Эллипсограф

Эллипсограф механизм — это , создающий форму эллипса . Одна из распространенных форм эллипсографа известна как трамвай Архимеда . ^[1] Он состоит из двух челноков, закрепленных на перпендикулярных швеллерах или рельсах, и стержня, прикрепленного к челнокам с помощью шарниров в регулируемых положениях вдоль стержня.

Когда челноки движутся вперед и назад, каждый по своему каналу, все точки стержня движутся по эллиптическим траекториям. Движение стержня называется эллиптическим движением. Полуоси a и b эллипсов имеют длины, равные расстояниям от точки на стержне до каждой из двух осей.

Прямые линии, описываемые опорными точками, представляют собой частный случай эллипса, где длина одной оси в два раза больше расстояния между опорными точками, а длина другой равна нулю. Все точки на окружности, диаметр которой определяется двумя точками опоры, совершают возвратно-поступательное движение по таким прямым линиям. Этот круг соответствует меньшему кругу в паре Туси .

Точка на полпути между точками опоры вращается по кругу вокруг точки пересечения каналов. Этот круг также является частным случаем эллипса. Здесь оси имеют одинаковую длину. Диаметр круга равен расстоянию между шарнирами. Направление движения по орбите противоположно направлению вращения трала. Таким образом, если кривошип, расположенный в точке пересечения каналов, используется для задействования барабана в средней точке для его приведения в движение, вращение кривошипа и барабана одинаково и противоположно, что в практических приложениях приводит к дополнительному трению и ускорению. носить. Это усугубляется большими усилиями из-за короткого хода рукоятки, составляющего всего 1/4 хода шарниров.

Версии также производятся в виде игрушек или новинок (продаются под названиями «Кентукки ничего не делают» , «ничего не делают» , «ничего не делают машины» , «дымовые мельницы » или «ерундовые мельницы» ). В этих игрушках вытяжной инструмент заменен кривошипной ручкой, а положение скользящих челноков по стержню обычно фиксировано.

Математика

Концепция

Траммель Архимеда как эллипсограф
Диаграмма
Локусы некоторых точек вдоль и за пределами архимедовой траектории, зеленый кружок — это местоположение его средней точки. В файле SVG наведите указатель на диаграмму, чтобы переместить траекторию.
Трамвай Архимеда с тремя ползунами

Пусть $C$ — внешний конец стержня, а $A$ , $B$ — шарниры ползунков. Пусть $AB$ и $BC$ — расстояния от $A$ до $B$ и $от B$ до $C$ соответственно. Предположим, что ползунки $A$ и $B$ перемещаются по $осям y$ и $x$ координатным соответственно. Когда стержень образует угол $θ$ с осью x , координаты точки $C$ определяются выражением

x=(AB+BC)\cos \theta \,

y=BC\sin \theta \,

Они имеют форму стандартных параметрических уравнений для эллипса в каноническом положении. Дальнейшее уравнение

{\frac {x^{2}}{(AB+BC)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(BC)^{2}}}=1

также является немедленным.

Барабан Архимеда представляет собой пример четырехзвенной рычажной системы с двумя ползунами и двумя шарнирами и является частным случаем более общего наклонного траба. Оси, ограничивающие повороты, не обязательно должны быть перпендикулярны, а точки $A$ , $B$ и $C$ могут образовывать треугольник. Полученный локус C $по-прежнему представляет собой$ эллипс. ^[2]

Эллипсографы

Эллипсограф — это машина Архимеда, предназначенная для рисования, вырезания или обработки эллипсов, например, в дереве или других листовых материалах. эллипсографа прикреплен соответствующий инструмент (карандаш, нож, фрезер К стержню и т. д.). Обычно расстояния a и b регулируются, так что размер и форму эллипса можно варьировать.

История таких эллипсографов неизвестна, но считается, что они восходят к Проклу и, возможно, даже ко временам Архимеда . ^[2]

См. также

Примечания

^ Шварцман, Стивен (1996). Слова математики . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-511-9 . ( ограниченная онлайн-копия , стр. 223, в Google Книгах )
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ветцель, Джон Э. (февраль 2010 г.). «Древний эллиптический локус». Американский математический ежемесячник . 117 (2): 161–167. дои : 10.4169/000298910x476068 . JSTOR 10 . S2CID 117701083 .

Ссылки

Дж. У. Даунс: Практические конические сечения: геометрические свойства эллипсов, парабол и гипербол . Курьер Дувр 2003 г., ISBN 978-0-486-42876-5 , стр. 4–5 ( ограниченная онлайн-копия , стр. 4, в Google Книгах )
И. И. Артоболевский Механизмы образования плоских кривых . Пергамон Пресс 1964, ISBN 978-1483120003 .

Внешние ссылки

Видео различных конструкций батутов в действии
Вырезание эллипсов в дереве
Фотография бездельника из Кентукки
Видео ничего не делающего из Lego кубиков
«Шаткая трамбовка Архимеда». Архивировано 20 февраля 2012 г. в Wayback Machine. Исследование обобщенной трамбовки.
Патент США 4306598 на направляющую для резки эллипса, позволяющую делать эллипсы небольшого размера.
"Секреты Nothing Grinder" Видео на YouTube от Mathologer

[1] Шварцман, Стивен (1996). Слова математики . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-511-9 . ( ограниченная онлайн-копия , стр. 223, в Google Книгах )

[AMM-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Ветцель, Джон Э. (февраль 2010 г.). «Древний эллиптический локус». Американский математический ежемесячник . 117 (2): 161–167. дои : 10.4169/000298910x476068 . JSTOR 10 . S2CID 117701083 .

[1]

[2]