Когерентные эффекты в полупроводниковой оптике

Взаимодействие материи со светом, то есть с электромагнитными полями , способно генерировать когерентную суперпозицию возбужденных квантовых состояний в материале. Когерентность означает тот факт, что материальные возбуждения имеют четко определенную фазовую зависимость , которая определяется фазой падающей электромагнитной волны . Макроскопически состояние суперпозиции материала приводит к оптической поляризации , т. е. к быстро колеблющейся дипольной плотности. Оптическая поляризация представляет собой настоящую неравновесную величину, которая затухает до нуля, когда возбужденная система релаксирует к равновесному состоянию после выключения электромагнитного импульса. Благодаря этому затуханию, называемому дефазировкой , когерентные эффекты наблюдаются только в течение определенного времени после импульсного фотовозбуждения . Различные материалы, такие как атомы, молекулы, металлы, изоляторы, полупроводники, изучаются с помощью когерентной оптической спектроскопии и подобных экспериментов, а их теоретический анализ выявил множество идей о вовлеченных состояниях материи и их динамической эволюции.

Эта статья посвящена когерентным оптическим эффектам в полупроводниках и полупроводниковых наноструктурах. После введения в основные принципы полупроводниковые уравнения Блоха (сокращенно SBE) которые способны теоретически описать когерентную полупроводниковую оптику на основе полностью микроскопической квантовой теории многих тел. Затем описываются несколько ярких примеров когерентных эффектов в полупроводниковой оптике, каждый из которых можно понять теоретически на основе SBE.

Начальная точка

Макроскопически уравнения Максвелла показывают, что в отсутствие свободных зарядов и токов электромагнитное поле взаимодействует с веществом посредством оптической поляризации. ${\mathbf {P} }$. Волновое уравнение для электрического поля ${\mathbf {E} }$ читает $(\nabla \cdot \nabla -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}){\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)=\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\mathbf {P} }({\mathbf {r} },t)$ и показывает, что вторая производная по времени ${\mathbf {P} }$, то есть, ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\mathbf {P} }$, появляется как исходный член в волновом уравнении для электрического поля ${\mathbf {E} }$. Так, для оптически тонких образцов измерения проводятся в дальней зоне, т. е. на расстояниях, значительно превышающих длину волны оптического излучения. $\lambda$, излучаемое электрическое поле, возникающее в результате поляризации, пропорционально его второй производной по времени, т. е. ${\mathbf {E} }\propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}{\mathbf {P} }$. Поэтому измерение динамики излучаемого поля ${\mathbf {E} }(t)$ предоставляет прямую информацию о временной эволюции поляризации оптического материала. ${\mathbf {P} }(t)$.

С микроскопической точки зрения оптическая поляризация возникает в результате квантовомеханических переходов между различными состояниями материальной системы. В случае полупроводников электромагнитное излучение оптических частот способно перемещать электроны из валентности ( $v$) к проводимости ( $c$) группа. Макроскопическая поляризация ${\mathbf {P} }$ вычисляется путем суммирования по всем микроскопическим переходным диполям $p_{cv}$ с помощью ${\mathbf {P} }={\frac {1}{V}}\sum _{c,v}({\mathbf {d} }_{cv}p_{cv}+\mathrm {c.c.} )$, где ${\mathbf {d} }_{cv}$ – дипольный матричный элемент, определяющий силу отдельных переходов между состояниями $v$ и $c$, $\mathrm {c.c.}$ обозначает комплексно-сопряженное число, а $V$ – объем правильно выбранной системы. Если $\epsilon _{c}$ и $\epsilon _{v}$ — энергии состояний зоны проводимости и валентной зоны, их динамическая квантовомеханическая эволюция соответствует уравнению Шредингера, заданному фазовыми факторами $\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \epsilon _{c}\,t/\hbar }$ и $\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \epsilon _{v}\,t/\hbar }$, соответственно. Состояние суперпозиции, описываемое $p_{cv}$ развивается во времени согласно $\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\epsilon _{c}-\epsilon _{v})t/\hbar }$. Предполагая, что мы начнем с $t=0$ с $p_{cv}(t=0)=p_{cv,0}$, мы имеем для оптической поляризации

${\mathbf {P} }(t)=\sum _{c,v}({\mathbf {d} }_{cv}p_{cv,0}\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (\epsilon _{c}-\epsilon _{v})t/\hbar }+\mathrm {c.c.} )$.

Таким образом, ${\mathbf {P} }(t)$ задается суммированием по микроскопическим переходным диполям, которые все колеблются с частотами, соответствующими разнице энергий между вовлеченными квантовыми состояниями. Видно, что оптическая поляризация ${\mathbf {P} }(t)$ представляет собой когерентную величину, характеризующуюся амплитудой и фазой. В зависимости от фазовых соотношений микроскопических переходных диполей можно получить конструктивную или деструктивную интерференцию, при которой микроскопические диполи находятся в фазе или противофазе соответственно, а также явления временной интерференции, такие как квантовые биения, в модуль которых ${\mathbf {P} }(t)$ меняется как функция времени.

Игнорируя эффекты многих тел и связь с другими квазичастицами и резервуарами, динамику фотовозбужденных двухуровневых систем можно описать системой двух уравнений, так называемых оптических уравнений Блоха . Эти уравнения названы в честь Феликса Блоха , который сформулировал их для анализа динамики спиновых систем в ядерном магнитном резонансе. Двухуровневые уравнения Блоха имеют вид

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}p_{cv}=\Delta \epsilon \,p_{cv}+{\mathbf {E} }\cdot {\mathbf {d} }I$

и

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}I=2{\mathbf {E} }\cdot {\mathbf {d} }(p_{cv}-p_{cv}^{\star }).$

Здесь, $\Delta \epsilon =(\epsilon _{c}-\epsilon _{v})$ обозначает разность энергий между двумя состояниями и $I$ – это инверсия , т. е. разница в заселенности верхнего и нижнего состояний. Электрическое поле ${\mathbf {E} }$ соединяет микроскопическую поляризацию $p$ к произведению энергии Раби ${\mathbf {E} }\cdot {\mathbf {d} }$ и инверсия $I$. В отсутствие движущего электрического поля, т. е. при ${\mathbf {E} }=\mathbf {0}$, уравнение Блоха для $p$ описывает колебание, т. е. $p_{cv}(t)\propto \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Delta \epsilon \,t/\hbar }$.

Оптические уравнения Блоха позволяют прозрачно анализировать несколько нелинейных оптических экспериментов. Однако они хорошо подходят только для систем с оптическими переходами между изолированными уровнями, в которых многочастичные взаимодействия имеют второстепенное значение, как это иногда имеет место в атомах или небольших молекулах. В твердотельных системах, таких как полупроводники и полупроводниковые наноструктуры, существенное значение имеет адекватное описание кулоновского взаимодействия многих тел и связи с дополнительными степенями свободы, и поэтому оптические уравнения Блоха неприменимы.

Полупроводниковые уравнения Блоха (SBE)

Для реалистичного описания оптических процессов в твердых материалах важно выйти за рамки простой картины оптических уравнений Блоха и рассмотреть взаимодействия многих тел, которые описывают связь между элементарными материальными возбуждениями, например, см. статью Кулоновское взаимодействие. между электронами и связью с другими степенями свободы, например колебаниями решетки, т. е. электрон-фононной связью. В рамках полуклассического подхода, где световое поле рассматривается как классическое электромагнитное поле, а материальные возбуждения описываются квантовомеханически, все вышеупомянутые эффекты можно трактовать микроскопически на основе квантовой теории многих тел. Для полупроводников полученная система уравнений известна как уравнения Блоха полупроводника . Для простейшего случая двухзонной модели полупроводника СБУ схематически можно записать как

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\mathbf {k} }=\Delta \varepsilon _{\mathbf {k} }\,p_{\mathbf {k} }+\Omega _{\mathbf {k} }\,(n_{\mathbf {k} }^{c}-n_{\mathbf {k} }^{v})+\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\mathbf {k} }|_{\text{corr}}\,,$

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}n_{\mathbf {k} }^{c}=(\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }\,p_{\mathbf {k} }-\Omega _{\mathbf {k} }\,p_{\mathbf {k} }^{\star })+\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}n_{\mathbf {k} }^{c}|_{\text{corr}}\,,$

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}n_{\mathbf {k} }^{v}=-(\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }\,p_{\mathbf {k} }-\Omega _{\mathbf {k} }\,p_{\mathbf {k} }^{\star })+\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}n_{\mathbf {k} }^{v}|_{\text{corr}}\,.$

Здесь $p_{\mathbf {k} }$ микроскопическая поляризация и $n_{\mathbf {k} }^{c}$ и $n_{\mathbf {k} }^{v}$ – заселенность электронов в зоне проводимости и валентной зоне ( $c$ и $v$), соответственно, и $\hbar {\mathbf {k} }$ обозначает импульс кристалла. В результате многочастичного кулоновского взаимодействия и, возможно, дальнейших процессов взаимодействия энергия перехода $\Delta \varepsilon _{\mathbf {k} }$ и энергия Раби $\Omega _{\mathbf {k} }$ оба зависят от состояния возбужденной системы, т. е. являются функциями зависящих от времени поляризаций $p_{\mathbf {k} '}$ и занятия $n_{\mathbf {k} '}^{c}$ и $n_{\mathbf {k} '}^{v}$соответственно при всех импульсах кристалла $\hbar {\mathbf {k} '}$.

Благодаря этой связи между возбуждениями для всех значений импульса кристалла $\hbar {\mathbf {k} }$Оптические возбуждения в полупроводнике не могут быть описаны на уровне изолированных оптических переходов, а должны рассматриваться как взаимодействующая квантовая система многих тел.

Яркий и важный результат кулоновского взаимодействия фотовозбуждений. Это появление сильно поглощающих дискретных экситонных резонансов, которые проявляются в спектрах поглощения полупроводников спектрально ниже основной частоты запрещенной зоны. Поскольку экситон состоит из отрицательно заряженного электрона зоны проводимости и положительно заряженной дырки валентной зоны (т.е. электрона, отсутствующего в валентной зоне), которые притягиваются друг к другу посредством кулоновского взаимодействия, экситоны имеют водородную серию дискретных линий поглощения. Из-за правил оптического отбора типичных полупроводников III-V, таких как марсенид галлия (GaAs), только s-состояния, то есть 1 s , 2 s и т. д., могут быть оптически возбуждены и обнаружены, см. статью об уравнении Ванье .

Кулоновское взаимодействие многих тел приводит к значительным осложнениям, поскольку приводит к бесконечной иерархии динамических уравнений для микроскопических корреляционных функций, описывающих нелинейный оптический отклик. Члены, указанные явно в SBE выше, возникают в результате рассмотрения кулоновского взаимодействия в зависящем от времени приближении Хартри – Фока. Хотя этого уровня достаточно для описания экситонных резонансов, существует несколько дополнительных эффектов, например, дефазировка, вызванная возбуждением, вклад корреляций более высокого порядка, таких как экситонные заселенности и биэкситонные резонансы, которые требуют рассмотрения так называемых эффектов корреляции многих тел, которые по определению находятся за пределами уровня Хартри–Фока. Эти вклады формально включены в приведенные выше SBE в терминах, обозначенных $|_{\text{corr}}$.

Систематическое усечение иерархии многих тел, а также разработка и анализ схем управляемых аппроксимаций — важная тема микроскопической теории оптических процессов в конденсированных системах. В зависимости от конкретной системы и условий возбуждения было разработано и применено несколько схем аппроксимации. Для сильно возбужденных систем часто бывает достаточно описать кулоновские корреляции многих тел с использованием борновского приближения второго порядка. Такие расчеты, в частности, позволили успешно описать спектры полупроводниковых лазеров, см. статью по теории полупроводниковых лазеров . В пределе слабых интенсивностей света с помощью схемы усечения с контролируемой динамикой анализировались признаки экситонных комплексов, в частности биэкситонов, в когерентном нелинейном отклике. Эти два подхода и некоторые другие аппроксимационные схемы можно рассматривать как частные случаи так называемого кластерного расширения. в котором нелинейно-оптический отклик классифицируется корреляционными функциями, которые явно учитывают взаимодействия между определенным максимальным числом частиц и факторизуют большие корреляционные функции в произведения более низких порядков.

Избранные последовательные эффекты

С помощью нелинейной оптической спектроскопии с использованием сверхбыстрых лазерных импульсов длительностью порядка десяти-сотни фемтосекунд было обнаружено и интерпретировано несколько когерентных эффектов. Такие исследования и их надлежащий теоретический анализ позволили получить богатую информацию о природе фотовозбужденных квантовых состояний, связи между ними и их динамической эволюции в сверхкоротких временных масштабах. Ниже кратко описаны несколько важных эффектов.

Квантовые биения с участием экситонов и экситонных комплексов

Квантовые биения наблюдаются в системах, в которых полная оптическая поляризация обусловлена ​​конечным числом дискретных частот перехода, которые квантовомеханически связаны, например, общими основными или возбужденными состояниями. Полагая для простоты, что все эти переходы имеют один и тот же дипольный матричный элемент, после возбуждения коротким лазерным импульсом при $t=0$ оптическая поляризация ${\mathbf {P} }(t)$ система развивается по мере

$\sum _{l}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Delta \omega _{l}t}$,

где индекс $l$ маркирует участвующие переходы. Конечное число частот приводит к временным модуляциям квадрата модуля поляризации. $|{\mathbf {P} }(t)|^{2}$ и, следовательно, от интенсивности излучаемого электромагнитного поля $|{\mathbf {E} }(t)|^{2}$ с периодами времени

$2\pi /(\Delta \omega _{l}-\Delta \omega _{j})$.

Для случая всего двух частот квадрат модуля поляризации пропорционален

$[1+\cos((\Delta \omega _{1}-\Delta \omega _{2})t)]$,

т. е. из-за интерференции двух вкладов с одинаковой амплитудой, но разными частотами, поляризация изменяется от максимума до нуля.

В полупроводниках и полупроводниковых гетероструктурах, таких как квантовые ямы, нелинейная оптическая спектроскопия квантовых биений широко используется для исследования временной динамики экситонных резонансов. В частности, последствия эффектов многих тел, которые в зависимости от условий возбуждения могут привести, например, к взаимодействию различных экситонных резонансов через биэкситоны и другие кулоновские корреляционные вклады, а также к распаду когерентной динамики из-за процессов рассеяния и дефазировки. был исследован во многих измерениях накачки-зонда и четырехволнового смешения. Теоретический анализ таких экспериментов в полупроводниках требует рассмотрения на основе квантовомеханической теории многих тел, которую обеспечивают СБЭ с многочастичными корреляциями, включенными на адекватном уровне.

Фотонные эхо экситонов

В нелинейной оптике можно обратить вспять деструктивную интерференцию так называемых неоднородно уширенных систем, содержащих распределение несвязанных подсистем с разными резонансными частотами. Например, рассмотрим эксперимент четырехволнового смешения, в котором первый короткий лазерный импульс возбуждает все переходы на $t=0$. В результате деструктивной интерференции между различными частотами общая поляризация спадает до нуля. Второй импульс, пришедший $t=\tau >0$ способен сопрягать фазы отдельных микроскопических поляризаций, т.е. $p\rightarrow p^{\star }$, неоднородно уширенной системы. Последующая невозмущенная динамическая эволюция поляризаций приводит к перефазировке, так что все поляризации находятся в фазе при $t=2\tau$ что приводит к измеримому макроскопическому сигналу. Таким образом, возникает так называемое фотонное эхо, поскольку все отдельные поляризации находятся в фазе и конструктивно складываются при $t=2\tau$. Поскольку перефазировка возможна только в том случае, если поляризации остаются когерентными, потерю когерентности можно определить путем измерения затухания амплитуды фотонного эха с увеличением временной задержки.

При проведении экспериментов по фотонному эху в полупроводниках с экситонными резонансами важно включать эффекты многих тел в теоретический анализ, поскольку они могут качественно изменить динамику. Например, численные решения SBE показали, что динамическое уменьшение запрещенной зоны, возникающее в результате кулоновского взаимодействия между фотовозбужденными электронами и дырками, способно генерировать фотонное эхо даже при резонансном возбуждении одиночного дискретного экситонного резонанса импульсом. достаточной интенсивности.

Помимо достаточно простого эффекта неоднородного уширения, к затуханию амплитуды фотонного эха с ростом уровня могут приводить и пространственные флуктуации энергии, т. е. беспорядок, который в полупроводниковой наноструктуре может возникнуть, например, из-за несовершенства границ раздела между различными материалами. задержка времени. Для последовательного лечения этого явления дефазировки, вызванной беспорядком, необходимо решить SBE, включая корреляции биэкситонов. Как показано в ссылке. такой микроскопический теоретический подход способен описать дефазировку, вызванную беспорядком, в хорошем согласии с экспериментальными результатами.

Экситонный оптический эффект Штарка

В эксперименте накачки-зонда систему возбуждают импульсом накачки ( $E_{p}$) и исследует его динамику с помощью (слабого) тестового импульса ( $E_{t}$). С помощью таких экспериментов можно измерить так называемое дифференциальное поглощение. $\Delta \alpha (\omega )$ которая определяется как разница между поглощением зонда в присутствии насоса $\alpha _{\text{pump on}}(\omega )$ и абсорбция зонда без насоса $\alpha _{\text{pump off}}(\omega )$.

При резонансной накачке оптического резонанса и когда накачка предшествует испытанию, поглощение меняется $\Delta \alpha$ обычно отрицательна вблизи резонансной частоты. Этот эффект, называемый обесцвечиванием, возникает из-за того, что возбуждение системы импульсом накачки уменьшает поглощение пробного импульса. Также может быть положительный вклад в $\Delta \alpha$ спектрально вблизи исходной линии поглощения из-за резонансного уширения и в других спектральных положениях из-за поглощения в возбужденном состоянии, т. е. оптических переходов в состояния типа биэкситонов, которые возможны только в том случае, если система находится в возбужденном состоянии. Просветление и положительный вклад обычно присутствуют как в когерентных, так и в некогерентных ситуациях, когда поляризация исчезает, но присутствуют занятия в возбужденных состояниях.

При расстроенной накачке, т. е. когда частота поля накачки не совпадает с частотой материального перехода, резонансная частота смещается в результате связи света с веществом — эффекта, известного как оптический эффект Штарка. Оптический эффект Штарка требует когерентности, т. е. неисчезающей оптической поляризации, индуцированной импульсом накачки, и, таким образом, уменьшающейся с увеличением временной задержки между импульсами накачки и зондирующего импульса и исчезающей, если система вернулась в основное состояние.

Как можно показать из решения оптических уравнений Блоха для двухуровневой системы, за счет оптического эффекта Штарка резонансная частота должна смещаться в сторону более высоких значений, если частота накачки меньше резонансной частоты, и наоборот. Это также типичный результат экспериментов с экситонами в полупроводниках. тот факт, что в определенных ситуациях такие предсказания, основанные на простых моделях, не могут даже качественно описать эксперименты с полупроводниками и полупроводниковыми наноструктурами Значительное внимание привлек . Такие отклонения связаны с тем, что в полупроводниках обычно в оптическом отклике доминируют эффекты многих тел, и поэтому для получения адекватного понимания необходимо решать SBE вместо оптических уравнений Блоха. Важный пример был представлен в работе. где было показано, что многочастичные корреляции, возникающие из биэкситонов, способны менять знак оптического эффекта Штарка. В отличие от оптических уравнений Блоха, SBE, включающие когерентные биэкситонные корреляции, смогли правильно описать эксперименты, проводимые с полупроводниковыми квантовыми ямами.

Сверхизлучение экситонов

Учитывать $N$ двухуровневые системы в разных положениях в пространстве. Уравнения Максвелла приводят к связи между всеми оптическими резонансами, поскольку поле, излучаемое конкретным резонансом, интерферирует с излучаемыми полями всех других резонансов. В результате система характеризуется $N$ собственные моды, возникающие в результате радиационно-связанных оптических резонансов.

Замечательная ситуация возникает, если $N$ одинаковые двухуровневые системы регулярно располагаются на расстояниях, кратных целому числу $\lambda /2$, где $\lambda$ это оптическая длина волны. В этом случае излучаемые поля всех резонансов конструктивно интерферируют и система ведет себя эффективно как единая система с $N$-раз сильнее оптическая поляризация. Поскольку интенсивность излучаемого электромагнитного поля пропорциональна квадрату модуля поляризации, первоначально она масштабируется как $N^{2}$.

Благодаря кооперативности, возникающей в результате когерентной связи подсистем, скорость радиационного распада $\gamma _{\mathrm {rad} }$ увеличивается на $N$, то есть, $\gamma _{\mathrm {rad} }=N\gamma _{\mathrm {rad} ,0}$ где $\gamma _{\mathrm {rad} ,0}$ – радиационный распад одиночной двухуровневой системы. Таким образом, когерентная оптическая поляризация затухает. $N$-раз быстрее, пропорционально $\mathrm {e} ^{-N\gamma _{\mathrm {rad} ,0}\,t}$ чем в изолированной системе. В результате интегральная по времени интенсивность излучаемого поля масштабируется как $N$, поскольку начальный $N^{2}$ коэффициент умножается на ${\frac {1}{N}}$ который возникает из-за интеграла по времени по усиленному радиационному распаду.

Этот эффект сверхизлучения было продемонстрировано путем наблюдения за затуханием поляризации экситонов в соответствующим образом расположенных полупроводниковых множественных квантовых ямах. Из-за сверхизлучения, вызванного когерентной радиационной связью между квантовыми ямами, скорость затухания увеличивается пропорционально количеству квантовых ям и, таким образом, значительно быстрее, чем для одной квантовой ямы. Теоретический анализ этого явления требует последовательного решения уравнений Максвелла совместно с СБУ.

Заключительные замечания

Несколько приведенных выше примеров представляют собой лишь небольшую часть нескольких дополнительных явлений, которые демонстрируют, что на когерентный оптический отклик полупроводников и полупроводниковых наноструктур сильно влияют эффекты многих тел. Другими интересными направлениями исследований, которые также требуют адекватного теоретического анализа, включая взаимодействия многих тел, являются, например, явления фотопереноса, когда оптические поля генерируют и/или зондируют электронные токи, комбинированная спектроскопия с оптическими и терагерцовыми полями , см. статью «Терагерцовая спектроскопия и технология» и Быстро развивающаяся область полупроводниковой квантовой оптики , см. статью Полупроводниковая квантовая оптика с точками .

См. также

• Уравнения люминесценции полупроводников
• Полупроводниковые уравнения Блоха
• Подход к расширению кластера
• Теория полупроводникового лазера
• Квантовые ритмы
• Спиновое эхо
• Эффект Старка
• Суперсияние

Дальнейшее чтение

• Аллен, Л.; Эберли, Дж. Х. (1987). Оптический резонанс и двухуровневые атомы . Дуврские публикации. ISBN  978-0486655338 .
• Мандель, Л.; Вольф, Э. (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521417112 .
• Шефер, В.; Вегенер, М. (2002). Полупроводниковая оптика и явления переноса . Спрингер. ISBN  978-3540616146 .
• Мейер, Т.; Томас, П.; Кох, SW (2007). Когерентная полупроводниковая оптика: от базовых концепций к приложениям наноструктур (1-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3642068966 .
• Хауг, Х.; Кох, SW (2009). Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников (5-е изд.). Всемирная научная. ISBN  978-9812838841 .
• Кира, М.; Кох, SW (2011). Полупроводниковая квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521875097 .
• Ридли, Б. (2000). Квантовые процессы в полупроводниках . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198505792 .