Ультрафинитизм

В философии математики ультрафинитизм ультраинтуиционизм также известный как ( , ^[1] строгий формализм , ^[2] строгий финитизм , ^[2] актуализм , ^[1] предикативизм , ^[2]^[3] и сильный финитизм ) ^[2] является формой финитизма и интуиционизма . Существуют различные философии математики, которые называются ультрафинитизмом. Главным отличительным свойством, общим для большинства этих философий, являются их возражения против совокупности теоретико-числовых функций, таких как возведение в степень натуральных чисел .

Основные идеи

Как и другие финитисты , ультрафинитисты отрицают существование бесконечного множества. $\mathbb {N}$ натуральных чисел на том основании, что оно никогда не может быть завершено (т. е. существует наибольшее натуральное число).

Кроме того, некоторые ультрафинитисты обеспокоены принятием в математике объектов, которые никто не может построить на практике из-за физических ограничений при построении больших конечных математических объектов.Таким образом, некоторые ультрафинитисты будут отрицать или воздерживаться от признания существования больших чисел, например, нижнего числа первого числа Скьюза , которое представляет собой огромное число, определенное с использованием экспоненциальной функции как exp(exp(exp(79))) или

e^{e^{e^{79}}}.

Причина в том, что никто еще не вычислил, какое натуральное число является полом этого действительного числа , и, возможно, это даже физически невозможно сделать. Сходным образом, $2\uparrow \uparrow \uparrow 6$ (в обозначениях Кнута, направленных вверх ) будет считаться лишь формальным выражением, не соответствующим натуральному числу. Разновидность ультрафинитизма, связанная с физической реализуемостью математики, часто называют актуализмом .

Эдвард Нельсон раскритиковал классическую концепцию натуральных чисел из-за цикличности ее определения. В классической математике натуральные числа определяются как 0 и числа, полученные итеративным применением функции- преемника к 0. Но для итерации уже предполагается понятие натурального числа. Другими словами, чтобы получить число типа $2\uparrow \uparrow \uparrow 6$ нужно выполнять функцию-преемник итеративно (фактически именно $2\uparrow \uparrow \uparrow 6$ раз) до 0.

Некоторые версии ультрафинитизма являются формами конструктивизма , но большинство конструктивистов считают эту философию неосуществимой крайностью. Логическая основа ультрафинитизма неясна; В своем обширном обзоре «Конструктивизм в математике» (1988) конструктивный логик А. С. Трульстра отверг его, заявив, что «в настоящее время не существует удовлетворительного развития». Это было не столько философское возражение, сколько признание того, что в строгой работе по математической логике просто нет ничего достаточно точного, что можно было бы включить.

Люди, связанные с ультрафинитизмом

Серьезную работу по ультрафинитизму с 1959 года до своей смерти в 2016 году вел Александр Есенин-Вольпин , который в 1961 году набросал программу доказательства непротиворечивости теории множеств Цермело–Френкеля в ультраконечной математике. Среди других математиков, работавших над этой темой, — Дорон Зейлбергер , Эдвард Нельсон , Рохит Дживанлал Парих и Жан Поль Ван Бендегем . Философия также иногда связана с верованиями Людвига Витгенштейна , Робина Ганди , Петра Вопенки и Йоханнеса Ельмслева .

Шон Лавин разработал форму теоретико-множественного ультрафинитизма, согласующуюся с классической математикой. ^[4]Лавин показал, что основные принципы арифметики, такие как «не существует наибольшего натурального числа», могут быть соблюдены, поскольку Лавин допускает включение «неопределенно больших» чисел. ^[4]

Ограничения, основанные на теории сложности вычислений

Другие соображения о возможности избежать громоздких больших чисел могут быть основаны на теории сложности вычислений , как в работе Андраша Корнаи о явном финитизме (который не отрицает существование больших чисел). ^[5] и Владимира Сазонова понятие допустимого числа .

Также произошло значительное формальное развитие версий ультрафинитизма, основанных на теории сложности, таких как Сэмюэля Басса , теории ограниченной арифметики которые охватывают математику, связанную с различными классами сложности, такими как P и PSPACE . Работу Басса можно считать продолжением Эдварда Нельсона работы по предикативной арифметике , поскольку теории ограниченной арифметики, такие как S12, интерпретируются в Рафаэля Робинсона теории Q и, следовательно, являются предикативными в . смысле Нельсона Сила этих теорий для развития математики изучается в ограниченной обратной математике, которую можно найти в работах Стивена А. Кука и Фуонга Нгуена . Однако это не философия математики, а скорее изучение ограниченных форм рассуждений, подобных обратной математике .

См. также

Трансвычислительная проблема

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Международный семинар по логике и вычислительной сложности, Логика и вычислительная сложность , Springer, 1995, с. 31.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Св. Иван (2000), « О несостоятельности предикативизма Нельсона », Erkenntnis 53 (1–2), стр. 147–154.
^ Не путать с предикативизмом Рассела .
^ Jump up to: ^а ^б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)» . Plato.stanford.edu . Проверено 7 октября 2015 г.
^ «Отношение к фондам»

Ссылки

Эсенин-Вольпин, А.С. (1961), «Ультраинтуиционистская программа оснований математики», Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Варшава, 1959) , Оксфорд: Пергамон, стр. 201–223, МР 0147389 Отзыв: Крайзель, Г.; Эренфойхт, А. (1967), «Обзор ультраинтуиционистской программы основ математики А.С. Эсенина-Вольпина», Журнал символической логики , 32 (4), Ассоциация символической логики: 517, doi : 10.2307/ 2270182 , JSTOR 2270182
Лавин, С., 1994. Понимание бесконечности , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.

Внешние ссылки

[LCC-1] Jump up to: ^а ^б Международный семинар по логике и вычислительной сложности, Логика и вычислительная сложность , Springer, 1995, с. 31.

[Iwan-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Св. Иван (2000), « О несостоятельности предикативизма Нельсона », Erkenntnis 53 (1–2), стр. 147–154.

[3] Не путать с предикативизмом Рассела .

[stanford1-4] Jump up to: ^а ^б «Философия математики (Стэнфордская энциклопедия философии)» . Plato.stanford.edu . Проверено 7 октября 2015 г.

[5] «Отношение к фондам»

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]