Мультикатегория

В математике (особенно в теории категорий ) мультикатегория — это обобщение понятия категории , допускающее морфизмы кратной арности . Если морфизмы в категории рассматривать как аналоги функций , то морфизмы в мультикатегории аналогичны функциям нескольких переменных. Мультикатегории также иногда называют операдами или цветными операдами.

Определение

(Несимметричная) мультикатегория состоит из

коллекция (часто собственный класс ) объектов ;
для каждой конечной последовательности $(X_{i})_{i\in [n]}$ объектов ( $[n]=\{0,1,2,...,n\}$ ) и каждый объект Y , набор морфизмов из $(X_{i})_{i\in n}$ к Y ; и
для каждого объекта X — специальный тождественный морфизм (с n = 1) X в X. из

Кроме того, существуют операции композиции: задана последовательность последовательностей $((X_{ij})_{i\in n_{j}})_{j\in m}$ объектов, последовательность $(Y_{j})_{j\in m}$ объектов и объект Z : если

для каждого $j\in m$ , f _j — морфизм из $(X_{ij})_{i\in n_{j}}$ к Y _j ; и
g является морфизмом из $(Y_{j})_{j\in m}$ тогда З :

тогда существует составной морфизм $g(f_{j})_{j\in m}$ от $(X_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$ до З. Это должно удовлетворять определенным аксиомам:

Если m = 1, Z = Y ₀ и g тождественный морфизм для Y ₀ , то g ( f ₀ ) = f ₀ ;
если для каждого $j\in m$ , n _j = 1, $X_{0j}=Y_{j}$ , а f _j — тождественный морфизм для Y _j , то $g(f_{j})_{j\in m}=g$ ; и
: условие ассоциативности если для каждого $j\in m$ и $i\in n_{j}$ , $e_{ij}$ является морфизмом из $(W_{hij})_{h\in o_{ij}}$ к $X_{ij}$ , затем $g\left(f_{j}(e_{ij})_{i\in n_{j}}\right)_{j\in m}=g(f_{j})_{j\in m}(e_{ij})_{i\in n_{j},j\in m}$ являются тождественными морфизмами из $(W_{hij})_{h\in o_{ij},i\in n_{j},j\in m}$ это З.

Категории

Комкатегория полностью комультикатегория) — это упорядоченное множество O объектов, множество A мультистрелок ( с двумя функциями

$\mathrm {head} :A\rightarrow O,$

$\mathrm {ground} :A\rightarrow O^{\%},$

где О ^% — множество всех конечных упорядоченных последовательностей элементов O . Двойное изображение многострелки f можно резюмировать

$f:\mathrm {head} (f)\Leftarrow \mathrm {ground} (f).$

Комкатегория C также имеет мультипродукт с обычным характером операции композиции. C называется ассоциативным, если существует аксиома многопроизведения относительно этого оператора .

Любая мультикатегория, симметричная или несимметричная, вместе с полным упорядочением набора объектов может быть преобразована в эквивалентную комкатегорию.

Мультипорядок — это комкатегория, удовлетворяющая следующим условиям.

Существует не более одной мультистрелы с заданной головкой и основанием.
Каждый объект x имеет единичную мультистрелку.
Многострелка является единицей, если ее основание имеет один вход.

Мультипорядки являются обобщением частичных порядков (частичных порядков) и были впервые представлены (вскользь) Томом Ленстером. ^[1]

Примеры

Существует мультикатегория, объектами которой являются (маленькие) множества , где морфизм множеств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в множество Y является n -арной функцией ,это функция декартова произведения X ₁ × X ₂ × ... × X _n на Y .

Существует мультикатегория, объектами которой являются векторные пространства (скажем, над рациональными числами ), где морфизм векторных пространств X ₁ , X ₂ , ... и X _n в векторное пространство Y является полилинейным оператором , то есть линейное преобразование тензорного произведения X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n в Y .

В более общем смысле, для любой моноидальной категории C существует мультикатегория, объекты которой являются объектами C , где морфизм C -объектов X ₁ , X ₂ , ... и X _n в C -объект Y является C -морфизм моноидального произведения X ₁ , X ₂ , ... и X _n в Y .

Операда — это мультикатегория с одним уникальным объектом; за исключением вырожденных случаев, такая мультикатегория не происходит из моноидальной категории.

Примеры мультипорядков включают точечные мультимножества (последовательность A262671 в OEIS ), целочисленные разделы (последовательность A063834 в OEIS ) и комбинаторные разделения (последовательность A269134 в OEIS ). Треугольники (или композиции) любого мультипорядка являются морфизмами (не обязательно ассоциативной) категории стягиваний и комкатегории разложений . Категория сжатия для мультипорядка мультиминутных разделов (последовательность A255397 в OEIS ) является простейшей известной категорией мультимножеств. ^[2]

Приложения

Мультикатегории часто ошибочно считают принадлежащими к теории высших категорий , поскольку их первоначальным применением было наблюдение о том, что операторы и тождества, удовлетворяющие высшим категориям, являются объектами и мультистрелками мультикатегории. Изучение n -категорий, в свою очередь, было мотивировано приложениями в алгебраической топологии и попытками описать гомотопическую теорию более высокой размерности многообразий . Однако в основном она выросла из этой мотивации и теперь также считается частью чистой математики. [1]

Соответствие между стягиванием и разложением треугольников в мультипорядке позволяет построить ассоциативную алгебру, называемую ее алгеброй инцидентности . Любой элемент, который не равен нулю на всех единичных стрелках, имеет композиционный обратный, а функция Мёбиуса мультипорядка определяется как композиционный обратный дзета-функции (константа, равная единице) в ее алгебре инцидентности.

История

Мультикатегории были впервые представлены под этим названием Джимом Ламбеком в книге «Дедуктивные системы и категории II» (1969). ^[3] Он упоминает (стр. 108), что ему «сказали, что мультикатегории также изучались [Жаном] Бенабу и [Пьером] Картье», и действительно, Ленстер полагает, что «идея могла прийти в голову любому, кто знал, что такое категория и многолинейная карта была». ^[1]^: 63

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L . , Пример 2.1.7, стр. 37
^ Уайзман, Гас. «Комкатегории и мультизаказы» . Гугл Документы . Проверено 9 мая 2016 г.
^ . Ламбек, Иоахим (1969). «Дедуктивные системы и категории II. Стандартные конструкции и закрытые категории». Конспект лекций по математике . Том. 86. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 76–122. дои : 10.1007/bfb0079385 . ISBN 978-3-540-04605-9 . ISSN 0075-8434 .

Гарнер, Ричард (2008). «Поликатегории через псевдодистрибутивные законы» . Достижения в математике . 218 (3): 781–827. arXiv : math/0606735 . дои : 10.1016/j.aim.2008.02.001 . S2CID 17057235 .

[leinster-1] Перейти обратно: ^а ^б Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L . , Пример 2.1.7, стр. 37

[2] Уайзман, Гас. «Комкатегории и мультизаказы» . Гугл Документы . Проверено 9 мая 2016 г.

[Lambek1969-3] . Ламбек, Иоахим (1969). «Дедуктивные системы и категории II. Стандартные конструкции и закрытые категории». Конспект лекций по математике . Том. 86. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 76–122. дои : 10.1007/bfb0079385 . ISBN 978-3-540-04605-9 . ISSN 0075-8434 .

[1]

[2]

[3]