Относительное изменение

В любой количественной науке термины «относительное изменение» и «относительная разница» используются для сравнения двух величин с учетом «размеров» сравниваемых вещей, т.е. деления на стандартное , эталонное или начальное значение. ^[1] Сравнение выражается в виде отношения и представляет собой безразмерное число . Умножив эти коэффициенты на 100, их можно выразить в процентах, термины «процентное изменение» , «процентная (возрастная) разница» или «относительная процентная разница» поэтому также часто используются . Термины «изменение» и «разница» используются как взаимозаменяемые. ^[2]

Относительное изменение часто используется в качестве количественного показателя обеспечения качества и контроля качества при повторных измерениях, когда ожидается, что результаты будут одинаковыми. Особый случай процентного изменения (относительное изменение, выраженное в процентах), называемый процентной ошибкой, возникает в ситуациях измерения, когда эталонное значение является принятым или фактическим значением (возможно, теоретически определенным), а сравниваемое с ним значение определяется экспериментально (путем измерения). .

Формула относительного изменения не работает во многих случаях. различные альтернативные формулы, называемые индикаторами относительного изменения В литературе предлагались . Некоторые авторы сочли, что изменение журнала и точки журнала являются удовлетворительными индикаторами, но они не получили широкого распространения. ^[3]

Определение

Учитывая две числовые величины, v _ref и v с v _ref некоторым эталонным значением, их фактическое изменение , фактическая разница или абсолютное изменение равно $Δ v = v - v ref$ . Иногда также используется термин «абсолютная разница», даже если абсолютное значение не берется; знак Δ обычно одинаков, например, в возрастающем ряде данных. Если соотношение значения по отношению к эталонному значению (то есть больше или меньше) не имеет значения в конкретном приложении, абсолютное значение может использоваться вместо фактического изменения в приведенной выше формуле для получения значения для относительное изменение, которое всегда неотрицательно. Фактическая разница обычно не является хорошим способом сравнения чисел, в частности потому, что она зависит от единицы измерения. Например, 1 м равен 100 см , но абсолютная разница между 2 и 1 м равна 1, а абсолютная разница между 200 и 100 см равна 100, что создает впечатление большей разницы. ^[4] Но даже при постоянных единицах измерения относительное изменение помогает судить о важности соответствующего изменения. Например, увеличение цены ценности на 100 долларов считается большим, если она изменяется с 50 до 150 долларов , но довольно небольшим при изменении с 10 000 до 10 100 долларов .

Мы можем настроить сравнение, чтобы принять во внимание «размер» участвующих величин, определив положительные значения v _ref :

${\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{Actual change}}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v-v_{\text{ref}}}{v_{\text{ref}}}}.$

Относительное изменение не зависит от используемой единицы измерения; например, относительное изменение от 2 до 1 м составляет -50% , то же, что и от 200 до 100 см . Относительное изменение не определяется, если опорное значение ( v _ref ) равно нулю, и дает отрицательные значения для положительного увеличения, если v _ref отрицательное, поэтому оно обычно не определяется и для отрицательных опорных значений. Например, мы можем захотеть вычислить относительное изменение от -10 до -6. Приведенная выше формула дает $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ (−6) − (−10) / −10 ⁠ = ⁠ 4 / −10 ⁠ = −0,4$ , что указывает на уменьшение, но на самом деле показание увеличилось.

Мерой относительного изменения являются безразмерные числа, выраженные в виде дроби . Соответствующие значения процентного изменения можно получить путем умножения этих значений на 100 (и добавления знака %, чтобы указать, что значение представляет собой процент).

Домен

Ограничение области относительного изменения положительных чисел часто представляет собой ограничение. Чтобы избежать этой проблемы, обычно принимают абсолютное значение, чтобы формула относительного изменения работала правильно для всех ненулевых значений v _ref :

${\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.$

Это по-прежнему не решает проблему, когда ссылка равна нулю. Вместо этого обычно используют индикатор относительных изменений и берут абсолютные значения как $v$ , так и $v_{\text{reference}}$ . Тогда единственным проблемным случаем является $v=v_{\text{reference}}=0$ , которую обычно можно решить путем соответствующего расширения индикатора. Например, для среднего арифметического можно использовать следующую формулу: ^[5] $d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0$

Процентная ошибка

Процентная ошибка — это частный случай процентной формы относительного изменения, рассчитанной на основе абсолютного изменения между экспериментальными (измеренными) и теоретическими (принятыми) значениями и деления на теоретическое (принятое) значение.

$\%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.$

Термины «Экспериментальный» и «Теоретический», используемые в приведенном выше уравнении, обычно заменяются аналогичными терминами. Другие термины, используемые для экспериментальных значений, могут быть «измеренными», «рассчитанными» или «фактическими», а другой термин, используемый для теоретических, может быть «принят». Экспериментальная ценность — это то, что было получено с помощью вычислений и/или измерений, и ее точность проверена на соответствие теоретическому значению, значению, принятому научным сообществом, или значению, которое можно рассматривать как цель для успешного результата.

Хотя общепринятой практикой является использование версии относительного изменения с абсолютным значением при обсуждении процентной ошибки, в некоторых ситуациях может быть полезно удалить абсолютные значения, чтобы получить больше информации о результате. Таким образом, если экспериментальное значение меньше теоретического, процентная ошибка будет отрицательной. Этот отрицательный результат дает дополнительную информацию о результате эксперимента. Например, экспериментальное вычисление скорости света и получение отрицательной процентной ошибки говорит о том, что экспериментальное значение представляет собой скорость, меньшую скорости света. Это большая разница с получением положительной процентной ошибки, которая означает, что экспериментальное значение представляет собой скорость, превышающую скорость света (нарушая теорию относительности ), и это достойный внимания результат.

Уравнение процентной ошибки, если его переписать путем удаления абсолютных значений, будет выглядеть так: $\%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.$

Важно отметить, что два значения в числителе не коммутируют . Поэтому крайне важно сохранить указанный выше порядок: вычесть теоретическое значение из экспериментального значения, а не наоборот.

Процентное изменение

Процентное изменение — это способ выразить изменение переменной. Он представляет собой относительное изменение между старым значением и новым. ^[6]

Например, если сегодня дом стоит 100 000 долларов, а через год его стоимость вырастет до 110 000 долларов, процентное изменение его стоимости можно выразить как ${\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.$

Тогда можно сказать, что стоимость дома выросла на 10%.

В более общем смысле, если V ₁ представляет старое значение, а V ₂ — новое, ${\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.$

Некоторые калькуляторы напрямую поддерживают это через %CH или Δ% функция.

Когда рассматриваемая переменная сама является процентом, о ее изменении лучше говорить, используя процентные точки , чтобы избежать путаницы между относительной разницей и абсолютной разницей .

Пример процентов из процентов

Если бы банк поднял процентную ставку по сберегательному счету с 3% до 4%, утверждение о том, что «процентная ставка была увеличена на 1%», было бы неверным и вводящим в заблуждение. Абсолютное изменение в этой ситуации составляет 1 процентный пункт (4–3%), а относительное изменение процентной ставки составляет: ${\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.$

В общем, термин «процентный пункт(ы)» указывает на абсолютное изменение или разницу в процентах, тогда как знак процента или слово «процент» относится к относительному изменению или разнице. ^[7]

Примеры

Сравнения

Автомобиль М стоит 50 000 долларов, а автомобиль L — 40 000 долларов. Мы хотим сравнить эти затраты. ^[8] Что касается автомобиля L , абсолютная разница составляет 10 000 долларов США = 50 000 долларов США - 40 000 долларов США . То есть автомобиль М стоит на 10 000 долларов дороже, чем L. автомобиль Относительная разница заключается в том, ${\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,$ и мы говорим, что автомобиль M стоит на 25% чем автомобиль L. дороже , Также принято выражать сравнение как соотношение, которое в этом примере имеет вид: ${\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,$ и мы говорим, что автомобиль стоит 125% стоимости автомобиля L. M

В этом примере стоимость автомобиля L считалась эталонной стоимостью, но мы могли бы сделать выбор по-другому и рассматривать стоимость автомобиля M как эталонную стоимость. Абсолютная разница теперь равна -10 000 долларов = 40 000 - 50 000 долларов поскольку автомобиль L стоит на 10 000 долларов меньше, чем автомобиль М. , Относительная разница, ${\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%$ также отрицательно, поскольку автомобиль стоит на 20% меньше, чем автомобиль M. L Относительная форма сравнения, ${\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%$ говорит, что автомобиль L стоит 80% от автомобиля M. стоимости

Именно использование слов «из» и «меньше/больше чем» различает соотношения и относительные различия. ^[9]

Индикаторы относительных изменений

Вышеупомянутое (классическое) относительное изменение является лишь одним из возможных показателей/индикаторов относительного изменения. Индикатор относительного изменения от x (начальное или эталонное значение) до y (новое значение). $R(x,y)$ — это двоичная функция с действительным знаком, определенная для интересующей области, которая удовлетворяет следующим свойствам: ^[10]

Соответствующий знак: ${\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.$
$R$ — возрастающая функция от $y$ , когда $x$ фиксирован.
$R$ непрерывен.
Независимо от единицы измерения: для всех $a>0$ , $R(ax,ay)=R(x,y)$ .
Нормализовано: $\left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1$

Условие нормализации мотивировано наблюдением, что $R$ масштабируется константой $c>0$ по-прежнему удовлетворяет остальным условиям, кроме нормализации. Более того, в силу условия независимости каждый $R$ можно записать как функцию $H$ с одним аргументом отношения $y/x$ . ^[11] Тогда условие нормализации состоит в том, что $H'(1)=1$ . Это означает, что все индикаторы ведут себя как классический, когда $y/x$ близко к 1 .

Обычно показатель относительного изменения представляется как фактическое изменение Δ, масштабированное некоторой функцией значений x и y , например $f (x, y)$ . ^[2]

${\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.$

Как и в случае классического относительного изменения, общее относительное изменение не определено, если $f (x, y)$ равно нулю. различные варианты функции $f (x, y) :$ Были предложены ^[12]

Индикаторы относительных изменений ^[12]
Имя	$f(x,y)$ где значение показателя ${\tfrac {y-x}{f(x,y)}}$	$H(y/x)$
(Классический) Относительное изменение	$х$	${\frac {y}{x}}-1$
Обратное относительное изменение	$и$	$1-{\frac {x}{y}}$
Изменение среднего арифметического	${\frac {1}{2}}(x+y)$	${\frac {{\frac {y}{x}}-1}{{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}$
Среднее геометрическое изменение	${\sqrt {xy}}$	${\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\sqrt {\frac {y}{x}}}}$
Гармоническое среднее изменение	${\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}$	${\frac {\left({\frac {y}{x}}-1\right)\left(1+{\frac {x}{y}}\right)}{2}}$
Момент означает изменение порядка $k$	$\left[{\frac {1}{2}}(x^{k}+y^{k})\right]^{\frac {1}{k}}$	${\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\left[{\frac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}\right)\right]^{\frac {1}{k}}}}$
Максимальное среднее изменение	$\max(x,y)$	${\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\max \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}$
Минимальное среднее изменение	$\min(x,y)$	${\frac {{\frac {y}{x}}-1}{\min \left(1,{\frac {y}{x}}\right)}}$
Логарифмическое (среднее) изменение	${\begin{cases}{\frac {y-x}{\ln {\frac {y}{x}}}}&x\neq y\\x&x=y\end{cases}}$	$\ln {\frac {y}{x}}$

Как видно из таблицы, все показатели, кроме первых двух, имеют в знаменателе среднее значение . Одно из свойств средней функции $m(x,y)$ является: ^[12] $m(x,y)=m(y,x)$ , что означает, что все такие индикаторы обладают свойством «симметрии», которого нет у классического относительного изменения: $R(x,y)=-R(y,x)$ . Это согласуется с интуицией, согласно которой относительное изменение от x до y должно иметь ту же величину, что и относительное изменение в противоположном направлении, от y до x , точно так же, как соотношение ${\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}$ предполагает.

Максимальное среднее изменение рекомендуется при сравнении с плавающей запятой значений в языках программирования на предмет равенства с определенным допуском. ^[13] Другое применение - вычисление ошибок аппроксимации , когда требуется относительная погрешность измерения. ^{[ нужна ссылка ]} Минимальное среднее изменение рекомендовано для использования в эконометрике. ^[14]^[15] Логарифмическое изменение было рекомендовано в качестве универсальной замены относительного изменения и более подробно обсуждается ниже.

Тенхунен определяет общую функцию относительной разности от L (опорное значение) до K : ^[16] $H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}$

что приводит к

$H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}$

В частности, для особых случаев $c=\pm 1$ ,

$H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}$

Логарифмическое изменение

Из этих показателей относительного изменения наиболее естественным, пожалуй, является натуральный логарифм (ln) отношения двух чисел (конечного и начального), называемый логарифмическим изменением . ^[2] Действительно, когда $\left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1$ , имеет место следующее приближение: $\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}$

Точно так же, как относительное изменение масштабируется на 100, чтобы получить проценты, $\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}$ можно масштабировать на 100, чтобы получить то, что обычно называют лог-поинтами . ^[17] Логарифмические точки эквивалентны единицам сантинеперов (cNp) при измерении величин корневой мощности. ^[18]^[19] Эту величину также называют логарифмическим процентом и обозначают L% . ^[2]Поскольку производная натурального логарифма при 1 равна 1, точки логарифма примерно равны процентному изменению для небольших различий — например, увеличение на 1% соответствует увеличению на 0,995 сNp, а увеличение на 5% дает увеличение на 4,88 сNp. Это свойство аппроксимации не справедливо для других вариантов основания логарифма, которые вводят коэффициент масштабирования из-за того, что производная не равна 1. Таким образом, логарифмические точки можно использовать в качестве замены процентного изменения. ^[20]^[18]

Аддитивность

Использование изменений журнала имеет преимущества аддитивности по сравнению с относительным изменением. ^[2]^[18] В частности, при использовании журнала изменений общее изменение после серии изменений равно сумме изменений. В случае процентов суммирование изменений является лишь приблизительным, с большей ошибкой для больших изменений. ^[18] Например:

Изменение журнала 0 (cNp)	Изменение журнала 1 (cNp)	Общее изменение журнала (cNp)	Относительное изменение 0 (%)	Относительное изменение 1 (%)	Общее относительное изменение (%)
10	5	15	10	5	15.5
10	−5	5	10	−5	4.5
10	10	20	10	10	21
10	−10	0	10	−10	−1
50	50	100	50	50	125
50	−50	0	50	−50	−25

Обратите внимание, что в приведенной выше таблице, поскольку относительное изменение 0 (соответственно относительное изменение 1 ) имеет то же числовое значение, что и логарифмическое изменение 0 (соответственно логарифмическое изменение 1 ), оно не соответствует одному и тому же изменению. Преобразование между относительными и журнальными изменениями можно рассчитать как ${\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})$ .

По аддитивности, $\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0$ , и, следовательно, аддитивность подразумевает своего рода свойство симметрии, а именно $\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}$ и, таким образом, величина изменения, выраженная в логарифмическом изменении, одинакова независимо от того, выбрано ли V ₀ или V ₁ в качестве эталона. ^[18] Напротив, для относительных изменений ${\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}$ , с разницей ${\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}$ становится больше, когда V ₁ или V ₀ приближается к 0, в то время как другой остается фиксированным. Например:

В ₀	V_В1	Изменение журнала (cNp)	Относительное изменение (%)
10	9	−10.5	−10.0
9	10	+10.5	+11.1
10	1	−230	−90
1	10	+230	+900
10	0 ⁺	−∞	−100
0 ⁺	10	+∞	+∞

Здесь 0 ⁺ означает взятие предела сверху в сторону 0.

Уникальность и расширения

Логарифмическое изменение — это уникальная функция двух переменных, которая является аддитивной и линеаризация которой соответствует относительному изменению. Существует семейство аддитивных разностных функций. $F_{\lambda }(x,y)$ для любого $\lambda \in \mathbb {R}$ , такое, что абсолютное изменение $F_{0}$ и изменение журнала $F_{1}$ . ^[21]

См. также

Примечания

^ «МЭК 60050 — Подробности для номера МЭВ 112-03-07: «относительный» » . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 24 сентября 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Торнквист, Вартиа и Вартия 1985 .
^ Торнквист, Vartia & Vartia 1985 , стр. 11: «Мы предлагаем использовать этот показатель более широко».
^ Вартиа 1976 , стр. 9.
^ Миллер, Х. Рональд (29 марта 2011 г.). Оптимизация: основы и приложения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-03118-6 .
^ Казми, Кумаил (26 марта 2021 г.). «Калькулятор процентного увеличения» . Smadent — лучший образовательный сайт Пакистана . Издательство Смадент . Проверено 26 марта 2021 г.
^ Беннетт и Бриггс 2005 , с. 141
^ Беннетт и Бриггс 2005 , стр. 137–139.
^ Беннетт и Бриггс 2005 , стр.140.
^ Вартиа 1976 , стр. 10.
^ Вартиа 1976 , стр. 14.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Торнквист, Вартиа и Вартиа 1985 , стр. 5.
^ Каков хороший способ проверить достаточно близкое равенство чисел с плавающей запятой?
^ Рао, Потлури; Миллер, Роджер Лерой (1971). Прикладная эконометрика . Белмонт, Калифорния, паб Wadsworth. Компания р. 17. ISBN 978-0-534-00031-8 .
^ Вартиа 1976 , стр. 17–18.
^ Тенхунен 1990 , стр. 20.
^ Бекеш, Габор; Кезди, Габор (6 мая 2021 г.). Анализ данных для бизнеса, экономики и политики . Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-1-108-48301-8 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Карьюс, Андрес; Блайт, Ричард А.; Кирби, Саймон; Смит, Кенни (10 февраля 2020 г.). «Количественная оценка динамики актуальных колебаний языка» . Языковая динамика и изменения . 10 (1). Раздел А.3.1. arXiv : 1806.00699 . дои : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 .
^ Роу, Джон; деФорест, Расс; Джамшиди, Сара (26 апреля 2018 г.). Математика для устойчивого развития . Спрингер. п. 190. дои : 10.1007/978-3-319-76660-7_4 . ISBN 978-3-319-76660-7 .
^ Дойл, Патрик (24 августа 2016 г.). «Обоснование логарифмической метрики производительности» . Вена Солюшнс .
^ Браун, Сильван; Эрпф, Филипп; Васем, Миха (2020). «Об абсолютных и относительных изменениях». Электронный журнал ССРН . arXiv : 2011.14807 . дои : 10.2139/ssrn.3739890 . S2CID 227228720 .

Ссылки

Беннетт, Джеффри; Бриггс, Уильям (2005), Использование и понимание математики: подход к количественному рассуждению (3-е изд.), Бостон: Пирсон, ISBN 0-321-22773-5
«Понимание измерений и построения графиков» (PDF) . Государственный университет Северной Каролины . 20 августа 2008 г. Архивировано из оригинала (PDF) 15 июня 2010 г. Проверено 5 мая 2010 г.
«Процентная разница – процентная ошибка» (PDF) . Государственный университет Иллинойса, факультет физики. 20 июля 2004 г. Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2019 г. Проверено 5 мая 2010 г.
Торнквист, Лео; Вартиа, Пентти; Вартиа, Юрьё (1985), «Как следует измерять относительные изменения?» (PDF) , Американский статистик , 39 (1): 43–46, doi : 10.2307/2683905 , JSTOR 2683905
Тенхунен, Лаури (1990). Методы CES и паритетного производства, распределение доходов и неоклассическая теория производства (доктор философии). А. Том. 290. Университет Тампере.
Вартиа, Юрьё О. (1976). Относительные изменения и индексные номера (PDF) . ETLA A 4. Хельсинки: Научно-исследовательский институт финской экономики. ISBN 951-9205-24-1 . Проверено 20 ноября 2022 г.

[International_Electrotechnical_Vocabulary_z730-1] «МЭК 60050 — Подробности для номера МЭВ 112-03-07: «относительный» » . Международный электротехнический словарь (на японском языке) . Проверено 24 сентября 2023 г.

[FOOTNOTETörnqvistVartiaVartia1985-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Торнквист, Вартиа и Вартия 1985 .

[3] Торнквист, Vartia & Vartia 1985 , стр. 11: «Мы предлагаем использовать этот показатель более широко».

[FOOTNOTEVartia19769-4] Вартиа 1976 , стр. 9.

[5] Миллер, Х. Рональд (29 марта 2011 г.). Оптимизация: основы и приложения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-03118-6 .

[6] Казми, Кумаил (26 марта 2021 г.). «Калькулятор процентного увеличения» . Smadent — лучший образовательный сайт Пакистана . Издательство Смадент . Проверено 26 марта 2021 г.

[7] Беннетт и Бриггс 2005 , с. 141

[8] Беннетт и Бриггс 2005 , стр. 137–139.

[9] Беннетт и Бриггс 2005 , стр.140.

[FOOTNOTEVartia197610-10] Вартиа 1976 , стр. 10.

[FOOTNOTEVartia197614-11] Вартиа 1976 , стр. 14.

[FOOTNOTETörnqvistVartiaVartia19855-12] Jump up to: ^а ^б ^с Торнквист, Вартиа и Вартиа 1985 , стр. 5.

[13] Каков хороший способ проверить достаточно близкое равенство чисел с плавающей запятой?

[14] Рао, Потлури; Миллер, Роджер Лерой (1971). Прикладная эконометрика . Белмонт, Калифорния, паб Wadsworth. Компания р. 17. ISBN 978-0-534-00031-8 .

[FOOTNOTEVartia197617–18-15] Вартиа 1976 , стр. 17–18.

[FOOTNOTETenhunen199020-16] Тенхунен 1990 , стр. 20.

[17] Бекеш, Габор; Кезди, Габор (6 мая 2021 г.). Анализ данных для бизнеса, экономики и политики . Издательство Кембриджского университета. п. 203. ИСБН 978-1-108-48301-8 .

[Blythe2020-18] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Карьюс, Андрес; Блайт, Ричард А.; Кирби, Саймон; Смит, Кенни (10 февраля 2020 г.). «Количественная оценка динамики актуальных колебаний языка» . Языковая динамика и изменения . 10 (1). Раздел А.3.1. arXiv : 1806.00699 . дои : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 .

[19] Роу, Джон; деФорест, Расс; Джамшиди, Сара (26 апреля 2018 г.). Математика для устойчивого развития . Спрингер. п. 190. дои : 10.1007/978-3-319-76660-7_4 . ISBN 978-3-319-76660-7 .

[20] Дойл, Патрик (24 августа 2016 г.). «Обоснование логарифмической метрики производительности» . Вена Солюшнс .

[21] Браун, Сильван; Эрпф, Филипп; Васем, Миха (2020). «Об абсолютных и относительных изменениях». Электронный журнал ССРН . arXiv : 2011.14807 . дои : 10.2139/ssrn.3739890 . S2CID 227228720 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]