Ациклическая модель

В алгебраической топологии дисциплине , математической , теорема об ациклических моделях может использоваться, чтобы показать, что две гомологии изоморфны теории . Теорему Сэмюэл разработали топологи Эйленберг и Сондерс Маклейн . Они обнаружили, что, когда топологи писали доказательства эквивалентности различных теорий гомологии, в процессах было много общего. Затем Эйленберг и Маклейн открыли теорему, обобщающую этот процесс.

Его можно использовать для доказательства теоремы Эйленберга – Зильбера ; это приводит к идее модельной категории .

Формулировка теоремы

Позволять ${\mathcal {K}}$ быть произвольной категорией и ${\mathcal {C}}(R)$ – категория цепных комплексов $R$- модули над некоторым кольцом $R$. Позволять $F,V:{\mathcal {K}}\to {\mathcal {C}}(R)$ быть ковариантными функторами такими, что:

• $F_{i}=V_{i}=0$ для $i<0$.
• Есть ${\mathcal {M}}_{k}\subseteq {\mathcal {K}}$ для $k\geq 0$ такой, что $F_{k}$ имеет основу в ${\mathcal {M}}_{k}$, так $F$ является свободным функтором .
• $V$ является $k$- и $(k+1)$-ацикличны у этих моделей, а это значит, что $H_{k}(V(M))=0$ для всех $k>0$ и все $M\in {\mathcal {M}}_{k}\cup {\mathcal {M}}_{k+1}$.

Тогда справедливы следующие утверждения:

• Каждое естественное преобразование $\varphi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)$ вызывает естественную цепную карту $f:F\to V$.
• Если $\varphi ,\psi :H_{0}(F)\to H_{0}(V)$ являются естественными преобразованиями, $f,g:F\to V$ являются естественными цепными картами, как и раньше, и $\varphi ^{M}=\psi ^{M}$ для всех моделей $M\in {\mathcal {M}}_{0}$, то существует естественная гомотопия цепи между $f$ и $g$.
• В частности, карта цепи $f$ уникальна с точностью до гомотопии естественной цепи .

Обобщения

Проективные и ациклические комплексы

То, что приведено выше, является одной из самых ранних версий теоремы. Другойверсия - это та, которая говорит, что если $K$ представляет собой комплекс изпроективы в абелевой категории и $L$ является ациклическимсложная в этой категории, то любая карта $K_{0}\to L_{0}$ распространяется на цепную карту $K\to L$, уникальный догомотопия.

Это сводится почти к приведенной выше теореме, если использовать категорию функтора ${\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}$ как абелева категория. Свободные функторы — это проективные объекты этой категории. Морфизмы в категории функторов являются естественными преобразованиями, поэтому все построенные цепные отображения и гомотопии являются естественными. Разница в том, что в приведенной выше версии $V$ ацикличность является более сильным предположением, чем ацикличность только для определенных объектов.

С другой стороны, приведенная выше версия почти подразумевает эту версию, позволяя ${\mathcal {K}}$ категория только с одним объектом. Тогда свободный функтор $F$ по сути, это просто свободный (и, следовательно, проективный) модуль. $V$ ацикличность моделей (она всего одна) означает не что иное, как то, что комплекс $V$ является ациклическим.

Ациклические классы

Существует великая теорема, объединяющая оба вышеизложенных. Позволять ${\mathcal {A}}$ быть абелевой категорией (например, ${\mathcal {C}}(R)$ или ${\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}$). Класс $\Gamma$ цепных комплексов над ${\mathcal {A}}$ будет называться ациклическим классом при условии, что:

• Комплекс 0 находится в $\Gamma$.
• Комплекс $C$ принадлежит $\Gamma$ тогда и только тогда, когда приостановление $C$ делает.
• Если комплексы $K$ и $L$ гомотопны и $K\in \Gamma$, затем $L\in \Gamma$.
• Каждый комплекс в $\Gamma$ является ациклическим.
• Если $D$ представляет собой двойной комплекс, все строки которого находятся в $\Gamma$, то полный комплекс $D$ принадлежит $\Gamma$.

Есть три естественных примера ациклических классов, хотя, несомненно, существуют и другие. Первый — это гомотопически сжимаемые комплексы. Второй — ациклические комплексы. В категориях функторов (например, категория всех функторов от топологических пространств до абелевых групп) существует класс комплексов, которые сжимаемы на каждом объекте, но в которых сжатия не могут быть заданы естественными преобразованиями. Другой пример снова касается категорий функторов, но на этот раз комплексы ацикличны только для определенных объектов.

Позволять $\Sigma$ обозначают класс цепных отображений между комплексами, конус отображения которых принадлежит $\Gamma$. Хотя $\Sigma$ не обязательно имеет исчисление правых или левых дробей, он имеет более слабые свойства наличия гомотопических классов как левых, так и правых дробей, которые позволяют сформировать класс $\Sigma ^{-1}C$ получено путем инвертирования стрелок в $\Sigma$.

Позволять $G$ быть расширенным эндофунктором на $C$, то есть происходит естественное преобразование $\epsilon :G\to Id$ (тождественный функтор на $C$). Мы говорим, что цепной комплекс $K$ является $G$- презентабельно , если для каждого $n$, цепной комплекс

$\cdots K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}\to \cdots \to K_{n}$

принадлежит $\Gamma$. Граничный оператор имеет вид

$\sum (-1)^{i}K_{n}G^{i}\epsilon G^{m-i}:K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}$.

Мы говорим, что цепной комплексный функтор $L$ является $G$- ациклический , если комплекс дополненной цепи $L\to H_{0}(L)\to 0$ принадлежит $\Gamma$.

Теорема . Позволять $\Gamma$ быть ациклическим классом и $\Sigma$ соответствующий класс стрелок в категории цепных комплексов. Предположим, что $K$ является $G$-презентабельный и $L$ является $G$-ациклический. Тогда любое естественное преобразование $f_{0}:H_{0}(K)\to H_{0}(L)$ распространяется в категории $\Sigma ^{-1}(C)$ к естественному преобразованию цепных функторов $f:K\to L$ и этоуникальный в $\Sigma ^{-1}(C)$ с точностью до цепных гомотопий. Если предположить, кроме того, что $L$ является $G$-презентабельный, что $K$ является $G$-ациклический, и это $f_{0}$ является изоморфизмом, то $f$ является гомотопической эквивалентностью.

Пример

Вот пример этой последней теоремы в действии. Позволять $X$ — категория триангулируемых пространств и $C$ — категория абелевых групповых функторов на $X$. Позволять $K$ быть комплексным функтором сингулярной цепи и $L$ — комплексный функтор симплициальной цепи . Позволять $E:X\to X$ быть функтором, который присваивает каждому пространству $X$ пространство

$\sum _{n\geq 0}\sum _{{\textrm {Hom}}(\Delta _{n},X)}\Delta _{n}$.

Здесь, $\Delta _{n}$ это $n$-симплекс, и этот функтор присваивает $X$ сумма как можно большего количества копий каждого $n$-симплекс, так как есть карты $\Delta _{n}\to X$. Тогда пусть $G$ определяться $G(C)=CE$. Есть явное увеличение $EX\to X$ и это побуждает человека $G$. Можно показать, что оба $K$ и $L$ оба $G$-презентабельный и $G$-ациклический (доказательство того, что $L$ презентабельно, а ацикличность не совсем прямолинейна и использует обход через симплициальное подразделение, которое также можно решить с помощью приведенной выше теоремы). Класс $\Gamma$ — класс гомологических эквивалентностей. Довольно очевидно, что $H_{0}(K)\simeq H_{0}(L)$ и таким образом мы заключаем, что сингулярные и симплициальные гомологии изоморфны на $X$.

Есть много других примеров как в алгебре, так и в топологии, некоторые из которых описаны в

Ссылки

• Шон, Р. «Ациклические модели и вырезание». Учеб. амер. Математика. Соц. 59 (1) (1976), стр. 167–168.