Нестабильность Саффмана – Тейлора

Пример вязкой аппликатуры в ячейке Хеле-Шоу.

Нестабильность Саффмана -Тейлора , также известная как вязкая аппликатура , представляет собой образование структур на морфологически нестабильной границе раздела между двумя жидкостями в пористой среде, математически описанное Филипом Саффманом и Дж.И. Тейлором в статье 1958 года. Такая ситуация чаще всего встречается при процессах дренажа через такие среды, как почвы. Это происходит при впрыскивании менее вязкой жидкости, вытесняющей более вязкую жидкость; в обратной ситуации, когда более вязкий вытесняет другой, интерфейс устойчив и неустойчивости не наблюдается. По сути, тот же эффект возникает под действием силы тяжести (без инжекции), если граница раздела горизонтальна и разделяет две жидкости разной плотности, причем более тяжелая из них находится над другой: это известно как неустойчивость Рэлея-Тейлора . В прямоугольной конфигурации система развивается до тех пор, пока не образуется один палец (палец Саффмана-Тейлора), тогда как в радиальной конфигурации узор растет, образуя пальцы путем последовательного разделения кончиков.

Большинство экспериментальных исследований вязкой аппликатуры было проведено на ячейках Хеле-Шоу , которые состоят из двух близко расположенных параллельных листов стекла, содержащих вязкую жидкость. Двумя наиболее распространенными конфигурациями являются конфигурация канала, при которой менее вязкая жидкость вводится в один конец канала, и радиальная конфигурация, при которой менее вязкая жидкость впрыскивается в центр ячейки. Нестабильность, аналогичная вязкой аппликатуре, также может возникать в биологических системах самостоятельно.

Вывод для плоского интерфейса

Простейший случай нестабильности возникает на плоской границе раздела внутри пористой среды или ячейки Хеле-Шоу и рассматривался Саффманом и Тейлором. но и ранее других авторов. Жидкость вязкости $\mu _{1}$ ездит в $x$-направление в жидкость другой вязкости $\mu _{2}$ с некоторой скоростью $V$. Обозначая проницаемость пористой среды постоянной, изотропной, $\Pi$, закон Дарси дает невозмущенные поля давления в двух жидкостях $i=1,\,2$ быть $$p_{i}^{(0)}=p_{\text{int}}-{\frac {V\mu _{i}}{\Pi }}x,$$где $p_{\text{int}}$ – давление на плоской границе раздела, работающее в системе отсчёта, где эта граница мгновенно определяется выражением $x=0$. Возмущение этого интерфейса $x=\eta _{0}\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}$ (раскладываясь на нормальные моды в $x-y$ самолет и взяв $\left|\eta _{0}\right|\ll 1$), поля давления становятся $$p_{i}=p_{i}^{(0)}+{\tilde {p}}_{i}\left(x\right)\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}.$$Вследствие несжимаемости потока и закона Дарси поля давления должны быть гармоническими , что в сочетании с требованием затухания возмущения по закону $x\to \pm \infty$, исправляет ${\tilde {p}}_{1}={\tilde {p}}_{1}e^{kx}$ и ${\tilde {p}}_{2}={\tilde {p}}_{2}e^{-kx}$, с константами ${\tilde {p}}$ определяется непрерывностью давления. При линеаризации кинематическое граничное условие на границе раздела (скорость жидкости в $x$ направление должно соответствовать скорости границы раздела жидкости) в сочетании с законом Дарси дает $$-{\frac {\Pi }{\mu _{i}}}\left.{\frac {\partial {\tilde {p}}_{i}}{\partial x}}\right|_{x=0}=\sigma \eta _{0},$$и таким образом, что ${\tilde {p}}_{1}=-{\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{1}}{\Pi k}}$ и ${\tilde {p}}_{2}={\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{2}}{\Pi k}}$. Согласование полей давления на границе раздела дает $$-V\mu _{1}-{\frac {\sigma \mu _{1}}{k}}=-V\mu _{2}+{\frac {\sigma \mu _{2}}{k}},$$и так $\sigma =kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)/\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)$, что приводит к росту возмущения при $\mu _{2}>\mu _{1}$ - т.е. когда закачиваемая жидкость менее вязкая, чем окружающая жидкость. В этом базовом случае есть проблемы: а именно, что наиболее нестабильная мода имеет бесконечное волновое число. $k$ и растет с бесконечно быстрой скоростью, которую можно исправить введением поверхностного натяжения (который обеспечивает условие скачка давления на границе раздела жидкости посредством уравнения Юнга – Лапласа ), что приводит к изменению скорости роста до

$$\sigma ={\frac {kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)-\gamma H_{f}k^{3}}{\mu _{1}+\mu _{2}}},$$

с поверхностным натяжением $\gamma$ и $H_{f}$ средняя кривизна . Это подавляет возмущения малой длины волны (с большим волновым числом), и мы ожидаем увидеть нестабильности с волновым числом $k$ близко к значению $k$ что приводит к максимальному значению $\sigma$; в этом случае с поверхностным натяжением существует единственное максимальное значение.

В радиальной геометрии

Неустойчивость Саффмана-Тейлора обычно рассматривается в осесимметричном контексте, в отличие от простого плоского случая, полученного выше. Механизмы неустойчивости в этом случае остаются прежними, а выбор наиболее нестабильного волнового числа в этом случае соответствует заданному числу пальцев (целому числу).

См. также

• Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца
• Закон Дарси