Один (числовой формат)

Унумы ( универсальные числа ) — это семейство числовых форматов и арифметики для реализации действительных чисел на компьютере, предложенное Джоном Л. Густавсоном в 2015 году. Они разработаны как альтернатива повсеместному стандарту чисел с плавающей запятой IEEE 754 . Последняя версия известна как posits .

Тип I Унум

Первая версия unum, формально известная как unum типа I, была представлена ​​в книге Густавсона «Конец ошибки» как надмножество формата чисел с плавающей запятой IEEE-754. Определяющими особенностями формата unum типа I являются:

• формат хранения переменной ширины как для мантиссы , так и для экспоненты , и
• u -бит , который определяет, соответствует ли unum точному числу ( u = 0) или интервалу между последовательными точными числами ( u = 1). Таким образом, unum покрывает всю расширенную линию действительных чисел [−∞,+∞].

Для вычислений в этом формате Густавсон предложил использовать интервальную арифметику с парой unum, которую он назвал ubound , гарантируя, что результирующий интервал содержит точное решение.

Уильям М. Кахан и Густафсон обсуждали унумы на конференции Arith23 .

Тип II Один

Унумы типа II были введены в 2016 году. как модернизация Unums, нарушившая совместимость IEEE-754.

Позит (Тип III Один)

В феврале 2017 года Густавсон официально представил unums (posits) типа III для фиксированных значений, подобных плавающей запятой, и допустимых для интервальной арифметики . В марте 2021 года стандарт был ратифицирован и опубликован рабочей группой Posit.

Позиции являются аппаратно-дружественной версией unum, в которой устранены трудности, с которыми столкнулся исходный тип I unum из-за его переменного размера. По сравнению с числами с плавающей точкой IEEE 754 аналогичного размера, posits предлагают больший динамический диапазон и больше дробных битов для значений с величиной, близкой к 1 (но меньше дробных битов для очень больших или очень маленьких значений), и Густафсон утверждает, что они обеспечивают лучшую точность. Исследования подтвердите, что для некоторых приложений числа с плавающей запятой превосходят с плавающей запятой точность чисел . Позитивные значения имеют превосходную точность в диапазоне, близком к единице, где происходит большинство вычислений. Это делает очень привлекательным для текущей тенденции в глубоком обучении минимизировать количество используемых битов. Это потенциально помогает любому приложению ускориться, позволяя использовать меньшее количество битов (поскольку для точности требуется больше дробных битов), уменьшая пропускную способность сети и памяти, а также требования к питанию.

Формат n -битного posit обозначается меткой «posit», за которой следуют десятичные цифры n (например, 16-битный формат posit — «posit16») и состоит из четырех последовательных полей:

1. знак : 1 бит, представляющий целое число без знака s
2. режим: не менее 2 бит и до ( n − 1), представляющих целое число без знака r, как описано ниже.
3. экспонента : до 2 битов, доступных после режима, представляющих целое число без знака e
4. дробь : все оставшиеся биты, доступные после экспоненты, представляющие неотрицательное действительное двоичное рациональное f меньше 1.

Поле режима использует унарное кодирование из k одинаковых битов, за которыми следует бит противоположного значения, если какие-либо оставшиеся биты доступны, для представления целого числа без знака r, которое равно - k, если первый бит равен 0, или k - 1, если первый бит равен 1. Поля знака, показателя степени и дроби аналогичны полям знака, показателя степени и мантиссы стандарта IEEE 754 (соответственно), за исключением того, что поля положительного показателя степени и дроби могут отсутствовать или быть усечены и неявно расширены нулями — отсутствующий показатель степени рассматривается. как 00₂ (представляющий 0), однобитовый показатель степени E ₁ рассматривается как E10₂ (представляющее целое число 0, если E ₁ равно 0, или 2, если E ₁ равно 1), а отсутствующая дробь рассматривается как 0.

Две кодировки, в которых все незнаковые биты равны 0, имеют специальную интерпретацию:

• Если знаковый бит равен 1, положительное значение равно NaR («не настоящий»)
• Если знаковый бит равен 0, положительное значение равно 0 (это беззнаковое значение, единственное значение, для которого sign функция возвращает 0)

В противном случае значение posit равно ${\textstyle ((1-3s)+f)\times 2^{(1-2s)\times (4r+e+s)}}$, в котором r масштабируется по степеням 16, e масштабируется по степеням 2, f равномерно распределяет значения между соседними комбинациями ( r , e ), а s регулирует знак симметрично относительно 0.

Примеры

тип (поставьте н )	Двоичный	Ценить	Примечания
Любой	1 0…	NaR	все, что математически не определяется как уникальное действительное число
Любой	0 0…	0
Любой	0 10…	1
Любой	1 10…	−1
Любой	0 01 11 0…	0.5
Любой	0 0…1	${\textstyle 2^{-4n+8}}$	наименьшее положительное значение
Любой	0 1…	${\textstyle 2^{4n-8}}$	наибольшее положительное значение
позиция8	0 0000001	${\textstyle 2^{-24}\approx 6.0\times 10^{-8}}$	наименьшее положительное значение
позиция8	0 1111111	${\textstyle 2^{24}\approx 1.7\times 10^{7}}$	наибольшее положительное значение
позиция16	0 000000000000001	${\textstyle 2^{-56}\approx 1.4\times 10^{-17}}$	наименьшее положительное значение
позиция16	0 111111111111111	${\textstyle 2^{56}\approx 7.2\times 10^{16}}$	наибольшее положительное значение
позиция32	0 0000000000000000000000000000001	${\textstyle 2^{-120}\approx 7.5\times 10^{-37}}$	наименьшее положительное значение
позиция32	0 1111111111111111111111111111111	${\textstyle 2^{120}\approx 1.3\times 10^{36}}$	наибольшее положительное значение

Примечание . Ожидается, что 32-битного posit будет достаточно для решения практически всех классов приложений. .

Квайр

Для каждой позиции n тип точности ${\textstyle n}$, стандарт определяет соответствующий тип «quire» quire n точности ${\textstyle 16\times n}$, используется для накопления точных сумм произведений этих чисел без округления или переполнения в скалярном произведении для векторов до 2 ³¹ или более элементов (точный предел $2^{23+4n}$). Формат quire представляет собой целое число со знаком, дополненное до двух , интерпретируемое как кратное единицам величины. $2^{16-8n}$ за исключением специального значения с ведущим битом знака 1 и всеми остальными битами, равными 0 (что представляет NaR). Quires основан на работах Ульриха В. Кулиша и Уилларда Л. Миранкера .

Действительный

Допустимые значения описываются как режим Unum типа III, который ограничивает результаты в заданном диапазоне.

Реализации

Несколько программных и аппаратных решений реализуют posits. Первый полный параметризованный аппаратный генератор позиционной арифметики был предложен в 2018 году.

Реализации Unum были исследованы в Julia. и МАТЛАБ . С ++ Версия доступна поддержка любых размеров чисел в сочетании с любым количеством битов экспоненты. Быстрая реализация на C, SoftPosit, предоставленный исследовательской группой NGA на базе Berkeley SoftFloat, дополняет доступные программные реализации.

Проект автор	Тип	Точность	Квайр Поддерживать?	Скорость	Тестирование	Примечания
ГП-графический процессор Яркие Искры	Первый в мире FPGA GPGPU	32	Да	~3,2 тыс. тонн в секунду	Исчерпывающий. Никаких известных ошибок.	RaceEr GP-GPU имеет 512 ядер.
СофтПосит А*СТАР	Библиотека C на основе Berkeley SoftFloat Оболочка C++ для переопределения операторов Оболочка Python с использованием SWIG SoftPosit	8, 16, 32 опубликованы и завершены;	Да	От ~60 до 110 MPOPS на ядре x86 (Broadwell)	8: Исчерпывающий; 16: Исчерпывающий список, кроме FMA, требуется 32: Исчерпывающее испытание все еще продолжается. Никаких известных ошибок.	Лицензия с открытым исходным кодом. Самая быстрая и полная библиотека C для posits на данный момент. Разработан для подключаемого модуля сравнения чисел с плавающей запятой и положительных чисел IEEE.
posit4.nb А*СТАР	Блокнот математики	Все	Да	< 80 тыс. ПОПС	Исчерпывающий для низкой точности. Никаких известных ошибок.	Открытый исходный код (лицензия MIT). Исходное определение и прототип. Наиболее полная среда для сравнения чисел с плавающей запятой и положительных чисел IEEE. Множество примеров использования, включая линейные решатели.
posit-javascript А*СТАР	Виджет JavaScript	Преобразовать десятичное число в число 6, 8, 16, 32; сгенерируйте таблицы 2–17 с помощью es 1–4.	Н/Д	Н/Д; интерактивный виджет	Полностью протестирован	Генератор таблиц и преобразование
Универсальный Стиллуотер Суперкомпьютер, Инк.	библиотека шаблонов C++ библиотека C Python-обертка библиотека Голанга	Допустимая posit float произвольной точности (p) Один тип 1 (п) Один тип 2 (п)	Произвольные конфигурации запросов с программируемой мощностью	posit<4,0> 1 GPOPS posit<8,0> 130 MPOPS posit<16,1> 115 MPOPS posit<32,2> 105 MPOPS позиция<64,3> 50 МПОПС позиция<128,4> 1 МПОПС позиция<256,5> 800 КПОПС	Полный пакет проверки для произвольных позиций Случайные значения для больших конфигураций posit. Использует индукцию, чтобы доказать правильность nbits+1 нет известных ошибок	Открытый исходный код. С лицензией. Полная интеграция с типами C/C++ и автоматическими преобразованиями. Поддерживает полную математическую библиотеку C++ (собственную и преобразование в/из IEEE). Интеграция во время выполнения: MTL4/MTL5, Eigen, Trilinos, HPR-BLAS. Интеграция приложений: G+SMO, FDBB, FEniCS, ODEintV2, TVM.ai. Интеграция аппаратных ускорителей (Xilinx, Intel, Achronix).
Спидго Чунг Шин Йи	библиотека Python	Все	Нет	~20 МПОПС	Обширный; нет известных ошибок	Открытый исходный код (С лицензией)
softposit-rkt Дэвид Тьен	Крепления SoftPosit для ракетки	Все	Да	Un­known	Un­known
sfpy Билл Зорн	Привязки SoftPosit для Python	Все	Да	~20–45 MPOPS на ядре Skylake 4,9 ГГц	Un­known
позицтава Диего Коэльо	Октавная реализация	Все	Нет	Un­known	Ограниченное тестирование; нет известных ошибок	GNU GPL
Сигмовидные числа Исаак Йонемото	Библиотека Юлии	Все <32, все ES	Да	Un­known	Нет известных ошибок (позитов). Ошибки деления (действительны)	Использует стандартную библиотеку шаблонов математики Julia, может выполнять матричные и тензорные операции, комплексные числа, FFT, DiffEQ. Поддержка валидностей
FastSigmoid Исаак Йонемото	Джулия и библиотека C/C++	8, 16, 32, все ES	Нет	Un­known	Известная ошибка в 32-битном умножении	Используется LLNL в исследованиях шока.
SoftPosit.jl Милан Клёвер	Библиотека Юлии	На основе softposit; 8-битный (es=0..2) 16-битный (es=0..2) 24-битный (es=1..2) 32-битный (эс=2)	Да	Похоже на: А*СТАР «СофтПозит» (Серлан Леонг)	Да: Позит (8,0), Позит (16,1), Позит (32,2) Другие форматы не обладают полной функциональностью.	Открытый исходный код. Проблемы и предложения на GitHub. Этот проект был разработан в связи с тем, что SigmoidNumbers и FastSigmoid Исаака Йонемото в настоящее время не поддерживаются. Поддерживает основные функции линейной алгебры в Julia (умножение матриц, решение матриц, разложение Элгена и т. д.).
PyСигмоид Кен Меркадо	библиотека Python	Все	Да	< 20 МПОПС	Un­known	Открытый исходный код (лицензия MIT). Простой в использовании интерфейс. Пример нейронной сети. Комплексная поддержка функций.
cppPosit Федерико Росси, Эмануэле Руффальди	библиотека С++	от 4 до 64 (любое значение es); «Версия шаблона от 2 до 63 бит»	Нет	Un­known	Несколько основных тестов	4 уровня операций, работающих с позитивами. Специальная поддержка типов NaN (нестандартная)
bfp: за пределами плавающей точки Клеман Герен	библиотека С++	Любой	Нет	Un­known	Обнаружены ошибки; статус исправлений неизвестен	Поддерживает + – × ÷ √ взаимное, отрицание, сравнение
Verilog.jl Исаак Йонемото	Юлия и Верилог	8, 16, 32, ES=0	Нет	Un­known	Всесторонне протестировано на 8-битной версии, ошибок нет.	Предназначено только для приложений глубокого обучения. Только сложение, вычитание и умножение. Было создано доказательство концепции матричного множителя, но его точность не соответствует техническим требованиям.
Ломбикская арифметика Ломбик Технологии	C# с Hastlayer для создания оборудования	8, 16, 32. (64 бит в процессе)	Да	10 МПОПС Нажмите здесь, чтобы узнать больше	Частичный	Требуются API-интерфейсы Microsoft .Net.
Deepfloat Джефф Джонсон, Facebook	СистемаVerilog	Любой (параметризованный SystemVerilog)	Да	Н/Д (RTL для проектов FPGA/ASIC)	Ограниченный	Не совсем соответствует заявленным характеристикам. Поддерживает +,-,/,*. Реализует как логарифмическое, так и нормальное, «линейное» положение. Лицензия: CC-BY-NC 4.0 на данный момент.
Токийский технологический институт	ПЛИС	16, 32, выдвижной	Нет	«2 ГГц», не переведено в MPOPS	Частичный; известные ошибки округления	Еще не с открытым исходным кодом
PACoGen: Генератор Posit Arthmetic Core Маниш Кумар Джайсвал	Verilog HDL для Posit-арифметики	Любая точность. Способен генерировать любую комбинацию размера слова (N) и размера экспоненты (ES).	Нет	Скорость проектирования зависит от базовой аппаратной платформы (ASIC/FPGA).	Исчерпывающие тесты для 8-битного положительного результата. Выполняются многомиллионные случайные тесты для 32-битных значений с различными комбинациями ES.	Он поддерживает метод округления до ближайшего.
Винай Саксена, Центр исследований и технологий, Роберт Бош, Индия (RTC-IN), и Фархад Мерчант, RWTH Ахенский университет	Генератор Verilog для СБИС, ПЛИС	Все	Нет	Аналогично числам с плавающей запятой того же битового размера.	Н=8 - ES=2 | Н=7,8,9,10,11,12 Выборочные (20000*65536) комбинации для - ES=1 | Н=16	Для использования в коммерческих продуктах. Насколько нам известно. ***Первая интеграция posits в RISC-V***
Ядро RISC-V с поддержкой Posit (Сугандха Тивари, Нил Гала, Честер Ребейро, В. Камакоти, ИИТ МАДРАС)	Реализация BSV (Bluespec System Verilog)	32-битное положительное значение с (es=2) и (es=3)	Нет	—	Проверено с помощью SoftPosit для (es=2) и протестировано с несколькими приложениями для (es=2) и (es=3). Никаких известных ошибок.	Первое полное ядро ​​RISC-V с поддержкой posit. Поддерживает динамическое переключение между (es=2) и (es=3). Дополнительная информация здесь.
ПЕРСИВАЛЬ Дэвид Малласен	Ядро Posit RISC-V с открытым исходным кодом и возможностями Quire	Posit<32,2> с 512-битным запросом	Да	Скорость проектирования зависит от базовой аппаратной платформы (ASIC/FPGA).	Тестирование функциональности каждой инструкции posit.	Ядро RISC-V с поддержкой posit на уровне приложения на базе CVA6, которое может выполнять все инструкции posit, включая операции quire Fusion. PERCIVAL — это первая работа, которая полностью интегрирует posit ISA и quire в аппаратном обеспечении. Он позволяет одновременно выполнять как posit-инструкции, так и стандартные инструкции с плавающей запятой.
LibPosit Крис Ломонт	Один файл, лицензия C# MIT.	Любой размер	Нет		Обширный; нет известных ошибок	Упс: арифметика, сравнения, sqrt, sin, cos, tan, acos, asin, atan, pow, exp, log
unumjl РЕКС Компьютеры	FPGA-версия процессора VLIW «Neo» с позиционным числовым блоком	32	Нет	~1,2 ГПОПС	Обширный; нет известных ошибок	Никакого деления или квадратного корня. Первая полноценная конструкция процессора для замены чисел с плавающей запятой на положительные.
PNU: Положительная числовая единица Каллиго Тек	Первая в мире ASIC с поддержкой posit, восьмиядерным процессором RISC-V и поддержкой Quire. Карта-ускоритель PCIe с этим чипом будет готова в июне 2024 года. Полный программный стек с компиляторами, отладчиком, средой IDE и математическими библиотеками для приложений. Поддерживаются языки C, C++, Python. Приложения успешно протестированы: сжатие изображений и видео и многое другое.	<32, 2> с поддержкой 512 бит Quire. <64, 3>	Да – полностью поддерживается.	500 МГц * 8 ядер	Завершены исчерпывающие тесты для 32-битных и 64-битных версий с поддержкой Quire. Приложения протестированы и доступны для беспрепятственного внедрения. www.calligotech.com	Полная интеграция с типами C/C++ и автоматическими преобразованиями. Поддерживает полную математическую библиотеку C++ (собственную и преобразование в/из IEEE). Интеграция во время выполнения: GNU Utils, OpenBLAS, CBLAS. Интеграция приложений: в процессе. Расширена поддержка компиляторов: C/C++, G++, GFortran и LLVM (в разработке).
IBM-TACC Цзяньюй Чен	ПЛИС специального назначения	32	Да	16–64 ГПОПС	Протестирован только один известный случай	Выполняет матричное умножение 128 на 128 (SGEMM) с использованием quire.
Глубокое решето Рауль Мурильо	Библиотека Python (программное обеспечение)	8, 16, 32	Да	Un­known	Un­known	Структура DNN, использующая posits
Gosit Яап Аартс	Библиотека чистого Go	16/1 32/2 (в комплект входит общий 32/ES для ES<32)	Нет	80 MPOPS для div32/2 и подобных линейных функций. Намного выше для усечения и намного ниже для опыта.	Фаззинг softposit на C с множеством итераций для 16/1 и 32/2. Обнаружены крайние случаи при явном тестировании.	(лицензия MIT) В реализациях, где ES является постоянным, генерируется код. Генератор должен иметь возможность генерировать все размеры {8,16,32} и ES ниже этого размера. Однако те, которые не включены в библиотеку по умолчанию, не тестируются, не модифицируются и не поддерживаются. Для некоторых операций на 32/ES возможно смешивание и сопоставление ES. Однако это не проверено.

СофтПосит

СофтПосит представляет собой программную реализацию posits на основе Berkeley SoftFloat. Это позволяет программному обеспечению сравнивать posits и float. В настоящее время он поддерживает

• Добавлять
• Вычесть
• Умножить
• Разделять
• Сплавленное-умножение-сложение
• Сплавленное скалярное произведение (с дейром)
• Квадратный корень
• Преобразование posit в целое число со знаком и без знака
• Преобразование целого числа со знаком и без знака в posit
• Преобразовать posit в другой размер posit
• Меньше, равно, меньше, чем равно сравнение
• Округлить до ближайшего целого числа

Вспомогательные функции

• преобразовать двойное значение в положительное
• преобразовать posit в double
• привести целое число без знака к посту

Он работает для 16-битных значений с одним битом экспоненты и для 8-битных значений с нулевым битом экспоненты. Поддержка 32-битных чисел и гибкого типа (2–32 бита с двумя битами экспоненты) ожидает проверки. Он поддерживает системы x86_64. Он был протестирован на GNU gcc ( SUSE Linux ) 4.8.5 Apple LLVM версии 9.1.0 (clang-902.0.39.2).

Примеры

Добавить с помощью posit8_t

#include "softposit.h"

int main(int argc, char *argv[]) {
    posit8_t pA, pB, pZ;
    pA = castP8(0xF2);
    pB = castP8(0x23);
    pZ = p8_add(pA, pB);

    // To check answer by converting it to double
    double dZ = convertP8ToDouble(pZ);
    printf("dZ: %.15f\n", dZ);

    // To print result in binary (warning: non-portable code)
    uint8_t uiZ = castUI8(pZ);
    printBinary((uint64_t*)&uiZ, 8);

    return 0;
}

Слитое скалярное произведение с quire16_t

// Convert double to posit
posit16_t pA = convertDoubleToP16(1.02783203125);
posit16_t pB = convertDoubleToP16(0.987060546875);
posit16_t pC = convertDoubleToP16(0.4998779296875);
posit16_t pD = convertDoubleToP16(0.8797607421875);

quire16_t qZ;

// Set quire to 0
qZ = q16_clr(qZ);

// Accumulate products without roundings
qZ = q16_fdp_add(qZ, pA, pB);
qZ = q16_fdp_add(qZ, pC, pD);

// Convert back to posit
posit16_t pZ = q16_to_p16(qZ);

// To check answer
double dZ = convertP16ToDouble(pZ);

Критика

Уильям М. Кахан, главный архитектор IEEE 754-1985, критикует unum типа I на следующих основаниях (некоторые из них рассматриваются в стандартах типа II и типа III):

• Описание unums обходит стороной использование исчисления для решения физических задач.
• Unums может быть дорогостоящим с точки зрения времени и энергопотребления.
• Каждое вычисление в unum-пространстве может изменить битовую длину структуры. Для этого требуется либо распаковать их в пространство фиксированного размера, либо выделить, освободить данные и собрать мусор во время операций unum, аналогично проблемам, связанным с записями переменной длины в запоминающем устройстве большой емкости.
• Unums предоставляет только два типа числовых исключений: тихое и сигнальное NaN (Not-a-Number).
• Вычисление Unum может привести к слишком широким ограничениям при выборе алгебраически правильного, но численно нестабильного алгоритма.
• Преимущества unum перед плавающей запятой короткой точности для задач, требующих низкой точности, не очевидны.
• Решение дифференциальных уравнений и вычисление интегралов с помощью unums гарантируют правильные ответы, но могут быть не такими быстрыми, как методы, которые обычно работают.

См. также

• Точная арифметика Карлсруэ (КАА)
• Q (формат числа)
• Значительные цифры
• Устранение ошибок с плавающей запятой
• Гамма-код Элиаса (γ)
• Коническая с плавающей запятой (TFP)

Дальнейшее чтение

• Густафсон, Джон Л. (март 2013 г.). «Правильный выбор точности: свободные вычисления: необходимость правильного размера точности для экономии энергии, пропускной способности, хранилища и электроэнергии» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 6 июня 2016 г.
• Брюкнер, Рич (2 марта 2015 г.). «Слайдкаст: Джон Густафсон объясняет энергоэффективные вычисления Unum» . Богатый отчет . Внутри HPC. Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июня 2016 г.
• Густафсон, Джон Л. (2015). «Конец численной ошибки» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 июня 2016 г. Проверено 6 июня 2016 г.
• Густафсон, Джон Л. (3 июня 2016 г.) [22 февраля 2016 г.]. «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами - Unums версия 2.0» (PPT). Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г. (Примечание. PDF-файлы поставляются без примечаний: [5] [6] )
• Густафсон, Джон Л. (6 июня 2016 г.). «Энергоэффективный и массовый параллельный подход к действительным числам» (PPT). Семинар ОКРАР. Архивировано из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г. [7] [8]
• Густафсон, Джон Л. (2016). «Радикальный подход к вычислениям с действительными числами» (PDF) . SuperFri.org. Архивировано (PDF) из оригинала 10 июля 2016 г. Проверено 10 июля 2016 г.
• Кулиш, Ульрих В. (2015). «Современная интервальная арифметика от закрытых интервалов до связанных наборов действительных чисел» (PDF) (препринт). Institut für Angewandte und Numerische Mathematik – Технологический институт Карлсруэ (KIT), Германия. ID 15/02. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2016 г. Проверено 12 июля 2016 г.
• Риссе, Томас (10 марта 2016 г.). «Unum – целесообразное расширение IEEE 754» (PDF) (презентация). Лондонский университет Саут-Бэнк (LSBU), Великобритания: Институт информатики и автоматизации (IIA), факультет EEE и CS, Бременский университет прикладных наук , Германия. Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2016 г. Проверено 12 июля 2016 г.
• Кахан, Уильям М. (15 июля 2016 г.). «Комментарии профессора В. Кахана по арифметике SORN» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 1 августа 2016 г. Проверено 1 августа 2016 г.
• Хунхолд, Ласло (08 ноября 2016 г.). Формат чисел Unum: математические основы, реализация и сравнение с числами с плавающей запятой IEEE 754 (PDF) (бакалаврская диссертация). Университет Кёльна , Математический институт. arXiv : 1701.00722v1 . Архивировано (PDF) из оригинала 7 января 2017 г. Проверено 23 октября 2016 г.
• Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN  0-13-322495-3 .
• Кейв, Скип (17 августа 2016 г.). «Язык программирования J. Реализация 3-битных, 4-битных, 8-битных и 16-битных точных чисел Unum» . Проверено 3 мая 2017 г. (Ссылка для скачивания Роджера Стоукса: [9] )
• Инголе, Дипак (28 сентября 2017 г.). Встроенная реализация явной модели прогнозирующего управления (кандидатская диссертация). Словацкий технологический университет в Братиславе , Словакия.

Внешние ссылки

• «Конференция по арифметике следующего поколения (CoNGA)» . 2017. Архивировано из оригинала 04.11.2017 . Проверено 4 ноября 2017 г.
• «СофтПосит» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 г.
• «Вклад сообщества в исходный код» . 2018 . Проверено 13 июня 2018 г.
• «Анатомия целого числа» . 11 апреля 2018 г. Проверено 9 августа 2019 г.