Групповая структура и аксиома выбора

Эрнст Цермело в 1904 году доказал теорему о хорошем порядке, используя то, что впоследствии стало известно как аксиома выбора .

В математике группа вместе — это множество с бинарной операцией над этим множеством, называемой умножением , которая подчиняется аксиомам группы . Аксиома выбора — это аксиома ZFC теории множеств , которая в одной форме утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено .

В теории множеств ZF , то есть ZFC без аксиомы выбора, следующие утверждения эквивалентны:

• Для каждого непустого множества X существует бинарная операция • такая, что ( X , •) является группой.
• Аксиома выбора верна.

Групповая структура подразумевает аксиому выбора

В этом разделе предполагается, что каждое множество X может быть наделено групповой структурой ( X , •) .

Пусть X — множество. Пусть ( X ) будет числом Хартогса X ℵ . Это наименьшее кардинальное число , такое, что нет вставки из ℵ( X ) в X . Оно существует без предположения аксиомы выбора. Предположим здесь для технической простоты доказательства, что X не имеет порядкового номера . Пусть • обозначает умножение в группе ( X ∪ ℵ( X ), •) .

Для любого x ∈ X существует α ∈ ℵ( X ) такой, что x • α ∈ ℵ( X ) . Предположим, нет. Тогда существует y € X такой, что y • α € X для всех α € ℵ( X ) . Но согласно элементарной теории групп , все y • α различны, поскольку α пробегает ℵ( X ) ( i ). такой y дает инъекцию из ℵ( X ) в X. Таким образом , Это невозможно, поскольку ℵ( X ) — такой кардинал, что никакой инъекции в X не существует.

Теперь определим отображение j пространства X в ℵ( X ) × ℵ( X ), наделенное лексикографическим упорядочением , отправив x ∈ X в наименьшее (α, β) ∈ ℵ( X ) × ℵ( X ) такое, что x • α = β . По приведенным выше рассуждениям отображение j существует и уникально, поскольку уникальны наименьшие элементы подмножеств хорошо упорядоченных множеств. Согласно элементарной теории групп, оно инъективно.

Наконец, определите хороший порядок на X как x < y, если j ( x ) < j ( y ) . Отсюда следует, что любое множество X может быть хорошо упорядочено и, следовательно, выбранная аксиома верна.

Для того чтобы решающее свойство, выраженное в ( i ) выше, выполнялось, и, следовательно, все доказательство, достаточно, чтобы X было сокращающейся магмой , например, квазигруппой . Свойства отмены достаточно, чтобы гарантировать, что все y • α различны.

Аксиома выбора подразумевает групповую структуру

Любое непустое конечное множество имеет групповую структуру как циклическую группу, порожденную любым элементом. В предположении аксиомы выбора каждое бесконечное множество X равномощно | уникальному кардинальному числу Х | что соответствует алефу . Используя аксиому выбора, можно показать, что для любого семейства S множеств | ⋃ С | ≤ | С | × суп { | s | : s ∈ S } ( А ). Более того, по теореме Тарского о выборе , еще одному эквиваленту аксиомы выбора, | Х | ^н = | Х | для всех конечных n ( B ).

Пусть X — бесконечное множество, и пусть обозначает множество всех конечных подмножеств X. F существует естественное умножение • На F . Для f , g ∈ F , пусть f • g = f Δ g , где Δ обозначает симметричную разность . Это превращает ( F , •) в группу с пустым множеством Ø , являющимся единицей, а каждый элемент является его собственным обратным; ж Δ ж знак равно Ø . Ассоциативное ( свойство, т.е. f Δ g ) Δ h = f Δ ( g Δ h ), проверяется с использованием основных свойств объединения и разности множеств . Таким образом, F — группа с умножением ∆ .

Любое множество, которое можно поставить в биекцию с группой, становится группой посредством биекции. Будет показано, что | Х | = | Ф | , и, следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между X и группой ( F , •) . Для n = 0,1,2,... пусть Fn _F — подмножество , состоящее из всех подмножеств мощности точно n . Тогда F — дизъюнктное Fn ​ _{объединение} . Число подмножеств X мощности n не превосходит | Х | ^н потому что каждое подмножество с n элементами является элементом n -кратного декартова произведения X ^н из Х. ​Итак | ж _н | ≤ | Х | ^н = | Х | для всех n ( C ) на ( B ).

Объединив эти результаты, видно, что | Ф | = | ⋃ _{п ∈ ω} F _п | ≤ ℵ ₀ · | Х | = | Х | через ( А ) и ( С ). Кроме того, | Ф | ≥ | Х | , поскольку F содержит все одиночные элементы. Таким образом, | Х | ≤ | Ф | и | Ф | ≤ | Х | , поэтому по теореме Шредера–Бернштейна , | Ф | = | Х | . Это означает именно то, что существует биекция j между X и F . Наконец, для x , y ∈ X определим x • y = j ⁻¹ ( j ( Икс ) Δ j ( y )) . Это превращает ( X , •) в группу. Следовательно, каждое множество допускает групповую структуру.

Набор ZF без групповой структуры.

Существуют модели ZF, в которых аксиома выбора не работает. В такой модели существуют множества, которые не могут быть упорядочены (назовем их «неупорядоченными»). Пусть X — любое такое множество. Теперь рассмотрим множество Y = X ∪ ℵ( X ) . Если бы Y имел групповую структуру, то по конструкции из первого раздела X мог бы быть вполне упорядоченным. не существует групповой структуры Это противоречие показывает, что на множестве Y .

Если множество таково, что его нельзя наделить групповой структурой, то оно обязательно неупорядочиваемо. В противном случае конструкция из второго раздела действительно дает групповую структуру. Однако эти свойства не эквивалентны. А именно, множества, которые не могут быть упорядочены, могут иметь групповую структуру.

Например, если $X$ любое множество, то ${\mathcal {P}}(X)$ имеет групповую структуру с симметричной разностью в качестве групповой операции. Конечно, если $X$ не может быть упорядоченным, то и не может ${\mathcal {P}}(X)$. Одним из интересных примеров множеств, которые не могут нести групповую структуру, являются множества. $X$ со следующими двумя свойствами:

1. $X$ есть бесконечное дедекиндово конечное множество. Другими словами, $X$ не имеет счётного бесконечного подмножества.
2. Если $X$ разбивается на конечные множества, то все из них, за исключением конечного числа, являются одиночными.

Чтобы увидеть, что комбинация этих двух элементов не может иметь групповую структуру, обратите внимание, что любая перестановка такого набора должна иметь только конечные орбиты, и почти все они обязательно являются одиночными, что означает, что большинство элементов не перемещаются перестановкой. Теперь рассмотрим перестановки, заданные формулой $x\mapsto a\cdot x$, для $a$ который не является нейтральным элементом, их бесконечно много $x$ такой, что $a\cdot x=x$, поэтому хотя бы один из них тоже не является нейтральным элементом. Умножение на $x^{-1}$ дает это $a$ на самом деле это элемент тождества, который представляет собой противоречие.

Наличие такого набора $X$ является непротиворечивым, например, приведенным в первой модели Коэна. Удивительно, однако, что того, что множество является бесконечным по Дедекинду, недостаточно, чтобы исключить групповую структуру, поскольку очевидно, что существуют бесконечные по Дедекинду конечные множества с степенными множествами, конечными по Дедекинду.

Ссылки

• Дон, А. ; Кертес, А. (1972). «Некоторые новые алгебраические эквиваленты выбранной аксиомы». Опубл. Математика. Дебрецен . 19 : 339–340.
• Рубин, Герман; Рубин, Жан Э. (июль 1985 г.). Эквиваленты аксиомы выбора II . Северная Голландия/Эльзевир. ISBN  0-444-87708-8 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Коэн, Пол Дж . (1966). Теория множеств и гипотеза континуума . Бенджамин, Нью-Йорк.
• Адкинс; Вайнтрауб (1992). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 136. Спрингер.