Нестабильность Рэлея – Тейлора

Гидродинамическое моделирование одного «пальца» неустойчивости Рэлея – Тейлора. Обратите внимание на формирование неустойчивостей Кельвина – Гельмгольца на втором и последующих показанных снимках (начиная первоначально с уровня $y=0$), а также формирование «шапки гриба» на более позднем этапе в третьем и четвертом кадре последовательности.

очевидны пальцы нестабильности RT В Крабовидной туманности

Нестабильность Рэлея -Тейлора , или нестабильность RT (в честь лорда Рэлея и Дж. Тейлора ), представляет собой нестабильность границы раздела между двумя жидкостями различной плотности , которая возникает, когда более легкая жидкость выталкивает более тяжелую жидкость. Примеры включают поведение воды, взвешенной над нефтью под действием силы тяжести Земли . грибовидные облака, подобные облакам, образующимся при извержениях вулканов и ядерных взрывах в атмосфере , взрывы сверхновых , при которых расширяющийся газ ядра ускоряется до более плотного оболочечного газа, нестабильности в плазменных термоядерных реакторах и инерционный термоядерный синтез.

Вода, взвешенная на поверхности нефти, является повседневным примером нестабильности Рэлея-Тейлора, и ее можно смоделировать двумя полностью плоскопараллельными слоями несмешивающейся жидкости, причем более плотная жидкость находится поверх менее плотной, и оба подвержены гравитации Земли. Равновесие и нарушениям границы раздела: если пакет более тяжелой жидкости смещается вниз, а такой же объем более легкой жидкости вытесняется вверх, то здесь неустойчиво к любым возмущениям потенциальная энергия конфигурации оказывается ниже исходного состояния. Таким образом, возмущение будет расти и приводить к дальнейшему высвобождению потенциальной энергии , поскольку более плотный материал движется вниз под действием (эффективного) гравитационного поля, а менее плотный материал еще больше смещается вверх. Такова была установка, изученная лордом Рэлеем. Важным открытием Г.И. Тейлора было осознание того, что эта ситуация эквивалентна ситуации, когда жидкости ускоряются , когда менее плотная жидкость ускоряется в более плотную жидкость. Это происходит глубоко под водой на поверхности расширяющегося пузыря и при ядерном взрыве.

По мере развития РТ-неустойчивости первоначальные возмущения переходят из фазы линейного роста в фазу нелинейного роста, в конечном итоге развивая «шлейфы», текущие вверх (в смысле гравитационной плавучести), и «шипы», падающие вниз. В линейной фазе движение жидкости может быть близко аппроксимировано линейными уравнениями , а амплитуда возмущений растет экспоненциально со временем. В нелинейной фазе амплитуда возмущений слишком велика для линейного приближения, и нелинейные для описания движений жидкости требуются уравнения. В общем, разница в плотности между жидкостями определяет структуру последующих нелинейных потоков нестабильности RT (при условии, что другие переменные, такие как поверхностное натяжение и вязкость, здесь пренебрежимо малы). Разность плотностей жидкости, деленная на их сумму, определяется как число Этвуда , А. При А, близком к 0, течения неустойчивости РТ принимают форму симметричных «пальцев» жидкости; при А, близком к 1, гораздо более легкая жидкость «ниже» более тяжелой жидкости принимает форму более крупных пузыреобразных шлейфов.

Этот процесс очевиден не только на многих земных примерах, от соляных куполов до погодных инверсий , но также в астрофизике и электрогидродинамике . Например, структура нестабильности RT очевидна в Крабовидной туманности , в которой расширяющаяся пульсарная ветровая туманность, питаемая Крабовидным пульсаром, подметает материал, выброшенный в результате взрыва сверхновой 1000 лет назад. RT-нестабильность также недавно была обнаружена во внешней атмосфере Солнца, или солнечной короне , когда относительно плотный солнечный протуберанец перекрывает менее плотный плазменный пузырь. Последний случай напоминает магнитомодулированные RT-неустойчивости.

Обратите внимание, что RT-неустойчивость не следует путать с неустойчивостью Плато – Рэлея (также известной как неустойчивость Рэлея) жидкой струи. Эта нестабильность, иногда называемая нестабильностью шланга (или пожарного шланга), возникает из-за поверхностного натяжения, которое разрушает цилиндрическую струю на поток капель, имеющих тот же общий объем, но большую площадь поверхности.

Многие люди были свидетелями нестабильности RT, глядя на лавовую лампу , хотя некоторые могут утверждать, что это более точно описано как пример конвекции Рэлея-Бенара из-за активного нагрева слоя жидкости в нижней части лампы.

Стадии развития и возможная эволюция к турбулентному перемешиванию

На этом рисунке представлена ​​эволюция неустойчивости Рэлея-Тейлора из-за возмущений малой длины волны на границе раздела (а), которые перерастают в повсеместные грибовидные шипы (жидкие структуры из тяжелой жидкости в легкую) и пузырьки (жидкие структуры из легкой в ​​тяжелую жидкость) ( б) и эти жидкие структуры взаимодействуют за счет слияния пузырьков и конкуренции (в), в конечном итоге образуя область смешивания (г). Здесь ρ2 представляет собой тяжелую жидкость, а ρ1 представляет собой легкую жидкость. Гравитация действует вниз, и система нестабильна при комнатной температуре.

Эволюция РТИ проходит четыре основных этапа. На первом этапе амплитуды возмущений малы по сравнению с их длинами волн, уравнения движения могут быть линеаризованы, что приводит к экспоненциальному росту неустойчивости. На ранней стадии этой стадии синусоидальное начальное возмущение сохраняет свою синусоидальную форму. Однако после окончания этого первого этапа, когда начинают проявляться нелинейные эффекты, наблюдается начало образования повсеместных грибовидных шипов (жидких структур тяжелой жидкости, перерастающих в легкую жидкость) и пузырей (жидких структур легкая жидкость, превращающаяся в тяжелую жидкость). Рост грибовидных структур продолжается на втором этапе и может быть смоделирован с использованием моделей сопротивления плавучести, что приводит к примерно постоянной во времени скорости роста. На этом этапе нелинейные члены в уравнениях движения больше нельзя игнорировать. Затем на третьем этапе шипы и пузыри начинают взаимодействовать друг с другом. Происходит слияние пузырьков, когда нелинейное взаимодействие связи мод объединяет меньшие пики и пузырьки для создания более крупных. Кроме того, имеет место конкуренция пузырей, когда насытившиеся шипы и пузыри с меньшей длиной волны окутываются более крупными, еще не насытившимися. В конечном итоге это перерастает в область турбулентного перемешивания, которая является четвертой и последней стадией эволюции. Обычно предполагается, что возникающая в конечном итоге область перемешивания является автомодельной и турбулентной, если число Рейнольдса достаточно велико.

Анализ линейной устойчивости

Базовое состояние неустойчивости Рэлея – Тейлора. Гравитация направлена ​​вниз.

Невязкая двумерная неустойчивость Рэлея - Тейлора (RT) обеспечивает отличный трамплин для математического изучения устойчивости из-за простой природы основного состояния. Это состояние равновесия, которое существует до того, как в систему добавляется какое-либо возмущение, и описывается полем средней скорости. $U(x,z)=W(x,z)=0,\,$ где гравитационное поле ${\textbf {g}}=-g{\hat {\textbf {z}}}.\,$ Интерфейс на $z=0\,$ разделяет жидкости различной плотности $\rho _{G}\,$ в верхней области и $\rho _{L}\,$ в нижнем регионе. В этом разделе показано, что когда тяжелая жидкость находится сверху, рост малого возмущения на границе раздела является экспоненциальным и происходит со скоростью

$$\exp(\gamma \,t)\;,\qquad {\text{with}}\quad \gamma ={\sqrt {{\mathcal {A}}g\alpha }}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{\text{heavy}}-\rho _{\text{light}}}{\rho _{\text{heavy}}+\rho _{\text{light}}}},\,$$

где $\gamma \,$ - временной темп роста, $\alpha \,$ - пространственное волновое число и ${\mathcal {A}}\,$ это число Этвуда .

показывать

Подробности анализа линейной устойчивости. Аналогичный вывод появляется в Chandrasekhar 1981 , §92, стр. 433–435.

The perturbation introduced to the system is described by a velocity field of infinitesimally small amplitude, $(u'(x,z,t),w'(x,z,t)).\,$ Because the fluid is assumed incompressible, this velocity field has the streamfunction representation

$${\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,$$

where the subscripts indicate partial derivatives. Moreover, in an initially stationary incompressible fluid, there is no vorticity, and the fluid stays irrotational, hence $\nabla \times {\textbf {u}}'=0\,$. In the streamfunction representation, $\nabla ^{2}\psi =0.\,$ Next, because of the translational invariance of the system in the x-direction, it is possible to make the ansatz

$$\psi \left(x,z,t\right)=e^{i\alpha \left(x-ct\right)}\Psi \left(z\right),\,$$

where $\alpha \,$ is a spatial wavenumber. Thus, the problem reduces to solving the equation

$$\left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{j}=0,\,\,\,\ D={\frac {d}{dz}},\,\,\,\ j=L,G.\,$$

The domain of the problem is the following: the fluid with label 'L' lives in the region $-\infty <z\leq 0\,$, while the fluid with the label 'G' lives in the upper half-plane $0\leq z<\infty \,$. To specify the solution fully, it is necessary to fix conditions at the boundaries and interface. This determines the wave speed c, which in turn determines the stability properties of the system.

The first of these conditions is provided by details at the boundary. The perturbation velocities $w'_{i}\,$ should satisfy a no-flux condition, so that fluid does not leak out at the boundaries $z=\pm \infty .\,$ Thus, $w_{L}'=0\,$ on $z=-\infty \,$, and $w_{G}'=0\,$ on $z=\infty \,$. In terms of the streamfunction, this is

$$\Psi _{L}\left(-\infty \right)=0,\qquad \Psi _{G}\left(\infty \right)=0.\,$$

The other three conditions are provided by details at the interface $z=\eta \left(x,t\right)\,$.

Continuity of vertical velocity: At $z=\eta$, the vertical velocities match, $w'_{L}=w'_{G}\,$. Using the stream function representation, this gives

$$\Psi _{L}\left(\eta \right)=\Psi _{G}\left(\eta \right).\,$$

Expanding about $z=0\,$ gives

$$\Psi _{L}\left(0\right)=\Psi _{G}\left(0\right)+{\text{H.O.T.}},\,$$

where H.O.T. means 'higher-order terms'. This equation is the required interfacial condition.

The free-surface condition: At the free surface $z=\eta \left(x,t\right)\,$, the kinematic condition holds:

$${\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,$$

Linearizing, this is simply

$${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,$$

where the velocity $w'\left(\eta \right)\,$ is linearized on to the surface $z=0\,$. Using the normal-mode and streamfunction representations, this condition is $c\eta =\Psi \,$, the second interfacial condition.

Pressure relation across the interface: For the case with surface tension, the pressure difference over the interface at $z=\eta$ is given by the Young–Laplace equation:

$$p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \kappa ,\,$$

where σ is the surface tension and κ is the curvature of the interface, which in a linear approximation is

$$\kappa =\nabla ^{2}\eta =\eta _{xx}.\,$$

Thus,

$$p_{G}\left(z=\eta \right)-p_{L}\left(z=\eta \right)=\sigma \eta _{xx}.\,$$

However, this condition refers to the total pressure (base+perturbed), thus

$$\left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{xx}.\,$$

(As usual, The perturbed quantities can be linearized onto the surface z=0.) Using hydrostatic balance, in the form

$$P_{L}=-\rho _{L}gz+p_{0},\qquad P_{G}=-\rho _{G}gz+p_{0},\,$$

this becomes

$$p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx},\qquad {\text{on }}z=0.\,$$

The perturbed pressures are evaluated in terms of streamfunctions, using the horizontal momentum equation of the linearised Euler equations for the perturbations, $${\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {\partial p_{i}'}{\partial x}}\,$$ with $i=L,G,\,$ to yield

$$p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,$$

Putting this last equation and the jump condition on $p'_{G}-p'_{L}$ together,

$$c\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{xx}.\,$$

Substituting the second interfacial condition $c\eta =\Psi \,$ and using the normal-mode representation, this relation becomes

$$c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi ,\,$$

where there is no need to label $\Psi \,$ (only its derivatives) because $\Psi _{L}=\Psi _{G}\,$ at $z=0.\,$

Solution

Now that the model of stratified flow has been set up, the solution is at hand. The streamfunction equation $\left(D^{2}-\alpha ^{2}\right)\Psi _{i}=0,\,$ with the boundary conditions $\Psi \left(\pm \infty \right)\,$ has the solution

$$\Psi _{L}=A_{L}e^{\alpha z},\qquad \Psi _{G}=A_{G}e^{-\alpha z}.\,$$

The first interfacial condition states that $\Psi _{L}=\Psi _{G}\,$ at $z=0\,$, which forces $A_{L}=A_{G}=A.\,$ The third interfacial condition states that

$$c^{2}\left(\rho _{G}D\Psi _{G}-\rho _{L}D\Psi _{L}\right)=g\Psi \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}\Psi .\,$$

Plugging the solution into this equation gives the relation

$$Ac^{2}\alpha \left(-\rho _{G}-\rho _{L}\right)=Ag\left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)-\sigma \alpha ^{2}A.\,$$

The A cancels from both sides and we are left with

$$c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}}+{\frac {\sigma \alpha }{\rho _{L}+\rho _{G}}}.\,$$

To understand the implications of this result in full, it is helpful to consider the case of zero surface tension. Then,

$$c^{2}={\frac {g}{\alpha }}{\frac {\rho _{L}-\rho _{G}}{\rho _{L}+\rho _{G}}},\qquad \sigma =0,\,$$

and clearly

• If $\rho _{G}<\rho _{L}\,$, $c^{2}>0\,$ and c is real. This happens when the lighter fluid sits on top;
• If $\rho _{G}>\rho _{L}\,$, $c^{2}<0\,$ and c is purely imaginary. This happens when the heavier fluid sits on top.

Now, when the heavier fluid sits on top, $c^{2}<0\,$, and

$$c=\pm i{\sqrt {\frac {g{\mathcal {A}}}{\alpha }}},\qquad {\mathcal {A}}={\frac {\rho _{G}-\rho _{L}}{\rho _{G}+\rho _{L}}},\,$$

where ${\mathcal {A}}\,$ is the Atwood number. By taking the positive solution, we see that the solution has the form

$$\Psi \left(x,z,t\right)=Ae^{-\alpha |z|}\exp \left[i\alpha \left(x-ct\right)\right]=A\exp \left(\alpha {\sqrt {\frac {g{\tilde {\mathcal {A}}}}{\alpha }}}t\right)\exp \left(i\alpha x-\alpha |z|\right)\,$$

and this is associated to the interface position η by: $c\eta =\Psi .\,$ Now define $B=A/c.\,$

Временная эволюция повышения уровня свободного интерфейса $z=\eta (x,t),\,$ первоначально в $\eta (x,0)=\Re \left\{B\,\exp \left(i\alpha x\right)\right\},\,$ дается:

$$\eta =\Re \left\{B\,\exp \left({\sqrt {{\mathcal {A}}g\alpha }}\,t\right)\exp \left(i\alpha x\right)\right\}\,$$

который растет экспоненциально во времени. Здесь B — амплитуда начального возмущения, а $\Re \left\{\cdot \right\}\,$ обозначает действительную часть комплексного выражения в скобках.

В общем случае условием линейной неустойчивости является то, что мнимая часть «скорости волны» c положительна. Наконец, восстановление поверхностного натяжения заставляет c ² менее негативен и поэтому стабилизируется. Действительно, существует диапазон коротких волн, для которого поверхностное натяжение стабилизирует систему и препятствует формированию неустойчивости.

Когда двум слоям жидкости разрешено иметь относительную скорость, неустойчивость обобщается до неустойчивости Кельвина-Гельмгольца-Рэлея-Тейлора, которая включает в себя как неустойчивость Кельвина-Гельмгольца , так и неустойчивость Рэлея-Тейлора как частные случаи. Недавно было обнаружено, что уравнения жидкости, управляющие линейной динамикой системы, допускают симметрию времени четности , а неустойчивость Кельвина – Гельмгольца – Рэлея – Тейлора возникает тогда и только тогда, когда симметрия времени четности нарушается спонтанно.

Объяснение завихренности

Визуализация нестабильной конфигурации неустойчивости Рэлея-Тейлора, где бароклинный крутящий момент на границе раздела создает завихренность и индуцирует поле скорости, которое увеличивает бароклинный крутящий момент. Здесь ω — завихренность, p — давление, ρ — плотность, u — скорость и g — гравитация. Толстые круглые стрелки представляют поле скоростей, создаваемое вихрем.

Нестабильность RT можно рассматривать как результат бароклинного крутящего момента , создаваемого несовпадением градиентов давления и плотности на возмущенной границе раздела, как это описывается двумерным уравнением невязкой завихренности : ${\frac {D\omega }{Dt}}={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p$, где ω — завихренность, ρ — плотность и p — давление. В этом случае преобладающий градиент давления является гидростатическим , возникающим в результате ускорения.

В нестабильной конфигурации для определенной гармонической составляющей начального возмущения крутящий момент на границе раздела создает завихренность, которая будет иметь тенденцию увеличивать рассогласование градиента векторов . Это, в свою очередь, создает дополнительную завихренность, приводящую к дальнейшему смещению. Эта концепция изображена на рисунке, где видно, что два встречно вращающихся вихря имеют поля скоростей, которые суммируются на пике и впадине возмущенной границы раздела. В стабильной конфигурации завихренность и, следовательно, индуцированное поле скоростей будут иметь направление, которое уменьшает несоосность и, следовательно, стабилизирует систему.

Гораздо более простое объяснение основных физических особенностей неустойчивости Рэлея-Тейлора можно найти в работе [20].

Поведение в позднее время

Анализ предыдущего раздела не работает, когда амплитуда возмущения велика. Тогда рост становится нелинейным, поскольку пики и пузыри нестабильности запутываются и сворачиваются в вихри. Тогда, как показано на рисунке, для описания системы требуется численное моделирование всей проблемы.

См. также

• Нестабильность Саффмана – Тейлора
• Richtmyer–Meshkov instability
• Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца
• Грибное облако
• Неустойчивость Плато – Рэлея
• Соль аппликатура
• Гидродинамическая устойчивость
• Вихревая улица Кармана
• Разрыв жидкой нити
• Конвекция Рэлея – Бенара

Примечания

20.^ AR Piriz, OD Cortazar, JJ López Cela и NA Tahir, "Нестабильность Рэлея-Тейлора", Am J. Phys. 74 , 1095(2006)

Ссылки

Оригинальные научные статьи

• Рэлей, Лорд (Джон Уильям Стратт) (1883). «Исследование характера равновесия несжимаемой тяжелой жидкости переменной плотности» . Труды Лондонского математического общества . 14 : 170–177. дои : 10.1112/plms/s1-14.1.170 . (Оригинал статьи доступен по адресу: https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Rayleigh/rayleigh1883.pdf .)
• Тейлор, сэр Джеффри Ингрэм (1950). «Неустойчивость поверхностей жидкостей при ускорении в направлении, перпендикулярном их плоскостям». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 201 (1065): 192–196. Бибкод : 1950RSPSA.201..192T . дои : 10.1098/rspa.1950.0052 . S2CID   98831861 .

Другой

• Чандрасекар, Субрахманян (1981). Гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость . Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-64071-6 .
• Дразин, П.Г. (2002). Введение в гидродинамическую устойчивость . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-00965-2 . xvii+238 страниц.
• Дразин, П.Г.; Рид, Вашингтон (2004). Гидродинамическая устойчивость (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-52541-1 . 626 страниц.

Внешние ссылки

• Java-демонстрация нестабильности RT в жидкостях
• Реальные изображения и видео пальцев RT
• Эксперименты по нестабильности Рэлея – Тейлора в Университете Аризоны.
• плазменный эксперимент по нестабильности Рэлея – Тейлора в Калифорнийском технологическом институте