Кривизна меры

В математике кривизна меры, определенная на евклидовой плоскости R ² представляет собой количественную оценку того, насколько «искривлено» «распределение массы» меры. Это связано с понятиями кривизны в геометрии . В представленной ниже форме концепция была введена в 1995 году математиком Марком С. Мельниковым ; соответственно, ее можно назвать кривизной Мельникова или кривизной Менгера-Мельникова . Мельников и Вердера (1995) установили мощную связь между кривизной меры и ядром Коши .

Определение

Пусть µ — борелевская мера на евклидовой плоскости R ² . Учитывая три (различные) точки x , y и z в R ² , пусть R ( x , y , z ) будет радиусом евклидовой окружности , соединяющей все три из них, или +∞, если они коллинеарны . Кривизна Менгера c ( x , y , z ) определяется как

$c(x,y,z)={\frac {1}{R(x,y,z)}},$

с естественным соглашением, что c ( x , y , z ) = 0, если x , y и z коллинеарны. Также принято расширять это определение, устанавливая c ( x , y , z ) = 0, если любая из точек x , y и z совпадают. Кривизна Менгера -Мельникова c ² ( µ ) из µ определяется как

$c^{2}(\mu )=\iiint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2}\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z).$

В более общем смысле, для α ≥ 0 определите c ^{2 а} ( µ ) по

$c^{2\alpha }(\mu )=\iiint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2\alpha }\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z).$

Можно также сослаться на кривизну ц в данной точке х :

$c^{2}(\mu ;x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}c(x,y,z)^{2}\,\mathrm {d} \mu (y)\mathrm {d} \mu (z),$

в этом случае

$c^{2}(\mu )=\int _{\mathbb {R} ^{2}}c^{2}(\mu ;x)\,\mathrm {d} \mu (x).$

Примеры

• Тривиальная мера имеет нулевую кривизну.
• Мера Дирака δa _с носителем в любой точке a имеет нулевую кривизну.
• Если µ — любая мера, носитель которой содержится внутри евклидовой прямой L , то µ имеет нулевую кривизну. Например, одномерная мера Лебега на любой прямой (или отрезке) имеет нулевую кривизну.
• Мера Лебега, определенная на всем пространстве R ² имеет бесконечную кривизну.
• Если µ — равномерная одномерная мера Хаусдорфа на окружности Cr _или радиусе r , то µ имеет кривизну 1/ r .

Связь с ядром Коши

В этом разделе Р. ² рассматривается как плоскость C. комплексная Мельников и Вердера (1995) показали точную связь ограниченности ядра Коши с кривизной мер. Они доказали, что если существует некоторая константа C ₀ такая, что

$\mu (B_{r}(x))\leq C_{0}r$

для всех x в C и всех r > 0 существует другая константа C , зависящая только от C0 _, такая, что

$\left|6\int _{\mathbb {C} }|{\mathcal {C}}_{\varepsilon }(\mu )(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)-c_{\varepsilon }^{2}(\mu )\right|\leq C\|\mu \|$

для всех ε > 0. Здесь c _ε обозначает усеченную версию кривизны Менгера-Мельникова, в которой интеграл берется только по тем точкам x , y и z таким, что

$|x-y|>\varepsilon ;$

$|y-z|>\varepsilon ;$

$|z-x|>\varepsilon .$

Сходным образом, ${\mathcal {C}}_{\varepsilon }$ обозначает усеченный интегральный оператор Коши: для меры µ на ​​C и точки z в C определим

${\mathcal {C}}_{\varepsilon }(\mu )(z)=\int {\frac {1}{\xi -z}}\,\mathrm {d} \mu (\xi ),$

где интеграл берется по тем точкам ξ в C, где

$|\xi -z|>\varepsilon .$

Ссылки

• Мельников, Марк С. (1995). «Аналитическая способность: дискретный подход и кривизна меры». Математический сборник . 186 (6): 57–76. ISSN   0368-8666 .
• Мельников, Марк С.; Вердера, Джоан (1995). «Геометрическое доказательство L ² ограниченность интеграла Коши на липшицевых графах» . Международные уведомления о математических исследованиях . 1995 (7): 325–331. doi : 10.1155/S1073792895000249 .
• Толса, Ксавье (2000). «Основные значения интеграла Коши и спрямляемости» . Труды Американского математического общества . 128 (7): 2111–2119. дои : 10.1090/S0002-9939-00-05264-3 .