Модель фазового поля

Модель фазового поля — это математическая модель решения межфазных задач. В основном он применялся к динамике затвердевания, ^{[ 1 ]} но это также применялось и в других ситуациях, таких как вязкая аппликатура , ^{[ 2 ]} разрушения , механика ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} водородное охрупчивание , ^{[ 7 ]} и динамика пузырьков . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

В методе граничные условия на границе раздела заменяются уравнением в частных производных для эволюции вспомогательного поля (фазового поля), играющего роль параметра порядка . Это фазовое поле принимает два различных значения (например, +1 и -1) в каждой из фаз с плавным изменением между обоими значениями в зоне вокруг границы раздела, которая затем распространяется с конечной шириной. Дискретное местоположение интерфейса можно определить как совокупность всех точек, в которых фазовое поле принимает определенное значение (например, 0).

Модель фазового поля обычно строится таким образом, что в пределе бесконечно малой ширины интерфейса (так называемый предел острой границы раздела) восстанавливается правильная межфазная динамика. Такой подход позволяет решить задачу путем интегрирования системы уравнений в частных производных для всей системы, избегая при этом явной обработки граничных условий на границе раздела.

Модели фазового поля были впервые представлены компанией Fix ^{[ 12 ]} и Лангер, ^{[ 13 ]} и испытали растущий интерес к затвердеванию и другим областям.

Уравнения модели фазового поля

Модели фазового поля обычно строятся для воспроизведения заданной межфазной динамики. Например, в задачах затвердевания динамика фронта задается уравнением диффузии либо для концентрации, либо для температуры в объеме, а также некоторыми граничными условиями на границе раздела (условие локального равновесия и закон сохранения): ^{[ 14 ]} который представляет собой четкую модель интерфейса.

Ряд формулировок модели фазового поля основан на функции свободной энергии, зависящей от параметра порядка (фазовое поле) и диффузионного поля (вариационные формулировки). Уравнения модели затем получаются с использованием общих соотношений статистической физики . Такая функция строится из физических соображений, но содержит параметр или комбинацию параметров, связанных с шириной интерфейса. Параметры модели затем выбираются путем изучения предела модели с этой шириной, стремящейся к нулю, таким образом, чтобы можно было идентифицировать этот предел с предполагаемой моделью четкого интерфейса.

Другие формулировки начинаются с непосредственного написания уравнений фазового поля, без обращения к какому-либо термодинамическому функционалу (невариационные формулировки). В этом случае единственной ссылкой является модель четкого интерфейса в том смысле, что ее следует восстановить при выполнении ограничения малой ширины интерфейса модели фазового поля.

Уравнения фазового поля в принципе воспроизводят динамику межфазной границы, когда ширина межфазной границы мала по сравнению с наименьшим масштабом длины в задаче. При затвердевании этот масштаб представляет собой длину капилляра. $d_{o}$ , что представляет собой микроскопический масштаб. С вычислительной точки зрения интеграция уравнений в частных производных, разрешающих такой малый масштаб, является непомерно высокой. Однако Карма и Раппель ввели ограничение тонкого интерфейса. ^{[ 15 ]} что позволило ослабить это условие и открыло путь к практическому количественному моделированию с использованием моделей фазового поля. С ростом мощности компьютеров и теоретическим прогрессом в моделировании фазового поля модели фазового поля стали полезным инструментом для численного моделирования межфазных проблем.

Вариационные формулировки

Модель фазового поля может быть построена с использованием физических аргументов, если имеется явное выражение для свободной энергии системы. Простой пример проблем с затвердеванием следующий:

F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]

где $\varphi$ – фазовое поле, $u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2$ , $e$ - локальная энтальпия на единицу объема, $h$ является некоторой полиномиальной функцией от $\varphi$ , и $e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}$ (где $L$ это скрытое тепло , $T_{M}$ - температура плавления, а $c_{p}$ – удельная теплоемкость). Термин с $\nabla \varphi$ соответствует межфазной энергии. Функция $f(\varphi )$ обычно принимают двухъямный потенциал, описывающий плотность свободной энергии объема каждой фазы, которые сами соответствуют двум минимумам функции $f(\varphi )$ . Константы $K$ и $h_{0}$ имеют соответственно размерности энергии на единицу длины и энергии на единицу объема. Ширина интерфейса тогда определяется выражением $W={\sqrt {K/h_{0}}}$ . Модель фазового поля может быть получена из следующих вариационных соотношений: ^{[ 16 ]}

\partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)

\partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).

где D — коэффициент диффузии переменной $e$ , и $\eta$ и $\mathbf {q} _{e}$ являются стохастическими членами, учитывающими тепловые флуктуации (и статистические свойства которых можно получить из теоремы о диссипации флуктуаций ). Первое уравнение дает уравнение эволюции фазового поля, а второе — уравнение диффузии, которое обычно переписывают для температуры или концентрации (в случае сплава). Эти уравнения масштабируют пространство с помощью $l$ и время с $l^{2}/D$ :

\alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)

\partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)

где $\varepsilon =W/l$ - безразмерная ширина интерфейса, $\alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}$ , и ${\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)$ , $\mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)$ являются безразмерными шумами.

Альтернативные функции плотности энергии

Выбор функции свободной энергии, $f(\varphi )$ , может оказать существенное влияние на физическое поведение интерфейса, поэтому его следует выбирать с осторожностью. Функция двойной ямы представляет собой аппроксимацию уравнения состояния Ван-дер-Ваальса вблизи критической точки и исторически использовалась из-за простоты реализации, когда модель фазового поля использовалась исключительно для целей отслеживания границы раздела. Но это привело к часто наблюдаемому явлению спонтанного сжатия капли, при котором высокая смешиваемость фаз, предсказанная уравнением состояния вблизи критической точки, допускает значительное взаимопроникновение фаз и в конечном итоге может привести к полному исчезновению капли, радиус которой меньше некоторого критическое значение. ^{[ 17 ]} Минимизация воспринимаемых потерь непрерывности на протяжении всего моделирования требует ограничений на параметр «Подвижность», что приводит к тонкому балансу между межфазным размытием из-за конвекции, межфазным восстановлением из-за минимизации свободной энергии (т. е. диффузии на основе подвижности) и взаимопроникновением фаз, что также зависит от по мобильности. В недавнем обзоре альтернативных функций плотности энергии для приложений отслеживания интерфейса была предложена модифицированная форма функции двойного препятствия, которая позволяет избежать явления самопроизвольного сжатия капли и ограничить подвижность. ^{[ 18 ]} со сравнительными результатами, предусматривают ряд эталонных моделирований с использованием функции двойной скважины и метода резкой границы раздела объемов флюида . Предлагаемая реализация имеет вычислительную сложность лишь немного большую, чем у функции двойной ямы, и может оказаться полезной для приложений отслеживания границ раздела модели фазового поля, где продолжительность/характер моделируемых явлений вызывает проблемы непрерывности фазы (т.е. небольшие капли , расширенное моделирование, несколько интерфейсов и т. д.).

Четкий интерфейсный предел уравнений фазового поля

Модель фазового поля может быть построена для целенаправленного воспроизведения заданной динамики межфазного слоя, представленной четкой моделью межфазного интерфейса. В таком случае должен быть установлен резкий предел интерфейса (т.е. предел, когда ширина интерфейса стремится к нулю) предлагаемого набора уравнений фазового поля. Этот предел обычно принимается путем асимптотического разложения полей модели по степеням ширины границы раздела. $\varepsilon$ . Эти расширения выполняются как в межфазной области (внутреннее расширение), так и в объеме (внешнее расширение), а затем асимптотически согласовываются по порядку. В результате получается уравнение в частных производных для диффузионного поля и ряд граничных условий на границе раздела, которые должны соответствовать модели острого интерфейса и сравнение которых с ней дает значения параметров модели фазового поля.

В то время как в ранних моделях фазового поля подобные разложения проводились до низшего порядка в $\varepsilon$ только в более поздних моделях используется асимптотика более высокого порядка (пределы тонкого интерфейса), чтобы отменить нежелательные побочные эффекты или включить в модель новую физику. Например, эта методика позволила отменить кинетические эффекты, ^{[ 15 ]} рассматривать случаи с неравной диффузией по фазам, ^{[ 19 ]} моделировать вязкую аппликатуру ^{[ 2 ]} и двухфазные течения Навье–Стокса, ^{[ 20 ]} включить в модель колебания, ^{[ 21 ]} и т. д.

Модели многофазного поля

В моделях многофазного поля микроструктура описывается набором параметров порядка, каждый из которых связан с определенной фазой или кристаллографической ориентацией. Эта модель в основном используется для фазовых превращений в твердом состоянии, при которых развивается несколько зерен (например, рост зерен , рекристаллизация или превращение первого порядка, такое как аустенит в феррит в ферритных сплавах). Помимо описания нескольких зерен в микроструктуре, модели многофазного поля особенно позволяют учитывать множество термодинамических фаз, встречающихся, например, в технических марках сплавов. ^{[ 22 ]}

Модели фазового поля на графах

Многие результаты для моделей континуального фазового поля имеют дискретные аналоги для графов, просто заменяя исчисление исчислением на графах .

Моделирование фазового поля в механике разрушения

Разрушение твердых тел часто анализируется численно в контексте конечных элементов с использованием дискретных или диффузных представлений трещин. Подходы, использующие представление конечных элементов, часто используют сильные разрывы, встроенные на внутриэлементном уровне, и часто требуют дополнительных критериев, основанных, например, на напряжениях, плотности энергии деформации или скоростях выделения энергии или других специальных обработках, таких как методы виртуального закрытия трещин и перераспределения сетки. для определения путей трещин. Напротив, подходы, использующие представление диффузной трещины, сохраняют непрерывность поля смещений, такие как модели сплошного повреждения и теории разрушения фазового поля. Последнее восходит к переформулировке принципа Гриффита в вариационной форме и имеет сходство с моделями повреждения с градиентным усилением. Возможно, наиболее привлекательной характеристикой подходов к разрушению с использованием фазового поля является то, что зарождение трещин и траектории трещин автоматически определяются из задачи минимизации, которая объединяет энергии упругости и разрушения. Во многих ситуациях зарождение трещин можно правильно объяснить, прослеживая ветви критических точек, связанных с упругими растворами, до тех пор, пока они не потеряют устойчивость. В частности, модели разрушения с фазовым полем могут допускать зародышеобразование, даже если плотность энергии упругой деформации пространственно постоянна. ^{[ 23 ]} Ограничением этого подхода является то, что зарождение основано на плотности энергии деформации, а не на напряжении. Альтернативная точка зрения, основанная на введении движущей силы нуклеации, направлена на решение этой проблемы. ^{[ 24 ]}

Модели фазового поля для коллективной миграции клеток

Группа биологических клеток может сложным образом передвигаться за счет потребления аденозинтрифосфата . Взаимодействия между клетками, такие как сплоченность или несколько химических сигналов, могут вызывать скоординированное движение. Это явление называется «коллективной миграцией клеток». Теоретической моделью этих явлений является модель фазового поля. ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]} и включает фазовое поле для каждого вида клеток и дополнительные переменные поля, такие как концентрация хемотаксического агента. Такую модель можно использовать для таких явлений, как рак, заживление ран, морфогенез и явления эктоплазмы .

Программное обеспечение

PACE3D – Параллельные алгоритмы эволюции кристаллов в 3D – это пакет параллельного моделирования фазового поля, включающий многофазные многокомпонентные преобразования, крупномасштабные зерновые структуры и взаимодействие с потоком жидкости, упругие, пластические и магнитные взаимодействия. Он разработан в Университете прикладных наук Карлсруэ и Технологическом институте Карлсруэ .
Проект мезомасштабного моделирования микроструктуры (MMSP) представляет собой набор классов C++ для моделирования микроструктуры на основе сетки.
Программное обеспечение для моделирования эволюции MICRostructure (MICRESS) представляет собой многокомпонентный пакет для моделирования многофазных полей, связанный с термодинамическими и кинетическими базами данных. Он разработан и поддерживается ACCESS eV.
MOOSE среда конечных элементов на C++ с открытым исходным кодом — массово-параллельная мультифизическая и поддержкой моделирования фазового поля, разработанная в Национальной лаборатории Айдахо.
PhasePot — это инструмент моделирования микроструктуры на базе Windows, использующий комбинацию моделей фазового поля и моделей Монте-Карло Поттса.
OpenPhase — это программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования формирования микроструктуры в системах, претерпевающих фазовое превращение первого порядка, на основе модели многофазного поля.
mef90/vDef — это симулятор разрушения с открытым исходным кодом и вариационным фазовым полем, основанный на теории, разработанной в. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}
MicroSim — это программный стек, состоящий из кодов фазового поля, обеспечивающих гибкость дискретизации, моделей, а также высокопроизводительного вычислительного оборудования (ЦП/ГП), на котором они могут выполняться.
PRISMS-PF — это программа конечных элементов с массовым параллелизмом для проведения фазового поля и других связанных симуляций эволюции микроструктуры. ^{[ 27 ]} Он основан на библиотеке конечных элементов Deal.II и разработан и поддерживается Центром PRISMS Мичиганского университета.

Ссылки

^ Беттингер, В.Дж.; Уоррен, Дж.А.; Беккерманн, К .; Карма, А. (2002). «Моделирование затвердевания в фазовом поле». Ежегодный обзор исследований материалов . 32 : 163–194. дои : 10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803 .
^ Jump up to: ^а ^б Фолч, Р.; Казадемунт, Дж.; Эрнандес-Мачадо, А.; Рамирес-Писцина, Л. (1999). «Модель фазового поля для течений Хеле-Шоу с произвольным контрастом вязкости. II. Численное исследование». Физический обзор E . 60 (2): 1734–40. arXiv : cond-mat/9903173 . Бибкод : 1999PhRvE..60.1734F . дои : 10.1103/PhysRevE.60.1734 . ПМИД 11969955 . S2CID 8488585 .
^ Jump up to: ^а ^б Бурден, Б.; Франкфорт, Джорджия; Мариго, Дж.Дж. (апрель 2000 г.). «Численные эксперименты по пересмотру хрупкого разрушения». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (4): 797–826. Бибкод : 2000JMPSo..48..797B . дои : 10.1016/S0022-5096(99)00028-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Бурден, Блез (2007). «Численная реализация вариационной формулировки квазистатического хрупкого разрушения» . Интерфейсы и свободные границы . 9 (3): 411–430. дои : 10.4171/IFB/171 . ISSN 1463-9963 .
^ Jump up to: ^а ^б Бурден, Блез; Франкфорт, Жиль А.; Мариго, Жан-Жак (апрель 2008 г.). «Вариационный подход к разрушению». Журнал эластичности . 91 (1–3): 5–148. дои : 10.1007/s10659-007-9107-3 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120498253 .
^ Карма, Ален; Кесслер, Дэвид; Левин, Герберт (2001). «Модель фазового поля динамического разрушения режима III». Письма о физических отзывах . 87 (4): 045501. arXiv : cond-mat/0105034 . Бибкод : 2001PhRvL..87d5501K . doi : 10.1103/PhysRevLett.87.045501 . ПМИД 11461627 . S2CID 42931658 .
^ Мартинес-Панеда, Эмилио; Голахмар, Алиреза; Ньордсон, Кристиан (2018). «Формулировка фазового поля для водородного крекинга». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 342 : 742–761. arXiv : 1808.03264 . Бибкод : 2018CMAME.342..742M . дои : 10.1016/j.cma.2018.07.021 . S2CID 52360579 .
^ Бибен, Тьерри; Касснер, Клаус; Мисбах, Чауки (2005). «Фазовый подход к трехмерной динамике пузырьков». Физический обзор E . 72 (4): 041921. Бибкод : 2005PhRvE..72d1921B . дои : 10.1103/PhysRevE.72.041921 . ПМИД 16383434 .
^ Ашур, Мохаммед; Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2021). «Изогеометрический анализ задачи оптимизации морфологической эволюции везикул в электрических полях с ограничениями по фазовому полю». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 377 . Elsevier BV: 113669. Бибкод : 2021CMAME.377k3669A . дои : 10.1016/j.cma.2021.113669 . ISSN 0045-7825 . S2CID 233580102 .
^ Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2022). «Изогеометрический анализ гидродинамики везикул с использованием подхода монолитного фазового поля». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 388 . Elsevier BV: 114191. Бибкод : 2022CMAME.388k4191V . дои : 10.1016/j.cma.2021.114191 . ISSN 0045-7825 . S2CID 240657318 .
^ Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2019). «Изогеометрический анализ моделей фазового поля геометрических УЧП и УЧП высокого порядка на стационарных и развивающихся поверхностях». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 351 . Эльзевир Б.В.: 599–642. Бибкод : 2019CMAME.351..599V . дои : 10.1016/j.cma.2019.03.043 . ISSN 0045-7825 . S2CID 145903238 .
^ GJ Fix, в «Задачи со свободными границами: теория и приложения», под ред. А. Фазано и М. Примичерио, с. 580, Питмэн (Бостон, 1983).
^ Лангер, Дж. С. (1986). «Модели формирования закономерностей при фазовых переходах первого рода». Направления физики конденсированного состояния . Серия по направлениям физики конденсированного состояния. Том. 1. Сингапур: World Scientific. стр. 165–186. Бибкод : 1986dcmp.book..165L . дои : 10.1142/9789814415309_0005 . ISBN 978-9971-978-42-6 .
^ Лангер, Дж. С. (1980). «Нестабильности и формирование структуры при росте кристаллов». Обзоры современной физики . 52 (1): 1–28. Бибкод : 1980РвМП...52....1Л . дои : 10.1103/RevModPhys.52.1 .
^ Jump up to: ^а ^б Карма, Ален; Раппель, Воутер-Ян (1998). «Количественное фазовое моделирование роста дендритов в двух и трех измерениях». Физический обзор E . 57 (4): 4323. Бибкод : 1998PhRvE..57.4323K . дои : 10.1103/PhysRevE.57.4323 .
^ Хоэнберг, П.; Гальперин, Б. (1977). «Теория динамических критических явлений». Обзоры современной физики . 49 (3): 435. Бибкод : 1977РвМП...49..435H . дои : 10.1103/RevModPhys.49.435 . S2CID 122636335 .
^ Юэ, Пэнтао; Чжоу, Чуньфэн; Фэн, Джеймс Дж. (2007). «Спонтанное сжатие капель и сохранение массы в моделировании фазового поля». Журнал вычислительной физики . 223 (1): 1–9. Бибкод : 2007JCoPh.223....1Y . CiteSeerX 10.1.1.583.2109 . дои : 10.1016/j.jcp.2006.11.020 .
^ Дональдсон, А.А.; Кирпалани, Д.М.; Макчи, А. (2011). «Отслеживание диффузной границы раздела несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фаз за счет выбора плотности свободной энергии» . Международный журнал многофазного потока . 37 (7): 777. Бибкод : 2011IJMF...37..777D . doi : 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
^ Макфадден, Великобритания; Уилер, А.А.; Андерсон, DM (2000). «Асимптотика тонкого интерфейса для энергетическо-энтропийного подхода к моделям фазового поля с неравной проводимостью». Физика D: Нелинейные явления . 144 (1–2): 154–168. Бибкод : 2000PhyD..144..154M . дои : 10.1016/S0167-2789(00)00064-6 . hdl : 2060/20000014455 . S2CID 119641692 .
^ Жакмин, Дэвид (1999). «Расчет двухфазных потоков Навье – Стокса с использованием моделирования фазового поля». Журнал вычислительной физики . 155 (1): 96–127. Бибкод : 1999JCoPh.155...96J . дои : 10.1006/jcph.1999.6332 .
^ Бенитес, Р.; Рамирес-Писцина, Л. (2005). «Проекция четкого интерфейса модели флуктуирующего фазового поля». Физический обзор E . 71 (6): 061603. arXiv : cond-mat/0409707 . Бибкод : 2005PhRvE..71f1603B . дои : 10.1103/PhysRevE.71.061603 . ПМИД 16089744 . S2CID 28956874 .
^ Шмитц, Г.Дж.; Беттгер, Б.; Эйкен, Дж.; Апель, М.; Виарден, А.; Карре, А.; Лашет, Г. (2011). «Моделирование эволюции микроструктуры технических сплавов на основе фазового поля». Международный журнал достижений в области инженерных наук и прикладной математики . 2 (4): 126. дои : 10.1007/s12572-011-0026-y . S2CID 121915897 .
^ Танне, Э.; Ли, Т.; Бурден, Б.; Мариго, Ж.-Ж.; Маурини, К. (2018). «Зарождение трещин в вариационных моделях фазового поля хрупкого разрушения» (PDF) . Журнал механики и физики твердого тела . 110 : 80–99. Бибкод : 2018JMPSo.110...80T . дои : 10.1016/j.jmps.2017.09.006 . S2CID 20139734 .
^ Кумар, А.; Бурден, Б.; Франкфорт, Джорджия; Лопес-Памис, О. (2020). «Возвращаясь к зародышеобразованию в подходе фазового поля к хрупкому разрушению» . Журнал механики и физики твердого тела . 142 : 104027. Бибкод : 2020JMPSo.14204027K . дои : 10.1016/j.jmps.2020.104027 .
^ Наджем, Сара; Грант, Мартин (9 мая 2016 г.). «Модель фазового поля для коллективной миграции клеток» . Физический обзор E . 93 (5): 052405. Бибкод : 2016PhRvE..93e2405N . дои : 10.1103/PhysRevE.93.052405 . ПМИД 27300922 .
^ «Модель фазового поля для клеточных монослоев: исследование миграции раковых клеток, авторы: Бенуа Палмьери и Мартин Грант | Институт Периметра» . www2.perimeterinstitute.ca . Проверено 5 ноября 2021 г.
^ ДеВитт, С.; Рудрараджу, С.; Монтьель, Д.; Монтьель, Д.; Эндрюс, ВБ; Торнтон, К. (2020). «PRISMS-PF: общая основа моделирования фазового поля с помощью безматричного метода конечных элементов» . npj Компьютерный материал . 6 : 29. Бибкод : 2020npjCM...6...29D . дои : 10.1038/s41524-020-0298-5 .

Дальнейшее чтение

Чен, Лун-Цин (2002). «Модели фазового поля для эволюции микроструктуры». Ежегодный обзор исследований материалов . 32 : 113–140. дои : 10.1146/annurev.matsci.32.112001.132041 .
Моэланс, Неле; Бланпейн, Барт; Воллантс, Патрик (2008). «Введение в фазовое моделирование эволюции микроструктуры». Кальфад . 32 (2): 268. doi : 10.1016/j.calphad.2007.11.003 .
Штайнбах, Инго (2009). «Модели фазового поля в материаловедении». Моделирование и симуляция в материаловедении и инженерии . 17 (7): 073001. Бибкод : 2009MSMSE..17g3001S . дои : 10.1088/0965-0393/17/7/073001 . S2CID 3383625 .
Фрис, Сюзана Г.; Беттгер, Бернд; Эйкен, Джанин; Штайнбах, Инго (2009). «Обновление CALPHAD для моделирования микроструктуры: метод фазового поля». Международный журнал исследования материалов . 100 (2): 128. Бибкод : 2009IJMR..100..128F . дои : 10.3139/146.110013 . S2CID 138203262 .
Цинь, RS; Бхадешиа, Гонконг (2010). «Метод фазового поля» (PDF) . Материаловедение и технологии . 26 (7): 803. Бибкод : 2010MatST..26..803Q . дои : 10.1179/174328409X453190 . S2CID 136124682 .
Дональдсон, А.А.; Кирпалани, Д.М.; Макчи, А. (2011). «Отслеживание диффузной границы раздела несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фаз за счет выбора плотности свободной энергии» . Международный журнал многофазного потока . 37 (7): 777. Бибкод : 2011IJMF...37..777D . doi : 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
Гонсалес-Синка, Р.; Фолч, Р.; Бенитес, Р.; Рамирес-Писцина, Л.; Казадемунт, Дж.; Эрнандес-Мачадо, А. (2003). «Модели фазового поля при формировании межфазных структур вне равновесия». В достижениях в области конденсированных сред и статистической механики, под ред. Э. Корутчева и Р. Куэрно, Nova Science Publishers (Нью-Йорк), стр . 2004 : 203–236. arXiv : cond-mat/0305058 . Бибкод : 2003cond.mat..5058G . обзор моделей фазового поля.
Проватас, Николас; Старейшина, Кен (2010). Методы фазового поля в материаловедении и технике. Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. дои : 10.1002/9783527631520 . ISBN 9783527631520
Штайнбах И.: «Концепция материи квантово-фазового поля: возникающая гравитация в динамической Вселенной», Journal of Nature Research A 72 1 (2017) дои : 10.1515/zna-2016-0270
Шмитц, Г.Дж.: «Комбинированный подход к гравитации, основанный на энтропии и фазовом поле», Entropy 2017 , 19 (4) 151; два : 10.3390/e19040151

[1] Беттингер, В.Дж.; Уоррен, Дж.А.; Беккерманн, К .; Карма, А. (2002). «Моделирование затвердевания в фазовом поле». Ежегодный обзор исследований материалов . 32 : 163–194. дои : 10.1146/annurev.matsci.32.101901.155803 .

[viscous-2] Jump up to: ^а ^б Фолч, Р.; Казадемунт, Дж.; Эрнандес-Мачадо, А.; Рамирес-Писцина, Л. (1999). «Модель фазового поля для течений Хеле-Шоу с произвольным контрастом вязкости. II. Численное исследование». Физический обзор E . 60 (2): 1734–40. arXiv : cond-mat/9903173 . Бибкод : 1999PhRvE..60.1734F . дои : 10.1103/PhysRevE.60.1734 . ПМИД 11969955 . S2CID 8488585 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Бурден, Б.; Франкфорт, Джорджия; Мариго, Дж.Дж. (апрель 2000 г.). «Численные эксперименты по пересмотру хрупкого разрушения». Журнал механики и физики твердого тела . 48 (4): 797–826. Бибкод : 2000JMPSo..48..797B . дои : 10.1016/S0022-5096(99)00028-9 .

[:1-4] Jump up to: ^а ^б Бурден, Блез (2007). «Численная реализация вариационной формулировки квазистатического хрупкого разрушения» . Интерфейсы и свободные границы . 9 (3): 411–430. дои : 10.4171/IFB/171 . ISSN 1463-9963 .

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Бурден, Блез; Франкфорт, Жиль А.; Мариго, Жан-Жак (апрель 2008 г.). «Вариационный подход к разрушению». Журнал эластичности . 91 (1–3): 5–148. дои : 10.1007/s10659-007-9107-3 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120498253 .

[6] Карма, Ален; Кесслер, Дэвид; Левин, Герберт (2001). «Модель фазового поля динамического разрушения режима III». Письма о физических отзывах . 87 (4): 045501. arXiv : cond-mat/0105034 . Бибкод : 2001PhRvL..87d5501K . doi : 10.1103/PhysRevLett.87.045501 . ПМИД 11461627 . S2CID 42931658 .

[7] Мартинес-Панеда, Эмилио; Голахмар, Алиреза; Ньордсон, Кристиан (2018). «Формулировка фазового поля для водородного крекинга». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 342 : 742–761. arXiv : 1808.03264 . Бибкод : 2018CMAME.342..742M . дои : 10.1016/j.cma.2018.07.021 . S2CID 52360579 .

[8] Бибен, Тьерри; Касснер, Клаус; Мисбах, Чауки (2005). «Фазовый подход к трехмерной динамике пузырьков». Физический обзор E . 72 (4): 041921. Бибкод : 2005PhRvE..72d1921B . дои : 10.1103/PhysRevE.72.041921 . ПМИД 16383434 .

[Ashour_Valizadeh_Rabczuk_2021_p=113669-9] Ашур, Мохаммед; Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2021). «Изогеометрический анализ задачи оптимизации морфологической эволюции везикул в электрических полях с ограничениями по фазовому полю». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 377 . Elsevier BV: 113669. Бибкод : 2021CMAME.377k3669A . дои : 10.1016/j.cma.2021.113669 . ISSN 0045-7825 . S2CID 233580102 .

[Valizadeh_Rabczuk_2022_p=114191-10] Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2022). «Изогеометрический анализ гидродинамики везикул с использованием подхода монолитного фазового поля». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 388 . Elsevier BV: 114191. Бибкод : 2022CMAME.388k4191V . дои : 10.1016/j.cma.2021.114191 . ISSN 0045-7825 . S2CID 240657318 .

[Valizadeh_Rabczuk_2019_pp._599–642-11] Вализаде, Навид; Рабчук, Тимон (2019). «Изогеометрический анализ моделей фазового поля геометрических УЧП и УЧП высокого порядка на стационарных и развивающихся поверхностях». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 351 . Эльзевир Б.В.: 599–642. Бибкод : 2019CMAME.351..599V . дои : 10.1016/j.cma.2019.03.043 . ISSN 0045-7825 . S2CID 145903238 .

[12] GJ Fix, в «Задачи со свободными границами: теория и приложения», под ред. А. Фазано и М. Примичерио, с. 580, Питмэн (Бостон, 1983).

[13] Лангер, Дж. С. (1986). «Модели формирования закономерностей при фазовых переходах первого рода». Направления физики конденсированного состояния . Серия по направлениям физики конденсированного состояния. Том. 1. Сингапур: World Scientific. стр. 165–186. Бибкод : 1986dcmp.book..165L . дои : 10.1142/9789814415309_0005 . ISBN 978-9971-978-42-6 .

[14] Лангер, Дж. С. (1980). «Нестабильности и формирование структуры при росте кристаллов». Обзоры современной физики . 52 (1): 1–28. Бибкод : 1980РвМП...52....1Л . дои : 10.1103/RevModPhys.52.1 .

[thin-15] Jump up to: ^а ^б Карма, Ален; Раппель, Воутер-Ян (1998). «Количественное фазовое моделирование роста дендритов в двух и трех измерениях». Физический обзор E . 57 (4): 4323. Бибкод : 1998PhRvE..57.4323K . дои : 10.1103/PhysRevE.57.4323 .

[16] Хоэнберг, П.; Гальперин, Б. (1977). «Теория динамических критических явлений». Обзоры современной физики . 49 (3): 435. Бибкод : 1977РвМП...49..435H . дои : 10.1103/RevModPhys.49.435 . S2CID 122636335 .

[17] Юэ, Пэнтао; Чжоу, Чуньфэн; Фэн, Джеймс Дж. (2007). «Спонтанное сжатие капель и сохранение массы в моделировании фазового поля». Журнал вычислительной физики . 223 (1): 1–9. Бибкод : 2007JCoPh.223....1Y . CiteSeerX 10.1.1.583.2109 . дои : 10.1016/j.jcp.2006.11.020 .

[18] Дональдсон, А.А.; Кирпалани, Д.М.; Макчи, А. (2011). «Отслеживание диффузной границы раздела несмешивающихся жидкостей: улучшение непрерывности фаз за счет выбора плотности свободной энергии» . Международный журнал многофазного потока . 37 (7): 777. Бибкод : 2011IJMF...37..777D . doi : 10.1016/j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .

[19] Макфадден, Великобритания; Уилер, А.А.; Андерсон, DM (2000). «Асимптотика тонкого интерфейса для энергетическо-энтропийного подхода к моделям фазового поля с неравной проводимостью». Физика D: Нелинейные явления . 144 (1–2): 154–168. Бибкод : 2000PhyD..144..154M . дои : 10.1016/S0167-2789(00)00064-6 . hdl : 2060/20000014455 . S2CID 119641692 .

[20] Жакмин, Дэвид (1999). «Расчет двухфазных потоков Навье – Стокса с использованием моделирования фазового поля». Журнал вычислительной физики . 155 (1): 96–127. Бибкод : 1999JCoPh.155...96J . дои : 10.1006/jcph.1999.6332 .

[21] Бенитес, Р.; Рамирес-Писцина, Л. (2005). «Проекция четкого интерфейса модели флуктуирующего фазового поля». Физический обзор E . 71 (6): 061603. arXiv : cond-mat/0409707 . Бибкод : 2005PhRvE..71f1603B . дои : 10.1103/PhysRevE.71.061603 . ПМИД 16089744 . S2CID 28956874 .

[technical-22] Шмитц, Г.Дж.; Беттгер, Б.; Эйкен, Дж.; Апель, М.; Виарден, А.; Карре, А.; Лашет, Г. (2011). «Моделирование эволюции микроструктуры технических сплавов на основе фазового поля». Международный журнал достижений в области инженерных наук и прикладной математики . 2 (4): 126. дои : 10.1007/s12572-011-0026-y . S2CID 121915897 .

[23] Танне, Э.; Ли, Т.; Бурден, Б.; Мариго, Ж.-Ж.; Маурини, К. (2018). «Зарождение трещин в вариационных моделях фазового поля хрупкого разрушения» (PDF) . Журнал механики и физики твердого тела . 110 : 80–99. Бибкод : 2018JMPSo.110...80T . дои : 10.1016/j.jmps.2017.09.006 . S2CID 20139734 .

[24] Кумар, А.; Бурден, Б.; Франкфорт, Джорджия; Лопес-Памис, О. (2020). «Возвращаясь к зародышеобразованию в подходе фазового поля к хрупкому разрушению» . Журнал механики и физики твердого тела . 142 : 104027. Бибкод : 2020JMPSo.14204027K . дои : 10.1016/j.jmps.2020.104027 .

[25] Наджем, Сара; Грант, Мартин (9 мая 2016 г.). «Модель фазового поля для коллективной миграции клеток» . Физический обзор E . 93 (5): 052405. Бибкод : 2016PhRvE..93e2405N . дои : 10.1103/PhysRevE.93.052405 . ПМИД 27300922 .

[26] «Модель фазового поля для клеточных монослоев: исследование миграции раковых клеток, авторы: Бенуа Палмьери и Мартин Грант | Институт Периметра» . www2.perimeterinstitute.ca . Проверено 5 ноября 2021 г.

[27] ДеВитт, С.; Рудрараджу, С.; Монтьель, Д.; Монтьель, Д.; Эндрюс, ВБ; Торнтон, К. (2020). «PRISMS-PF: общая основа моделирования фазового поля с помощью безматричного метода конечных элементов» . npj Компьютерный материал . 6 : 29. Бибкод : 2020npjCM...6...29D . дои : 10.1038/s41524-020-0298-5 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]