Меры полового диморфизма

Хотя вопрос о половом диморфизме сам по себе не является спорным, критерии его оценки сильно различаются. Большинство мер используются в предположении, что случайная величина рассматривается распределения вероятностей , поэтому необходимо учитывать ряд показателей полового диморфизма, . В этом обзоре обсуждается касающихся как их определения, так и закона вероятности, на котором они основаны. Большинство из них представляют собой выборочные функции или статистики , которые учитывают только частичные характеристики, например среднее или ожидаемое значение соответствующего распределения. Кроме того, наиболее широко используемая мера не имеет логической поддержки.

Введение

Широко известно, что половой диморфизм является важной составляющей морфологической изменчивости биологических популяций (см., например, Klein, Cruz-Uribe, 1984; Окснард, 1987 г.; Келли, 1993 г. ). У высших приматов половой диморфизм связан также с некоторыми аспектами социальной организации и поведения (Александр и др. , 1979; Клаттон-Брок, 1985 г. ). Так, было замечено, что наиболее диморфные виды склонны к полигинии и социальной организации, основанной на доминировании самцов, тогда как у менее диморфных видов моногамия более распространены и семейные группы. Флигл и др. (1980) и Кей (1982), с другой стороны, предположили, что поведение вымерших видов можно сделать на основе полового диморфизма и, например, Плавкан и ван Шайк (1992) считают, что половые различия в размерах среди видов приматов отражают процессы экологической и социальной природы. Некоторые упоминания о половом диморфизме человеческих популяций можно увидеть у Лавджоя (1981): Боргоньини Тарли и Репетто (1986) и Каппельман (1996).

Эти биологические факты не кажутся спорными. Однако они основаны на ряде различных показателей или индексов полового диморфизма. Половой диморфизм в большинстве работ измеряется в предположении, что случайная величина учитывается . Это означает, что существует закон, который объясняет поведение всего набора значений, составляющих область определения случайной величины, закон, который называется функцией распределения . Поскольку оба исследования полового диморфизма направлены на установление различий в некоторой случайной величине между полами, а поведение случайной величины объясняется ее функцией распределения, из этого следует, что исследование полового диморфизма должно быть эквивалентно исследованию, основной целью которого является определить, в какой степени две функции распределения – по одной на пол – перекрываются (см. заштрихованную область на рис. 1, где два нормальных распределения представлены ).

Рис. 1. Два нормальных распределения.

Меры, основанные на выборочных средних

учет индексов, основанных на выборочных средних В Borgognini Tarli and Repetto (1986) можно увидеть . Пожалуй, наиболее широко используемым является частное

${\frac {{\bar {X}}_{m}}{{\bar {X}}_{f}}},$

где ${\bar {X}}_{m}$ — выборочное среднее для одного пола (например, мужского) и ${\bar {X}}_{f}$ соответствующее среднее значение другого. Тем не менее, например,

$\operatorname {log} {\frac {{\bar {X}}_{m}}{{\bar {X}}_{f}}},$ $100{\frac {{\bar {X}}_{m}-{\bar {X}}_{f}}{{\bar {X}}_{f}}},$ $100{\frac {{\bar {X}}_{m}-{\bar {X}}_{f}}{{\bar {X}}_{f}+{\bar {X}}_{f}}},$

также были предложены.

Просматривая работы, в которых используются эти индексы, читатель упускает какие-либо ссылки на их параметрический аналог (см. ссылку выше). Другими словами, если мы предположим, что рассматривается частное двух выборочных средних, невозможно найти работу, в которой для того, чтобы сделать выводы , способ, которым частное используется в качестве оценки точечной

${\frac {\mu _{m}}{\mu _{f}}},$

обсуждается.

Предполагая, что целью анализа являются различия между популяциями, при использовании коэффициентов выборочных средних важно отметить, что единственной особенностью этих популяций, которая кажется интересной, является средний параметр. Однако популяция также имеет дисперсию, а также форму, которая определяется ее функцией распределения (обратите внимание, что, как правило, эта функция зависит от таких параметров, как средние значения или дисперсии).

Измерения, основанные на чем-то большем, чем выборочные средства

Марини и др. (1999) показали, что при анализе полового диморфизма полезно учитывать что-то иное, чем выборочные средства. Возможно, основная причина в том, что внутриполовая изменчивость влияет как на проявление диморфизма, так и на его интерпретацию.

Нормальные популяции

Примеры функций

Вполне вероятно, что среди индексов этого типа чаще всего используется известная статистика с Стьюдента t- распределением , см., например, Green, 1989. Марини и др. (1999) -статистики Стьюдента заметили, что изменчивость среди женщин, по-видимому, ниже, чем среди мужчин, поэтому представляется целесообразным использовать форму t со степенями свободы, заданными приближением Уэлча-Саттертуэйта,

$T={\frac {{\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}-(\mu _{1}-\mu _{2})}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}:t_{\nu },$

$\nu ={\frac {({\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}})^{2}}{{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}(n_{2}-1)}}}},$

где $S_{i}^{2},n_{i},i=1,2$ — выборочные дисперсии и размеры выборки соответственно.

Важно отметить следующее:

• когда эта статистика принимается во внимание в исследованиях полового диморфизма, участвуют две нормальные популяции. Из этих популяций извлекаются две случайные выборки, каждая из которых соответствует полу, и такие выборки являются независимыми.
• Когда рассматриваются выводы, с помощью этой статистики мы проверяем, что разница между двумя математическими ожиданиями является гипотетической величиной, скажем, $\mu _{0}=\mu _{1}-\mu _{2}.$

Однако при анализе полового диморфизма это не представляется разумным (см. Ipiña and Durand, 2000). ), чтобы предположить, что были выбраны две независимые случайные выборки. Скорее наоборот, при выборке мы выбираем несколько случайных наблюдений, составляющих одну выборку, которые иногда соответствуют одному полу, а иногда другому.

Учет параметров

Чакраборти и Маджумдер (1982) предложили индекс полового диморфизма, который представляет собой область перекрытия, а точнее, его дополнение - двух нормальных плотности функций (см. рис. 1). Следовательно, это функция четырех параметров. $\mu _{i},\sigma _{i}^{2},i=1,2$ (ожидаемые значения и дисперсии соответственно) и учитывает форму двух нормалей. Инман и Брэдли (1989) обсуждали эту область перекрытия как меру оценки расстояния между двумя нормальными плотностями.

Что касается выводов, Чакраборти и Маджумдер предложили выборочную функцию, построенную с учетом теоремы Лапласа-ДеМуавра (применение к биномиальным законам центральной предельной теоремы ). По мнению этих авторов, дисперсия такой статистики составляет:

$\operatorname {var} ({\widehat {D}})={\frac {{\widehat {p}}_{m}(1-{\widehat {p}}_{m})}{n_{m}}}+{\frac {{\widehat {p}}_{f}(1-{\widehat {p}}_{f})}{n_{f}}},$

где ${\widehat {D}}$ это статистика, и ${\widehat {p}}_{i},n_{i},i=m,f$ (мужской, женский) обозначают оценку вероятности наблюдения за измерением особи $i$ пол в некотором интервале реальной линии и размер выборки i- го пола соответственно. Обратите внимание, что это означает, что необходимо учитывать две независимые случайные величины с биномиальными распределениями. Одной из таких переменных является количество особей f пола в выборке размером $n_{f}$ состоит из особей пола f , что кажется бессмысленным.

Модели смеси

Такие авторы, как Джозефсон и др. (1996) полагают, что два пола, подлежащие анализу, образуют единую популяцию с вероятностным поведением, называемую смесью двух нормальных популяций . Таким образом, если $X$ - это случайная величина, которая обычно распределяется среди женщин в популяции, и аналогичным образом эта переменная обычно распределяется среди мужчин в популяции, тогда,

$f(x)=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}f_{i}(x),-\infty <x<\infty ,$

– плотность смеси с двумя нормальными компонентами, где $f_{i},\pi _{i},i=1,2$ — нормальная плотность и пропорция смешивания представителей обоих полов соответственно. См. пример на рис. 2, где более толстая кривая представляет смесь, а более тонкие кривые — $\pi _{i}f_{i}$ функции.

Рис. 2. Смесь двух нормальных компонентов.

Именно из смоделированной таким образом популяции можно выбрать случайную выборку, состоящую из лиц обоих полов. Обратите внимание, что к этому образцу нельзя применять испытания, основанные на нормальном предположении, поскольку в смеси двух нормальных компонентов $\pi _{i}f_{i}$ это не нормальная плотность.

Джозефсон и др. ограничились рассмотрением двух нормальных смесей с одинаковыми дисперсиями компонентов и пропорциями смешивания. Как следствие, их предложение измерить половой диморфизм представляет собой разницу между средними параметрами двух нормальных людей. При оценке этих центральных параметров процедура, использованная Джозефсоном и др. это один из моментов Пирсона . В настоящее время алгоритм максимизации ожиданий EM (см. McLachlan and Basford, 1988) ) и Монте-Карло для цепи Маркова MCMC байесовскую процедуру (см. Gilks ​​et al. , 1996). ) являются двумя конкурентами в оценке параметров смеси.

Возможно, основное различие между рассмотрением двух независимых нормальных популяций и модели смеси двух нормальных компонентов заключается в пропорциях смешивания, что то же самое, что сказать, что в модели двух независимых нормальных популяций взаимодействие между полами игнорируется. Это, в свою очередь, означает, что вероятностные свойства изменяются (см. Ipiña and Durand, 2000). ).

Мера МИ

Ипинья и Дюран (2000, 2004 ) предложили меру полового диморфизма, названную $MI$. Это предложение вычисляет область перекрытия между $\pi _{1}f_{1}$ и $\pi _{2}f_{2}$ функции, которые представляют вклад каждого пола в смесь двух нормальных компонентов (см. заштрихованную область на рис. 2). Таким образом, $MI$ можно написать,

$MI=\int _{R}\operatorname {min} [\pi _{1}f_{1}(x),(1-\pi _{1})f_{2}(x)]\,dx,$

$R$ это настоящая линия.

Чем меньше область перекрытия, тем больше разрыв между двумя функциями. $\pi _{1}f_{1}$ и $\pi _{2}f_{2}$, и в этом случае половой диморфизм больше. Очевидно, этот показатель является функцией пяти параметров, характеризующих смесь двух нормальных компонентов. $(\mu _{i},\sigma _{i}^{2},\pi _{1},i=1,2)$. Его диапазон находится в интервале $(0,0.5]$, и заинтересованный читатель может увидеть в работе авторов, предложивших индекс, способ построения интервальной оценки.

Меры, основанные на непараметрических методах

Марини и др. (1999) предложили расстояние Колмогорова-Смирнова как меру полового диморфизма. Авторы используют следующую форму статистики:

$\operatorname {max} _{x}|F_{1}(x)-F_{2}(x)|,$

с $F_{i},i=1,2$ представляют собой выборочные кумулятивные распределения, соответствующие двум независимым случайным выборкам.

Преимущество такого расстояния заключается в том, что оно применимо независимо от формы распределения случайных величин, но при этом оно должно быть непрерывным. Использование этого расстояния предполагает, что задействованы две популяции. Кроме того, расстояние Колмогорова-Смирнова представляет собой выборочную функцию, целью которой является проверка того, что две анализируемые выборки были выбраны из одного распределения. Если принять нулевую гипотезу , то полового диморфизма нет; в противном случае есть.

См. также

• Принцип Бейтмана
• Соотношение цифр
• Гендерные различия
• Половой диморфизм