Квантовый шрам

Индуцированный возмущением квантовый скачок шрама в неупорядоченной квантовой яме с внешним магнитным полем.

В квантовой механике квантовое рубцевание — это явление, при котором собственные состояния классической хаотической квантовой системы имеют повышенную плотность вероятности вокруг путей нестабильных классических периодических орбит. Нестабильность периодической орбиты является решающим моментом, который отличает квантовые шрамы от более тривиального наблюдения, согласно которому плотность вероятности увеличивается в окрестности стабильных периодических орбит. Последнее можно понимать как чисто классическое явление, проявление принципа соответствия Бора , тогда как в первом существенна квантовая интерференция. Таким образом, рубцевание является одновременно наглядным примером квантово-классического соответствия и одновременно примером (локального) квантового подавления хаоса.

Классически хаотическая система также является эргодической , и поэтому (почти) все ее траектории в конечном итоге равномерно исследуют все доступное фазовое пространство. Таким образом, было бы естественно ожидать, что собственные состояния квантового аналога будут равномерно заполнять квантовое фазовое пространство вплоть до случайных флуктуаций в квазиклассическом пределе. Однако шрамы являются существенной поправкой к этому предположению. Таким образом, шрамы можно рассматривать как собственный аналог того, как короткие периодические орбиты вносят поправки в универсальную спектральную статистику теории случайных матриц . Существуют строгие математические теоремы о квантовой природе эргодичности. доказывая, что математическое ожидание оператора сходится в квазиклассическом пределе к соответствующему микроканоническому классическому среднему. Тем не менее квантовые теоремы эргодичности не исключают рубцевания, если объем квантового фазового пространства рубцов постепенно исчезает в квазиклассическом пределе.

С классической стороны прямого аналога шрамов нет. С квантовой точки зрения их можно интерпретировать как аналогию собственных состояний того, как короткие периодические орбиты корректируют статистику собственных значений универсальной теории случайных матриц. Шрамы соответствуют неэргодическим состояниям, разрешенным квантовыми теоремами эргодичности. В частности, поврежденные состояния представляют собой поразительный наглядный контрпример предположению о том, что собственные состояния классической хаотической системы не имеют структуры. В дополнение к обычным квантовым рубцам, область квантовых рубцов пережила период своего возрождения, вызванный открытиями шрамов, вызванных возмущениями , и шрамов многих тел (см. ниже).

Теория шрамов

Типичные шрамы на стадионе (Бунимовича). На рисунке показана плотность вероятности для трех различных собственных состояний. Шрамы, относящиеся к областям концентрированной плотности вероятности, генерируются (нестабильными) периодическими орбитами, две из которых проиллюстрированы.

Существование поврежденных состояний является довольно неожиданным, если судить по формуле следов Гуцвиллера : которое связывает квантовомеханическую плотность состояний с периодическими орбитами в соответствующей классической системе. Согласно формуле следа, квантовый спектр не является результатом следа по всем позициям, а определяется следом только по всем периодическим орбитам. Более того, каждая периодическая орбита вносит свой вклад в собственное значение, хотя и не совсем одинаково. Еще более маловероятно, что конкретная периодическая орбита будет вносить вклад в определенное собственное состояние в полностью хаотической системе, поскольку в целом периодические орбиты занимают часть общего объема фазового пространства с нулевым объемом. Следовательно, ничто не подразумевает, что какая-либо конкретная периодическая орбита для данного собственного значения может играть значительную роль по сравнению с другими периодическими орбитами. Тем не менее, квантовое рубцевание доказывает ошибочность этого предположения. Рубцы впервые были замечены в 1983 году С.В. Макдональдом в его диссертации по стадионному бильярду как интересное числовое наблюдение. Они не очень хорошо отразились на его рисунке, потому что представляли собой довольно грубые «водопадные» сюжеты. Этот вывод не был подробно описан в статье, посвященной волновым функциям и спектрам расстояния между уровнями ближайших соседей для стадионного бильярда. Год спустя Эрик Дж. Хеллер опубликовал первые примеры поврежденных собственных функций вместе с теоретическим объяснением их существования. Результаты выявили большие следы отдельных периодических орбит, влияющие на некоторые собственные состояния классического хаотического стадиона Бунимовича, названного Хеллером шрамами.

Анализ волновых пакетов стал ключом к доказательству существования шрамов и до сих пор остается ценным инструментом для их понимания. В оригинальной работе Хеллера квантовый спектр извлекается путем распространения гауссова волнового пакета по периодической орбите. Сегодня эта плодотворная идея известна как линейная теория рубцевания. Шрамы бросаются в глаза в некоторых собственных состояниях классических хаотических систем, но количественно оцениваются путем проекции собственных состояний на определенные тестовые состояния, часто гауссовы, имеющие как среднее положение, так и средний импульс вдоль периодической орбиты. Эти тестовые состояния дают доказуемо структурированный спектр, который показывает необходимость шрамов. Однако универсальной меры борьбы с рубцами не существует; точное соотношение показателя устойчивости $\chi$ Сила рубцевания является вопросом определения. Тем не менее, существует практическое правило: квантовое рубцевание значимо, когда $\chi <2\pi$, а сила масштабируется как $\chi ^{-1}$. Таким образом, сильные квантовые шрамы, как правило, связаны с периодическими орбитами, которые являются умеренно нестабильными и относительно короткими. Теория предсказывает усиление рубца вдоль классической периодической орбиты, но она не может точно определить, какие именно состояния страдают и в какой степени. Скорее, можно лишь констатировать, что некоторые государства травмированы в определенных энергетических зонах, и, по крайней мере, в определенной степени.

Теория линейного рубцевания, изложенная выше, была позже расширена и теперь включает нелинейные эффекты, происходящие после того, как волновой пакет покидает область линейной динамики вокруг периодической орбиты. В течение длительного времени нелинейный эффект может способствовать образованию рубцов. Это связано с нелинейными рецидивами, связанными с гомоклиническими орбитами. Дальнейшее понимание проблемы рубцевания было получено Е. Б. Богомольным с использованием подхода в реальном пространстве. и альтернатива фазового пространства Майкла В. Берри. дополняя методы волновых пакетов и пространства Хуссими, используемые Хеллером и Л. Капланом.

Первые экспериментальные подтверждения существования рубцов были получены на микроволновом бильярде в начале 1990-х годов. Дальнейшие экспериментальные доказательства образования рубцов были позже получены в результате наблюдений, например, в квантовых ямах. оптические резонаторы и атом водорода. В начале 2000-х годов были проведены первые наблюдения на эллиптическом бильярде. Многие классические траектории сходятся в этой системе и приводят к выраженным рубцеваниям в очагах, обычно называемым квантовыми миражами. Кроме того, недавние численные результаты указали на существование квантовых шрамов в ультрахолодных атомных газах.

Как не существует универсального показателя уровня рубцевания, так и нет общепринятого его определения. Первоначально было заявлено показано, что некоторые нестабильные периодические орбиты постоянно портят некоторые собственные квантовые функции, например $\hbar \rightarrow 0$, в том смысле, что дополнительная плотность окружает область периодической орбиты. Однако более формальное определение рубцов будет следующим: Собственное квантовое состояние классической хаотической системы страдает от периодического состояния, если его плотность на классических инвариантных многообразиях вблизи и на всем протяжении этого периодического периода систематически увеличивается по сравнению с классической, статистически ожидаемой плотностью вдоль этой орбиты. Удивительным следствием этого улучшения является борьба с рубцами. Поскольку среди собственных состояний могут быть сильно поврежденные состояния, необходимость однородного среднего по большому числу состояний требует существования антишрамов с низкой вероятностью в области «правильных» рубцов. Кроме того, было реализовано что некоторые процессы распада имеют анти-шрамовые состояния с аномально большим временем ускользания.

Большая часть исследований квантовых шрамов ограничивалась нерелятивистскими квантовыми системами, описываемыми уравнением Шредингера , где зависимость энергии частицы от импульса является квадратичной. Однако рубцевание может произойти в релятивистских квантовых системах, описываемых уравнением Дирака, где соотношение энергии и импульса вместо этого является линейным. С эвристической точки зрения эти релятивистские шрамы являются следствием того факта, что оба спинорных компонента удовлетворяют уравнению Гельмгольца, аналогичному независимому от времени уравнению Шредингера. Следовательно, релятивистские рубцы имеют то же происхождение, что и обычные рубцы. представлен Э. Дж. Хеллером. Тем не менее, существует разница с точки зрения повторяемости изменения энергии. Кроме того, было показано, что рубцовые состояния могут приводить к сильным флуктуациям проводимости в соответствующих открытых квантовых точках по механизму резонансного пропускания.

Помимо описанного выше рубцевания, существует еще несколько подобных явлений, связанных либо теорией, либо внешним видом. Прежде всего, при визуальной идентификации шрамов некоторые состояния могут напоминать классическое движение «прыгающего мяча», исключенное из квантовых шрамов в отдельную категорию. Например, бильярд на стадионе поддерживает эти в высшей степени неэргодические собственные состояния, которые отражают захваченное отскакивающее движение между прямыми стенами. Было показано, что отказные состояния сохраняются до предела. $\hbar \rightarrow 0$, но в то же время этот результат предполагает уменьшающийся процент всех состояний, находящихся в согласии с квантовыми теоремами эргодичности Александра Шнирельмана, Ива Колена де Вердьера и Стивена Зельдича . Во-вторых, рубцевание не следует путать со статистическими колебаниями. Подобные структуры повышенной плотности вероятности возникают даже в виде случайных суперпозиций плоских волн. в смысле гипотезы Берри. Кроме того, существует жанр шрамов, вызванных не реальными периодическими орбитами, а их остатками, известными как призраки . Они относятся к периодическим орбитам, которые находятся в соседней системе в смысле некоторого настраиваемого внешнего параметра системы. Рубцевание такого типа связано с почти периодическими орбитами. Другой подкласс призраков связан с комплексными периодическими орбитами, существующими вблизи точек бифуркации.

Квантовые шрамы, вызванные возмущениями

Пример рубцевания в неупорядоченных квантовых точках. Невозмущенный потенциал имеет вид $V(r)\propto r^{5}$ , и он возмущен случайно разбросанными гауссовскими выступами (красные маркеры обозначают расположение и размер выступов). На рисунке показано одно из собственных состояний возмущенной квантовой ямы, сильно искаженное периодической орбитой невозмущенной системы (сплошная синяя линия).

Новый класс квантовых шрамов обнаружен в неупорядоченных двумерных наноструктурах. Хотя внешне эти шрамы похожи на обычные квантовые шрамы, описанные ранее, они имеют принципиально иное происхождение. В этом случае беспорядка, возникающего из-за малых возмущений (см. красные точки на рисунке), достаточно, чтобы разрушить классическую долговременную устойчивость. Следовательно, в классическом аналоге не существует умеренно нестабильного периода, которому в обычной теории рубца соответствовал бы шрам. Вместо этого вокруг периодических орбит соответствующей невозмущенной системы образуются рубцы. Обычная теория рубцов также исключается поведением рубцов в зависимости от силы расстройства. Когда потенциальные шишки становятся сильнее, сохраняя при этом неизменными, шрамы становятся сильнее, а затем исчезают, не меняя своей ориентации. Напротив, шрам, вызванный традиционной теорией, должен быстро становиться слабее из-за увеличения показателя устойчивости периодической орбиты с увеличением беспорядка. Более того, сравнение шрамов при различных энергиях показывает, что они возникают только в нескольких различных направлениях. Это также противоречит предсказаниям обычной теории шрамов.

Многочастичное квантовое рубцевание

Область квантовых многотельных шрамов является предметом активных исследований.

Шрамы возникли в исследованиях потенциальных применений состояний Ридберга в квантовых вычислениях , в частности, в качестве кубитов для квантового моделирования . Частицы системы в чередующейся конфигурации «основное состояние — ридберговское состояние» постоянно запутываются и распутываются, а не остаются запутанными и подвергаются термализации . Системы тех же атомов, приготовленные с другими исходными состояниями, термализовались, как и ожидалось. Исследователи назвали этот феномен «квантовым рубцеванием многих тел».

Причины квантового рубцевания недостаточно изучены. Одно из возможных предлагаемых объяснений состоит в том, что квантовые шрамы представляют собой интегрируемые системы или почти таковые, и это может предотвратить термализации . когда-либо возникновение неинтегрируемый гамильтониан . Это вызвало критику, утверждающую, что в основе теории лежит Недавно вышла серия работ связал существование квантовых рубцов с алгебраической структурой, известной как динамические симметрии .

отказоустойчивые квантовые компьютеры Желательны , поскольку любые возмущения в состояниях кубитов могут привести к термализации состояний, что приведет к потере квантовой информации . Рубцевание состояний кубита рассматривается как потенциальный способ защиты состояний кубита от внешних возмущений, приводящих к декогеренции и потере информации.

См. также

• Какой хаос