Универсальная формулировка переменной

В орбитальной механике формулировка универсальной переменной — это метод, используемый для решения двух тел задачи Кеплера . Это обобщенная форма уравнения Кеплера , расширяющая его для применения не только к эллиптическим орбитам , но также к параболическим и гиперболическим орбитам, обычным для космических кораблей, вылетающих с планетарной орбиты. Это также применимо к выбросу малых тел Солнечной системы из окрестностей массивных планет, во время которых аппроксимирующие орбиты двух тел могут иметь широко варьирующиеся эксцентриситеты , почти всегда   e ≥ 1 .

Введение

Общая проблема орбитальной механики заключается в следующем: если тело находится на орбите и фиксированное исходное время $\ t_{\mathsf {o}}\ ,$ найти положение тела через некоторое время $\ t~.$ Для эллиптических орбит с достаточно малым эксцентриситетом решение уравнения Кеплера такими методами, как метод Ньютона, дает превосходные результаты. Однако по мере того, как орбита приближается к траектории ухода, она становится все более и более эксцентричной, сходимость числовых итераций может стать неприемлемо медленной или вообще не сходиться для   e ≥ 1 . Более того, уравнение Кеплера не может быть напрямую применено к параболическим и гиперболическим орбитам , поскольку оно специально адаптировано к эллиптическим орбитам.

Вывод

Хотя уравнения, подобные уравнению Кеплера, можно вывести и для параболических и гиперболических орбит , удобнее ввести новую независимую переменную вместо эксцентрической аномалии. $\ E\ ,$ и наличие одного уравнения, которое можно решить независимо от эксцентриситета орбиты. Новая переменная $\ s\$ определяется следующим дифференциальным уравнением : $${\frac {\operatorname {d} s}{\ \operatorname {d} t\ }}={\frac {\ 1\ }{r}}$$где $\ r\equiv r(t)\$ - зависящее от времени скалярное расстояние до центра притяжения. (Во всех следующих формулах внимательно обратите внимание на различие между скалярами $\ r\ ,$ курсивом ​ и векторами $\ \mathbf {r} \ ,$ прямым жирным шрифтом .)Фундаментальное уравнение

$\ {\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} t^{2}\ }}+\mu {\frac {\ \mathbf {r} \ }{~r^{3}\ }}=\mathbf {0} \ ,\quad$ где $\quad \ \mu \equiv G\left(m_{1}+m_{2}\right)\ \quad$ гравитационная масштабирующая константа системы,

регуляризуется : путем применения этой замены переменных, которая дает

$${\frac {\ \operatorname {d} ^{2}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{2}\ }}+\alpha \ \mathbf {r} =-\mathbf {P} \$$

где $\ \mathbf {P} \$ это некоторый который подлежит уточнению постоянный вектор, , и $\ \alpha \$ - орбитальная энергия, определяемая формулой $$\alpha \equiv {\frac {\ \mu \ }{a}}~.$$Уравнение такое же, как и уравнение гармонического осциллятора , широко известное уравнение как в физике , так и в математике . Снова взяв производную, исключим постоянный вектор $\ \mathbf {P} \ ,$ ценой получения дифференциального уравнения третьей степени: $$\ {\frac {\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} \ }{~\operatorname {d} s^{3}\ }}+\alpha {\frac {\ \operatorname {d} \mathbf {r} \ }{\ \operatorname {d} s\ }}=\mathbf {0} \$$Семейство решений этого дифференциального уравнения для удобства записаны символически через три функции $\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\$ $\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,$ и $\ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ;\$ где функции $\ c_{k}\!(x)\ ,$ называемые функциями Штумпфа , которые являются усеченными обобщениями рядов синуса и косинуса . Применение этого приводит к: $$\ t-t_{\mathsf {o}}=r_{\mathsf {o}}\ s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+r_{\mathsf {o}}{\frac {~\operatorname {d} r_{\mathsf {o}}\ }{\ \operatorname {d} t\ }}\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)+\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\$$что является формулировкой уравнения Кеплера с универсальной переменной. Теперь это уравнение можно решить численно, используя алгоритм поиска корня, такой как метод Ньютона или метод Лагерра, для заданного времени. $\ t\$ уступить $\ s\ ,$ который, в свою очередь, используется для вычисления $\ f\$ и $\ g\$ функции: $${\begin{aligned}\ f(s)&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{~r_{\mathsf {o}}\ }}\right)s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ g(s)&=t-t_{\mathsf {o}}-\mu \ s^{3}c_{3}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {f}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} f\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=-\left({\frac {\ \mu \ }{\ r_{\mathsf {o}}r\ }}\right)s\ c_{1}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)\ ,\\[1.5ex]\ {\dot {g}}(s)\equiv {\frac {\ \operatorname {d} g\ }{\ \operatorname {d} t\ }}&=1-\left({\frac {\ \mu \ }{r}}\right)\ s^{2}c_{2}\!\!\left(\ \alpha s^{2}\ \right)~.\\[-1ex]\end{aligned}}$$Ценности $\ f\$ и $\ g\$ функции определяют положение тела в момент времени $\ t\$: $$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ f(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ g(s)\$$Кроме того, скорость тела в момент времени $\ t\$ можно найти с помощью $\ {\dot {f}}(s)\$ и $\ {\dot {g}}(s)\$ следующее: $$\ \mathbf {v} =\mathbf {r} _{\mathsf {o}}\ {\dot {f}}(s)+\mathbf {v} _{\mathsf {o}}\ {\dot {g}}(s)\$$

где $\ \mathbf {r} \$ и $\ \mathbf {v} \$ - это положение и скорость соответственно во времени $\ t\ ,$ и $\ \mathbf {r} _{\mathsf {o}}\$ и $\ \mathbf {v} _{\mathsf {o}}\$ — положение и скорость соответственно в произвольный начальный момент времени $\ t_{\mathsf {o}}~.$