Моя кривизна

В математике тройки кривизна Менгера точек n - мерного евклидова пространства R ^н является обратной окружности величиной радиуса , проходящей через три точки. Он назван в честь австрийско - американского математика Карла Менгера .

Определение

Пусть x , y и z — три точки в R ^н; для простоты предположим на минуту, что все три точки различны и не лежат на одной прямой. Пусть Π ⊆ R ^н — евклидова плоскость, натянутая на x , y и z , и пусть C ⊆ Π — единственная евклидова окружность в Π, проходящая через x , y и z ( окружность описанная x , y и z ). Пусть R радиус C. — Тогда кривизна Менгера c ( x , y , z ) x , y и z определяется формулой

c(x,y,z)={\frac {1}{R}}.

Если три точки лежат на одной прямой , R можно неформально считать +∞, и имеет строгий смысл определить c ( x , y , z ) = 0. Если какие-либо из точек x , y и z совпадают, снова определите с ( Икс , у , z ) знак равно 0.

Используя известную формулу, связывающую длины сторон треугольника с его площадью, следует, что

c(x,y,z)={\frac {1}{R}}={\frac {4A}{|x-y||y-z||z-x|}},

где A обозначает площадь треугольника, охватываемого x , y и z .

Другой способ вычисления кривизны Менгера - это тождество

c(x,y,z)={\frac {2\sin \angle xyz}{|x-z|}}

где $\angle xyz$ — это угол, образованный в углу y треугольника, охватываемого x , y , z .

Кривизну Менгера можно также определить в общем метрическом пространстве . Если X — метрическое пространство и x , y и z — различные точки, пусть f — изометрия из $\{x,y,z\}$ в $\mathbb {R} ^{2}$ . Определим кривизну Менгера этих точек как

c_{X}(x,y,z)=c(f(x),f(y),f(z)).

Обратите внимание, что f не обязательно должен быть определен на всем X , только на {x,y,z} , и значение c _X (x,y,z) не зависит от выбора f .

Исправляемость интегральной кривизны

Кривизну Менгера можно использовать для определения количественных условий наступления $\mathbb {R} ^{n}$ может быть поправимо . Для меры Бореля $\mu$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ определять

c^{p}(\mu )=\int \int \int c(x,y,z)^{p}d\mu (x)d\mu (y)d\mu (z).

Набор Бореля $E\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ исправимо, если $c^{2}(H^{1}|_{E})<\infty$ , где $H^{1}|_{E}$ обозначает одномерную меру Хаусдорфа , ограниченную множеством $E$ . ^[1]

Основная идея этого результата заключается в том, что кривизна Менгера измеряет, насколько прямой является данная тройка точек (меньшая $c(x,y,z)\max\{|x-y|,|y-z|,|z-y|\}$ то есть, чем ближе x, y и z к коллинеарности), и конечная интегральная величина говорит о том, что множество E плоское в большинстве малых масштабов. В частности, если степень в интеграле больше, наш набор более гладкий, чем просто спрямляемый. ^[2]

Позволять $p>3$ , $f:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ быть гомеоморфизмом и $\Gamma =f(S^{1})$ . Затем $f\in C^{1,1-{\frac {3}{p}}}(S^{1})$ если $c^{p}(H^{1}|_{\Gamma })<\infty$ .
Если $0<H^{s}(E)<\infty$ где $0<s\leq {\frac {1}{2}}$ , и $c^{2s}(H^{s}|_{E})<\infty$ , затем $E$ спрямляемо в том смысле, что существует счетное множество $C^{1}$ кривые $\Gamma _{i}$ такой, что $H^{s}(E\backslash \bigcup \Gamma _{i})=0$ . Результат не верен для ${\frac {1}{2}}<s<1$ , и $c^{2s}(H^{s}|_{E})=\infty$ для $1<s\leq n$ .: ^[3]

В обратную сторону есть результат Питера Джонса: ^[4]

Если $E\subseteq \Gamma \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ , $H^{1}(E)>0$ , и $\Gamma$ является исправимым. Тогда существует положительная мера Радона $\mu$ поддерживается на $E$ удовлетворяющий $\mu B(x,r)\leq r$ для всех $x\in E$ и $r>0$ такой, что $c^{2}(\mu )<\infty$ (в частности, этой мерой является мера Фростмана, связанная с E). Более того, если $H^{1}(B(x,r)\cap \Gamma )\leq Cr$ для некоторой константы C и все $x\in \Gamma$ и r>0 , тогда $c^{2}(H^{1}|_{E})<\infty$ . Этот последний результат следует из теоремы коммивояжера аналитика .

Аналогичные результаты справедливы и в общих метрических пространствах: ^[5]

См. также

Кривизна меры Менгера-Мельникова

Внешние ссылки

Леймари, Ф. (сентябрь 2003 г.). «Заметки о кривизне Менгера» . Архивировано из оригинала 21 августа 2007 г. Проверено 19 ноября 2007 г.

Ссылки

^ Леже, Дж. (1999). «Кривизна Менгера и спрямляемость» (PDF) . Анналы математики . 149 (3): 831–869. arXiv : математика/9905212 . дои : 10.2307/121074 . JSTOR 121074 . S2CID 216176 .
^ Павел Стшелецкий; Марта Шуманска; Хейко из Мозеля. «Эффекты регуляризации и самоизбежания интегральной кривизны Менгера». Институт математики .
^ Юн Линь и Пертти Маттила (2000). «Кривизна Менгера и $C^{1}$ регулярность фракталов» (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 129 (6): 1755–1762. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05814-7 .
^ Пажо, Х. (2000). Аналитическая способность, спрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши . Спрингер. ISBN 3-540-00001-1 .
^ Шул, Раанан (2007). «Регулярные по Альфорсу кривые в метрических пространствах» (PDF) . Анналы Академии финикийских наук . 32 : 437–460.

Толса, Ксавье (2000). «Основные значения интеграла Коши и спрямляемости» . Учеб. амер. Математика. Соц. 128 (7): 2111–2119. дои : 10.1090/S0002-9939-00-05264-3 .

[1] Леже, Дж. (1999). «Кривизна Менгера и спрямляемость» (PDF) . Анналы математики . 149 (3): 831–869. arXiv : математика/9905212 . дои : 10.2307/121074 . JSTOR 121074 . S2CID 216176 .

[2] Павел Стшелецкий; Марта Шуманска; Хейко из Мозеля. «Эффекты регуляризации и самоизбежания интегральной кривизны Менгера». Институт математики .

[3] Юн Линь и Пертти Маттила (2000). «Кривизна Менгера и $C^{1}$ регулярность фракталов» (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 129 (6): 1755–1762. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05814-7 .

[4] Пажо, Х. (2000). Аналитическая способность, спрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши . Спрингер. ISBN 3-540-00001-1 .

[5] Шул, Раанан (2007). «Регулярные по Альфорсу кривые в метрических пространствах» (PDF) . Анналы Академии финикийских наук . 32 : 437–460.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]