Поляризация (алгебра Ли)

В теории представлений поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство некоторой кососимметричной билинейной формы на алгебре Ли . Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли с помощью метода орбит. а также в гармоническом анализе групп Ли и математической физике .

Определение

Позволять $G$ быть группой Лжи, ${\mathfrak {g}}$ соответствующую алгебру Ли и ${\mathfrak {g}}^{*}$ он двойной . Позволять $\langle f,\,X\rangle$ обозначаем значение линейной формы (ковектора) $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ на векторе $X\in {\mathfrak {g}}$. Подалгебра ${\mathfrak {h}}$ алгебры ${\mathfrak {g}}$ называется подчиненным ​ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ если условие

$\forall X,Y\in {\mathfrak {h}}\ \langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0$,

или, альтернативно,

$\langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0$

удовлетворен. Далее, пусть группа $G$ действовать на пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ через коприсоединенное представление $\mathrm {Ad} ^{*}$. Позволять ${\mathcal {O}}_{f}$ — орбита такого действия, проходящая через точку $f$ и пусть ${\mathfrak {g}}^{f}$ — алгебра Ли стабилизатора $\mathrm {Stab} (f)$ в точку $f$. Подалгебра ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ подчиненный $f$ называется поляризацией алгебры ${\mathfrak {g}}$ относительно $f$, или, говоря более кратко, поляризация ковектора $f$, если оно имеет максимально возможную размерность, а именно

$\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}$.

Состояние Пуканского

Следующее условие было получено Л. Пуканским :

Позволять ${\mathfrak {h}}$ — поляризация алгебры ${\mathfrak {g}}$ относительно ковектора $f$ и ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ будь его уничтожителем : ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}$. Поляризация ${\mathfrak {h}}$ Говорят, что он удовлетворяет условию Пуканского, если

$f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}.$

Л. Пуканский показал, что это условие гарантирует применимость Кириллова, первоначально метода орбит построенного для нильпотентных групп для более общего случая разрешимых групп . , также и

Характеристики

• Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ об алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$.
• Для некоторых пар $({\mathfrak {g}},\,f)$ поляризации может не быть.
• Если поляризация существует для ковектора $f$, то он существует для каждой точки орбиты ${\mathcal {O}}_{f}$ также, и если ${\mathfrak {h}}$ поляризация для $f$, затем $\mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}$ поляризация для $\mathrm {Ad} _{g}^{*}f$. Таким образом, существование поляризации является свойством орбиты в целом.
• Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ , вполне разрешима допускает поляризацию для любой точки $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$.
• Если ${\mathcal {O}}$ является орбитой общего положения (т.е. имеет максимальную размерность) для каждой точки $f\in {\mathcal {O}}$ существует разрешимая поляризация.