Коробочный сплайн

В математических областях численного анализа и теории аппроксимации коробчатые сплайны представляют собой кусочно- полиномиальные функции нескольких переменных. ^[1] Бокс-сплайны рассматриваются как многомерное обобщение базисных сплайнов (B-сплайны) и обычно используются для многомерной аппроксимации/интерполяции. Геометрически прямоугольный сплайн — это тень (рентгеновское излучение) гиперкуба, проецируемая в пространство более низкого измерения. ^[2] Бокс-сплайны и симплекс-сплайны — это хорошо изученные частные случаи многогранных сплайнов, которые определяются как тени общих многогранников .

Определение

Прямоугольный сплайн — это многомерная функция. $(\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} )$ определено для набора векторов, $\xi \in \mathbb {R} ^{d},$ обычно собираются в матрицу $\mathbf {\Xi } :=\left[\xi _{1}\dots \xi _{N}\right].$

Когда количество векторов совпадает с размерностью области (т. е. $N=d$ ) тогда прямоугольный сплайн — это просто (нормализованная) индикаторная функция параллелепипеда, образованного векторами в $\mathbf {\Xi }$ :

M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} ):={\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}\chi _{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\frac {1}{\mid {\det {\Xi }}\mid }}&{\text{if }}\mathbf {x} =\sum _{n=1}^{d}{t_{n}\xi _{n}}{\text{ for some }}0\leq t_{n}<1\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}

Добавляем новое направление, $\xi ,$ к $\mathbf {\Xi } ,$ или вообще когда $N>d,$ сплайн блока определяется рекурсивно: ^[1]

M_{\mathbf {\Xi } \cup \xi }(\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}M_{\mathbf {\Xi } }(\mathbf {x} -t\xi )\,{\rm {d}}t.

Коробочный сплайн $M_{\mathbf {\Xi } }$ можно интерпретировать как тень индикаторной функции единичного гиперкуба в $\mathbb {R} ^{N}$ когда проецируется вниз в $\mathbb {R} ^{d}.$ С этой точки зрения векторы $\xi \in \mathbf {\Xi }$ являются геометрической проекцией стандартного базиса в $\mathbb {R} ^{N}$ (т. е. ребра гиперкуба) до $\mathbb {R} ^{d}.$

При рассмотрении умеренных распределений прямоугольный сплайн, связанный с одним вектором направления, представляет собой Дирака, типа обобщенную функцию поддерживаемую $t\xi$ для $0\leq t<1$ . Тогда общий блочный сплайн определяется как свертка распределений, связанных с одновекторными сплайнами:

M_{\mathbf {\Xi } }=M_{\xi _{1}}\ast M_{\xi _{2}}\ast \dots \ast M_{\xi _{N}}.

Характеристики

Позволять $\kappa$ — минимальное число направлений, удаление которых из $\Xi$ делает остальные направления не охватывающими $\mathbb {R} ^{d}$ . Тогда коробчатый сплайн имеет $\kappa -2$ степени непрерывности: $M_{\mathbf {\Xi } }\in C^{\kappa -2}(\mathbb {R} ^{d})$ . ^[1]
Когда $N\geq d$ (и векторы в $\Xi$ охватывать $\mathbb {R} ^{d}$ ) бокс-сплайн — функция с компактным носителем, носителем которой является зонотоп в $\mathbb {R} ^{d}$ образованная суммой Минковского векторов направления $\xi \in \mathbf {\Xi }$ .
Поскольку зонотопы центрально симметричны, носитель коробчатого сплайна симметричен относительно его центра: $\mathbf {c} _{\Xi }:={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N}\xi _{n}.$
Преобразование Фурье коробчатого сплайна в $d$ размеры, определяются выражением

{\hat {M}}_{\Xi }(\omega )=\exp(-j\mathbf {c} _{\Xi }\cdot \omega )\prod _{n=1}^{N}\operatorname {sinc} (\xi _{n}\cdot \omega ).

Приложения

Для приложений используются линейные комбинации сдвигов одного или нескольких коробчатых сплайнов на решетке. Такие сплайны более эффективны, чем линейные комбинации симплексных сплайнов, поскольку они масштабируются и, по определению, инвариантны к сдвигу. Таким образом, они образуют отправную точку для многих поверхностей разделения конструкций .

Коробчатые сплайны были полезны при описании компоновок гиперплоскостей. ^[3] Кроме того, коробчатые сплайны могут бытьиспользуется для вычисления объема многогранников. ^[4]

В контексте многомерной обработки сигналов коробчатые сплайны могут предоставлять многомерные ядра интерполяции (фильтры восстановления), адаптированные к недекартовым решеткам выборки . ^[5] и кристаллографические решетки (корневые решетки), которые включают в себя множество теоретико-информационно оптимальных решеток выборки. ^[6] В общем случае оптимальная упаковка сфер и решетки, покрывающие сферы ^[7] полезны для выборки многомерных функций в 2-D, 3-D и более высоких измерениях. ^[8]В режиме 2-D трехмерный прямоугольный сплайн ^[9] используется для интерполяции изображений с гексагональной выборкой. В режиме 3-D четырехстороннее ^[10] и шестинаправленный ^[11] коробчатые сплайны используются для интерполяции данных, выбранных на (оптимальных) объемно-центрированных кубических и гранецентрированных кубических решетках соответственно. ^[5] Семинаправленный коробчатый сплайн ^[12] использовался для моделирования поверхностей и может использоваться для интерполяции данных на декартовой решетке. ^[13] а также объемноцентрированная кубическая решетка. ^[14] Обобщение четырех- ^[10] и шестинаправленный ^[11] коробчатые сплайны для более высоких размеров ^[15] может использоваться для построения сплайнов на корневых решетках . ^[16] Коробчатые шлицы являются ключевыми компонентами шестигранных шлицев. ^[17] и сплайны Вороного ^[18] которые, однако, не подлежат переработке.

Коробочные сплайны нашли применение в многомерной фильтрации, особенно для быстрой двусторонней фильтрации и алгоритмов нелокальных средних. ^[19] Кроме того, коробчатые сплайны используются для разработки эффективных пространственно-вариантных (т. е. несверточных) фильтров. ^[20]

Коробочные сплайны являются полезными базисными функциями для представления изображений в контексте задач томографической реконструкции , поскольку пространства сплайнов, порожденные пространствами коробчатых сплайнов, замкнуты относительно рентгеновских преобразований и преобразований Радона . ^[21]^[22] В этом приложении, хотя сигнал представлен в пространствах, инвариантных к сдвигу, проекции получаются в замкнутой форме путем неравномерного перемещения коробчатых сплайнов. ^[21]

Было показано, что в контексте обработки изображений кадры прямоугольных сплайнов эффективны при обнаружении краев. ^[23]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Бур, К.; Хеллиг, К.; Рименшнейдер, С. (1993). Коробочные шлицы . Прикладные математические науки. Том 98. doi : 10.1007/978-1-4757-2244-4 . ISBN 978-1-4419-2834-4 .
^ Праутч, Х.; Бём, В.; Палушный, М. (2002). «Коробочные сплайны». Методы Безье и B-сплайна . Математика и визуализация. стр. 239–258. дои : 10.1007/978-3-662-04919-8_17 . ISBN 978-3-642-07842-2 .
^ Де Кончини, К.; Процесси, К. (2010). Темы компоновок гиперплоскостей, многогранников и коробчатых сплайнов . дои : 10.1007/978-0-387-78963-7 . ISBN 978-0-387-78962-0 .
^ Сюй, З. (2011). «Многомерные сплайны и многогранники». Журнал теории приближения . 163 (3): 377–387. arXiv : 0806.1127 . дои : 10.1016/j.jat.2010.10.005 . S2CID 10063913 .
^ Jump up to: ^а ^б Энтезари, Алиреза. Оптимальные решетки выборки и трехмерные сплайны. [Ванкувер, Британская Колумбия]: Университет Саймона Фрейзера, 2007. < http://summit.sfu.ca/item/8178 >.
^ Кунш, HR; Агрелл, Э.; Хампрехт, ФА (2005). «Оптимальные решетки для выборки» . Транзакции IEEE по теории информации . 51 (2): 634. doi : 10.1109/TIT.2004.840864 . S2CID 16942177 .
^ Дж. Х. Конвей, NJA Слоан. Сферические упаковки, решетки и группы. Спрингер, 1999.
^ Петерсен, ДП; Миддлтон, Д. (1962). «Выборка и реконструкция функций с ограниченным волновым числом в N-мерных евклидовых пространствах» . Информация и контроль . 5 (4): 279. doi : 10.1016/S0019-9958(62)90633-2 .
^ Кондат, Л.; Ван Де Виль, Д. (2006). «Трехнаправленные коробчатые сплайны: характеристика и эффективная оценка» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 13 (7): 417. Бибкод : 2006ISPL...13..417C . дои : 10.1109/LSP.2006.871852 . S2CID 9023102 .
^ Jump up to: ^а ^б Энтезари, А.; Ван Де Виль, Д.; Моллер, Т. (2008). «Практические коробчатые сплайны для реконструкции телоцентрированной кубической решетки» (PDF) . Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 14 (2): 313–328. дои : 10.1109/TVCG.2007.70429 . ПМИД 18192712 . S2CID 6395127 .
^ Jump up to: ^а ^б Минхо Ким, М.; Энтезари, А.; Петерс, Йорг (2008). «Реконструкция коробчатого сплайна на гранецентрированной кубической решетке». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 14 (6): 1523–1530. CiteSeerX 10.1.1.216.408 . дои : 10.1109/TVCG.2008.115 . ПМИД 18989005 . S2CID 194024 .
^ Петерс, Йорг; Виттман, М. (1997). «Смеси CSG на основе коробчатых сплайнов» . Материалы четвертого симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям - SMA '97 . стр. 195 . дои : 10.1145/267734.267783 . ISBN 0897919467 . S2CID 10064302 .
^ Энтезари, А.; Моллер, Т. (2006). «Расширение сплайна ящика Цварта-Пауэлла для объемной реконструкции данных на декартовой решетке». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 12 (5): 1337–1344. дои : 10.1109/TVCG.2006.141 . ПМИД 17080870 . S2CID 232110 .
^ Минхо Ким (2013). «Реконструкция сплайна квадратного ящика на решетке BCC». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 19 (2): 319–330. дои : 10.1109/TVCG.2012.130 . ПМИД 22614329 . S2CID 7338997 .
^ Ким, Минхо. Симметричные коробчатые сплайны на корневых решетках. [Гейнсвилл, Флорида]: Университет Флориды, 2008. < http://uf.catalog.fcla.edu/permalink.jsp?20UF021643670 >.
^ Ким, М.; Петерс, Йорг (2011). «Симметричные коробчатые сплайны на корневых решетках» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 235 (14): 3972. doi : 10.1016/j.cam.2010.11.027 .
^ Ван Де Виль, Д.; Блу, Т.; Унсер, М.; Филипс, В.; Лемахье, И.; Ван Де Валле, Р. (2004). «Шестиугольные сплайны: новое семейство сплайнов для шестиугольных решеток» (PDF) . Транзакции IEEE при обработке изображений . 13 (6): 758–772. Бибкод : 2004ИТИП...13..758В . дои : 10.1109/TIP.2004.827231 . ПМИД 15648867 . S2CID 9832708 .
^ Мирзаргар, М.; Энтезари, А. (2010). «Сплайны Вороного». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 58 (9): 4572. Бибкод : 2010ИТСП...58.4572М . дои : 10.1109/TSP.2010.2051808 . S2CID 9712416 .
^ Бэк, Дж.; Адамс, А.; Долсон, Дж. (2012). «Высокомерная гауссова фильтрация на основе решетки и пермутоэдральная решетка». Журнал математического изображения и видения . 46 (2): 211. doi : 10.1007/s10851-012-0379-2 . hdl : 1721.1/105344 . S2CID 16576761 .
^ Чаудхури, КН; МуньОз-Баррутиа, А .; Унсер, М. (2010). «Быстрая пространственно-вариантная эллиптическая фильтрация с использованием прямоугольных сплайнов». Транзакции IEEE при обработке изображений . 19 (9): 2290–2306. arXiv : 1003.2022 . Бибкод : 2010ITIP...19.2290C . дои : 10.1109/TIP.2010.2046953 . ПМИД 20350851 . S2CID 16383503 .
^ Jump up to: ^а ^б Энтезари, А.; Нильчиан, М.; Унсер, М. (2012). «Исчисление коробчатых сплайнов для дискретизации задач реконструкции компьютерной томографии» (PDF) . Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 31 (8): 1532–1541. дои : 10.1109/TMI.2012.2191417 . ПМИД 22453611 . S2CID 3787118 .
^ Энтезари, А.; Унсер, М. (2010). «Коробчатое сплайн-исчисление для компьютерной томографии». 2010 Международный симпозиум IEEE по биомедицинской визуализации: от нано к макро . п. 600. дои : 10.1109/ISBI.2010.5490105 . ISBN 978-1-4244-4125-9 . S2CID 17368057 .
^ Го, В.; Лай, MJ (2013). «Кадры вейвлетов прямоугольного сплайна для анализа краев изображения» . SIAM Журнал по визуализации . 6 (3): 1553. дои : 10.1137/120881348 . S2CID 2708993 .

[thebook-1] Jump up to: ^а ^б ^с Бур, К.; Хеллиг, К.; Рименшнейдер, С. (1993). Коробочные шлицы . Прикладные математические науки. Том 98. doi : 10.1007/978-1-4757-2244-4 . ISBN 978-1-4419-2834-4 .

[2] Праутч, Х.; Бём, В.; Палушный, М. (2002). «Коробочные сплайны». Методы Безье и B-сплайна . Математика и визуализация. стр. 239–258. дои : 10.1007/978-3-662-04919-8_17 . ISBN 978-3-642-07842-2 .

[boxHyperplane-3] Де Кончини, К.; Процесси, К. (2010). Темы компоновок гиперплоскостей, многогранников и коробчатых сплайнов . дои : 10.1007/978-0-387-78963-7 . ISBN 978-0-387-78962-0 .

[boxpolytope-4] Сюй, З. (2011). «Многомерные сплайны и многогранники». Журнал теории приближения . 163 (3): 377–387. arXiv : 0806.1127 . дои : 10.1016/j.jat.2010.10.005 . S2CID 10063913 .

[summit.sfu.ca-5] Jump up to: ^а ^б Энтезари, Алиреза. Оптимальные решетки выборки и трехмерные сплайны. [Ванкувер, Британская Колумбия]: Университет Саймона Фрейзера, 2007. < http://summit.sfu.ca/item/8178 >.

[optSamp-6] Кунш, HR; Агрелл, Э.; Хампрехт, ФА (2005). «Оптимальные решетки для выборки» . Транзакции IEEE по теории информации . 51 (2): 634. doi : 10.1109/TIT.2004.840864 . S2CID 16942177 .

[7] Дж. Х. Конвей, NJA Слоан. Сферические упаковки, решетки и группы. Спрингер, 1999.

[petmid62-8] Петерсен, ДП; Миддлтон, Д. (1962). «Выборка и реконструкция функций с ограниченным волновым числом в N-мерных евклидовых пространствах» . Информация и контроль . 5 (4): 279. doi : 10.1016/S0019-9958(62)90633-2 .

[9] Кондат, Л.; Ван Де Виль, Д. (2006). «Трехнаправленные коробчатые сплайны: характеристика и эффективная оценка» (PDF) . Письма об обработке сигналов IEEE . 13 (7): 417. Бибкод : 2006ISPL...13..417C . дои : 10.1109/LSP.2006.871852 . S2CID 9023102 .

[fourDir-10] Jump up to: ^а ^б Энтезари, А.; Ван Де Виль, Д.; Моллер, Т. (2008). «Практические коробчатые сплайны для реконструкции телоцентрированной кубической решетки» (PDF) . Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 14 (2): 313–328. дои : 10.1109/TVCG.2007.70429 . ПМИД 18192712 . S2CID 6395127 .

[sixDir-11] Jump up to: ^а ^б Минхо Ким, М.; Энтезари, А.; Петерс, Йорг (2008). «Реконструкция коробчатого сплайна на гранецентрированной кубической решетке». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 14 (6): 1523–1530. CiteSeerX 10.1.1.216.408 . дои : 10.1109/TVCG.2008.115 . ПМИД 18989005 . S2CID 194024 .

[12] Петерс, Йорг; Виттман, М. (1997). «Смеси CSG на основе коробчатых сплайнов» . Материалы четвертого симпозиума ACM по твердотельному моделированию и приложениям - SMA '97 . стр. 195 . дои : 10.1145/267734.267783 . ISBN 0897919467 . S2CID 10064302 .

[13] Энтезари, А.; Моллер, Т. (2006). «Расширение сплайна ящика Цварта-Пауэлла для объемной реконструкции данных на декартовой решетке». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 12 (5): 1337–1344. дои : 10.1109/TVCG.2006.141 . ПМИД 17080870 . S2CID 232110 .

[14] Минхо Ким (2013). «Реконструкция сплайна квадратного ящика на решетке BCC». Транзакции IEEE по визуализации и компьютерной графике . 19 (2): 319–330. дои : 10.1109/TVCG.2012.130 . ПМИД 22614329 . S2CID 7338997 .

[15] Ким, Минхо. Симметричные коробчатые сплайны на корневых решетках. [Гейнсвилл, Флорида]: Университет Флориды, 2008. < http://uf.catalog.fcla.edu/permalink.jsp?20UF021643670 >.

[rootlattice-16] Ким, М.; Петерс, Йорг (2011). «Симметричные коробчатые сплайны на корневых решетках» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 235 (14): 3972. doi : 10.1016/j.cam.2010.11.027 .

[17] Ван Де Виль, Д.; Блу, Т.; Унсер, М.; Филипс, В.; Лемахье, И.; Ван Де Валле, Р. (2004). «Шестиугольные сплайны: новое семейство сплайнов для шестиугольных решеток» (PDF) . Транзакции IEEE при обработке изображений . 13 (6): 758–772. Бибкод : 2004ИТИП...13..758В . дои : 10.1109/TIP.2004.827231 . ПМИД 15648867 . S2CID 9832708 .

[18] Мирзаргар, М.; Энтезари, А. (2010). «Сплайны Вороного». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 58 (9): 4572. Бибкод : 2010ИТСП...58.4572М . дои : 10.1109/TSP.2010.2051808 . S2CID 9712416 .

[19] Бэк, Дж.; Адамс, А.; Долсон, Дж. (2012). «Высокомерная гауссова фильтрация на основе решетки и пермутоэдральная решетка». Журнал математического изображения и видения . 46 (2): 211. doi : 10.1007/s10851-012-0379-2 . hdl : 1721.1/105344 . S2CID 16576761 .

[20] Чаудхури, КН; МуньОз-Баррутиа, А .; Унсер, М. (2010). «Быстрая пространственно-вариантная эллиптическая фильтрация с использованием прямоугольных сплайнов». Транзакции IEEE при обработке изображений . 19 (9): 2290–2306. arXiv : 1003.2022 . Бибкод : 2010ITIP...19.2290C . дои : 10.1109/TIP.2010.2046953 . ПМИД 20350851 . S2CID 16383503 .

[boxTomo-21] Jump up to: ^а ^б Энтезари, А.; Нильчиан, М.; Унсер, М. (2012). «Исчисление коробчатых сплайнов для дискретизации задач реконструкции компьютерной томографии» (PDF) . Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 31 (8): 1532–1541. дои : 10.1109/TMI.2012.2191417 . ПМИД 22453611 . S2CID 3787118 .

[22] Энтезари, А.; Унсер, М. (2010). «Коробчатое сплайн-исчисление для компьютерной томографии». 2010 Международный симпозиум IEEE по биомедицинской визуализации: от нано к макро . п. 600. дои : 10.1109/ISBI.2010.5490105 . ISBN 978-1-4244-4125-9 . S2CID 17368057 .

[edgeDetection-23] Го, В.; Лай, MJ (2013). «Кадры вейвлетов прямоугольного сплайна для анализа краев изображения» . SIAM Журнал по визуализации . 6 (3): 1553. дои : 10.1137/120881348 . S2CID 2708993 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]