кубитных вентилей, и для любого n ∈ I с n ≥ f ( d ).

Гипотеза NLTS

Существует семейство локальных гамильтонианов со свойством NLTS.

PCP

Основная статья: теорема PCP

Доказательство гипотезы NLTS является препятствием для решения гипотезы о qPCP, еще более трудной для доказательства теоремы. Гипотеза qPCP является квантовым аналогом классической теоремы PCP. Классическая теорема PCP утверждает, что выполнимости проблемы , такие как 3SAT, являются NP-сложными при оценке максимального количества предложений, которые могут быть одновременно удовлетворены в гамильтоновой системе. С точки зрения непрофессионала, классический PCP описывает почти бесконечную сложность, связанную с предсказанием результатов работы системы со многими разрешающими состояниями, такой как водяная баня, полная сотен магнитов . qPCP увеличивает сложность, пытаясь решить PCP для квантовых состояний . Хотя это еще не доказано, положительное доказательство qPCP будет означать, что квантовая запутанность в состояниях Гиббса может оставаться стабильной в состояниях с более высокой энергией выше абсолютного нуля .

Доказательство NLETS

NLTS сам по себе трудно доказать, хотя была доказана более простая теорема об отсутствии тривиальных состояний с малой ошибкой (NLETS) , и это доказательство является предшественником NLTS.

NLETS определяется как:

Пусть k > 1 — некоторое целое число и { H _n } _{n ∈ N} — семейство k -локальных гамильтонианов. { H _n } _{n ∈ N} является NLETS, если существует константа ε > 0 такая, что любое ε -самозванное семейство F = { ρ _n } _{n ∈ N} из { H _n } _{n ∈ N} нетривиально.