Синк-фильтр

При обработке сигналов sinc -фильтр может относиться либо к синхроимпульсному фильтру, которого импульсная характеристика является функцией sinc , а частотная характеристика прямоугольной, либо к синхрочастотному фильтру, импульсная характеристика которого прямоугольна и частотная характеристика является функцией sinc. Называя их в зависимости от того, в каком домене фильтр похож на синк, можно избежать путаницы. Если домен не указан, часто предполагается синхронизация во времени, или, как мы надеемся, контекст может определить правильный домен.

Синк-во-времени

Sinc-in-time — это идеальный фильтр , который удаляет все частотные компоненты выше заданной частоты среза , не ослабляя более низкие частоты, и имеет линейную фазовую характеристику. Таким образом, его можно рассматривать как фильтр с кирпичной стеной или прямоугольный фильтр.

Его импульсная характеристика представляет собой функцию sinc во временной области :

${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$

в то время как его частотная характеристика представляет собой прямоугольную функцию :

H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}

где $B$ (представляющая полосу пропускания ) — произвольная частота среза.

Его импульсная характеристика определяется обратным преобразованием Фурье его частотной характеристики:

{\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}

где sinc — нормализованная функция sinc .

Кирпичные фильтры

Идеализированный электронный фильтр с полным пропусканием в полосе пропускания, полным затуханием в полосе заграждения и резкими переходами в просторечии известен как «фильтр с кирпичной стеной» (в связи с формой передаточной функции ). Синхронный фильтр представляет собой фильтр нижних частот с кирпичной стенкой полосовые фильтры и фильтры верхних частот с кирпичной стенкой, из которого легко изготавливаются .

Фильтр нижних частот с отсечкой по кирпичной стене на частоте B _L имеет импульсную характеристику и передаточную функцию, определяемые следующим образом:

h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)

H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).

Полосовой фильтр с нижней границей полосы B _L и верхней границей полосы B _H представляет собой всего лишь разницу между двумя такими синхронизирующими фильтрами (поскольку фильтры имеют нулевую фазу, их амплитудные характеристики вычитаются напрямую): ^[1]

h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)

H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).

Фильтр верхних частот с нижней границей полосы B _H представляет собой просто прозрачный фильтр без синхроимпульса, что дает понять, что дельта-функция Дирака является пределом узкого по времени синхроимпульса. :

h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)

H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).

Неосуществимый

Поскольку синхроимпульсный фильтр имеет бесконечную импульсную характеристику как в положительном, так и в отрицательном временном направлении, он не является причинным и имеет бесконечную задержку (т. е. его компактная опора в частотной области вынуждает его временную характеристику не иметь компактного опорного значения). что оно вечно) и бесконечный порядок (т. е. ответ не может быть выражен в виде линейного дифференциального уравнения с конечной суммой). Однако он используется в концептуальных демонстрациях или доказательствах, таких как теорема выборки и формула интерполяции Уиттекера-Шеннона .

Синхронные фильтры должны быть аппроксимированы для реальных (неабстрактных) приложений, обычно путем оконной обработки и усечения идеального синхроимпульсного ядра фильтра , но это снижает его идеальные свойства. Это относится и к другим «кирпичным» фильтрам, построенным с использованием синхронизирующихся по времени фильтров.

Стабильность

Sinc-фильтр не является стабильным по принципу ограниченного ввода-ограниченного вывода (BIBO) . То есть ограниченный вход может давать неограниченный выход, поскольку интеграл абсолютного значения функции sinc бесконечен. Ограниченный ввод, который производит неограниченный вывод, — это sgn(sinc( t )). Другой - sin(2 $π$ Bt ) u ( t ), синусоидальная волна, начинающаяся в момент времени 0, на частоте среза.

Sinc в частотной области

В простейшей реализации синхрочастотного фильтра используется коробчатая импульсная характеристика для получения простого скользящего среднего (особенно при делении на количество выборок), также известного как фильтр накопления и сброса (в частности, если просто суммировать без деления). ). Его можно смоделировать как КИХ-фильтр со всеми $N$ коэффициенты равны. Иногда его используют каскадно для получения скользящих средних более высокого порядка (см. Конечная импульсная характеристика § Пример скользящего среднего и каскадный интегратор-гребенчатый фильтр ).

Этот фильтр можно использовать для грубого, но быстрого и простого понижения дискретизации (так называемого прореживания) в несколько раз. $N.$ Простота фильтра (накапливать $N$ выборки данных, вывод результата аккумулятора, обнуление аккумулятора и повтор) мешает его посредственные возможности нижних частот. Его наихудшее затухание в полосе задерживания составляет -13,3 дБ. ^[2] и большинство высокочастотных компонентов ослаблены лишь немного сильнее. Ан $N$ -фильтр проб, отобранных в $f_{S}$ будет псевдонимом всех не полностью ослабленных компонентов сигнала, лежащих выше ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ к основной полосе частот в диапазоне от постоянного тока до ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

Обработка группового усредняющего фильтра $N$ образцы имеет ${\tfrac {N}{2}}$ нули передачи, равномерно расположенные ${\tfrac {f_{S}}{N}},$ с наименьшим нулем в ${\tfrac {f_{S}}{N}}$ и самый высокий ноль в ${\tfrac {f_{S}}{2}}$ ( частота Найквиста ). Выше частоты Найквиста частотная характеристика зеркально отражается, а затем периодически повторяется выше частоты Найквиста. $f_{S}$ навсегда.

Величина частотной характеристики (показана на этих графиках) полезна, когда нужно узнать , насколько ослабляются частоты. Хотя функция sinc на самом деле колеблется между отрицательными и положительными значениями, отрицательные значения частотной характеристики просто соответствуют сдвигу фазы на 180 градусов .

Фильтр с обратной синусоидой может использоваться для выравнивания в цифровой области (например, КИХ-фильтр ) или аналоговой области (например, фильтр операционного усилителя ) для противодействия нежелательному затуханию в интересующей полосе частот и обеспечения плоской частотной характеристики. ^[3]

См. Оконную функцию § Прямоугольное окно , где описано применение ядра sinc в качестве простейшей оконной функции.

См. также

Ссылки

^ Марк Оуэн (2007). Практическая обработка сигналов . Издательство Кембриджского университета. п. 81. ИСБН 978-0-521-85478-8 .
^ Вербер, Том (30 сентября 2020 г.). «Интуитивный взгляд на скользящее среднее и фильтры CIC» . Электроника и т. д… . Архивировано из оригинала 2 апреля 2023 г. Проверено 24 августа 2023 г.
^ «УКАЗАНИЕ ПО ПРИМЕНЕНИЮ 3853: Методы выравнивания частотной характеристики ЦАП» . Аналоговые устройства . 20 августа 2012 г. Архивировано из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 02 января 2024 г.

Внешние ссылки

[1] Марк Оуэн (2007). Практическая обработка сигналов . Издательство Кембриджского университета. п. 81. ИСБН 978-0-521-85478-8 .

[2] Вербер, Том (30 сентября 2020 г.). «Интуитивный взгляд на скользящее среднее и фильтры CIC» . Электроника и т. д… . Архивировано из оригинала 2 апреля 2023 г. Проверено 24 августа 2023 г.

[3] «УКАЗАНИЕ ПО ПРИМЕНЕНИЮ 3853: Методы выравнивания частотной характеристики ЦАП» . Аналоговые устройства . 20 августа 2012 г. Архивировано из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 02 января 2024 г.

[1]

[2]

[3]