Gribov ambiguity

В калибровочной теории , особенно в неабелевых глобальные проблемы фиксации калибровки калибровочных теориях, часто встречаются . Калибровочная фиксация означает выбор представителя от каждой калибровочной орбиты , то есть выбор участка расслоения . Пространство представителей является подмногообразием (расслоения в целом) и представляет собой условие фиксации калибровки. В идеале каждая калибровочная орбита будет пересекать это подмногообразие один и только один раз. К сожалению, для неабелевых калибровочных теорий это часто невозможно в глобальном масштабе из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, — это сделать это условие истинным локально. Подмногообразие, фиксирующее калибровку, может вообще не пересекать калибровочную орбиту или пересекать ее более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задается в виде какого-либо дифференциального уравнения, например, что расходимость обращается в нуль (как в калибровке Ландау или Лоренца ). Решения этого уравнения могут в конечном итоге указывать на несколько разделов или, возможно, вообще не указывать их. Это называется Gribov ambiguity (named after Vladimir Gribov ).

Грибовские неоднозначности приводят к непертурбативному нарушению БРСТ- , среди прочего, симметрии.

Способ решения проблемы грибовской неоднозначности состоит в том, чтобы ограничить соответствующие функциональные интегралы одной областью Грибова , граница которой называется горизонтом Грибова .Однако можно показать, что эта проблема не решается даже при сведении региона к первому Грибовскому району . Единственная область, для которой эта неоднозначность разрешена, — это фундаментальная модульная область ( FMR ).

Фон

При выполнении вычислений в калибровочных теориях обычно необходимо выбрать калибровку. Калибровочные степени свободы не имеют никакого прямого физического смысла, но они являются артефактом математического описания, которое мы используем для работы с рассматриваемой теорией. Чтобы получить физические результаты, эти избыточные степени свободы необходимо отбросить подходящим способом.

В абелевой калибровочной теории (т.е. в КЭД ) достаточно просто выбрать калибровку. Популярным является датчик Лоренца. $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$Преимущество которого заключается в том, что оно является лоренц-инвариантным . В неабелевых калибровочных теориях (таких как КХД ) ситуация сложнее из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы.

Формализм Фаддеева-Попова, разработанный Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым , позволяет справиться с выбором калибровки в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева–Попова, который по сути является определителем Якобиана преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля к желаемой калибровке. В так называемой калибровке Ландау $\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0$, этот оператор имеет вид

$\partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\;,$

где ${\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}$ – ковариантная производная в присоединенном представлении. Определитель этого оператора Фаддеева–Попова затем вводится в интеграл по путям с помощью призрачных полей .

Однако этот формализм предполагает, что выбор калибровки (например, $\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0$) уникален — т.е. для каждой физической конфигурации существует ровно один $A_{\mu }^{a}$ что соответствует ему и подчиняется калибровочному условию. Однако в неабелевых калибровочных теориях типа Янга–Миллса это не так для большого класса калибровок: на что впервые указал Грибов.

Gribov's construction

Грибов рассмотрел вопрос о том, сколько различных калибровочных копий этой конфигурации при заданной физической конфигурации подчиняется калибровочному условию Ландау $\partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0$. Никаких конфигураций без представителей неизвестно. Однако вполне возможно, что их будет больше одного.

Рассмотрим два калибровочных поля $A_{\mu }^{a}$ и ${A_{\mu }^{a}}'$и предположим, что они оба подчиняются калибровочному условию Ландау. Если ${A_{\mu }^{a}}'$ является калиброванной копией $A_{\mu }^{a}$, мы бы имели (при условии, что они бесконечно близки друг к другу):

${A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}$

для какой-то функции $\omega ^{b}$. Если оба поля подчиняются калибровочному условию Ландау, мы должны иметь

$\partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}=0\;,$

и, следовательно, оператор Фаддеева–Попова имеет хотя бы одну нулевую моду. Если калибровочное поле бесконечно мало, этот оператор не будет иметь нулевых мод. Набор калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева – Попова имеет свою первую нулевую моду (при старте из начала координат), называется «грибовским горизонтом». Совокупность всех калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева–Попова не имеет нулевых мод (то есть этот оператор положительно определен), называется «первой областью Грибова». $\Omega$.

Если калибровочные поля имеют калибровочные копии, эти поля будут пересчитаны в интеграле по путям. Чтобы противостоять этому пересчету, утверждал Грибов, мы должны ограничить интеграл по пути первой областью Грибова. Для этого он рассмотрел фантомный пропагатор, который представляет собой вакуумное математическое ожидание обратного оператора Фаддеева – Попова. Если этот оператор всегда положительно определен, у распространителя-призрака не может быть полюсов - это называется «условием отсутствия полюсов». В обычной теории возмущений (с использованием обычного формализма Фаддеева–Попова) у пропагатора есть полюс, а это значит, что мы вышли из первой грибовской области и пересчитали некоторые конфигурации.

Выводя пертурбативное выражение для призрака-пропагатора, Грибов находит, что это бесполюсное условие приводит к условию вида

$\langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d}q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,$

где N - количество цветов (которое в КХД равно 3), g - сила калибровочной связи, V - объем пространства-времени (который стремится к бесконечности в большинстве приложений) и d - количество измерений пространства-времени (которое равно 4 в реальном мире). Функционал $\sigma [A]$ является сокращением выражения между угловыми скобками. Чтобы наложить это условие, Грибов предложил ввести в интеграл по путям ступенчатую функцию Хевисайда, содержащую вышеизложенное. Фурье -представление функции Хевисайда:

$H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.$

В этом выражении параметр $\beta$ называется «параметром Грибова». Затем интегрирование по этому параметру Грибова производится методом наискорейшего спуска . Этот метод дает уравнение для параметра Грибова, которое называется уравнением щели. Подстановка решения этого уравнения обратно в интеграл по траекториям дает модифицированную калибровочную теорию.

С учетом модификации, связанной с параметром Грибова, оказывается, что глюонный пропагатор модифицируется до

$D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,$

где $\beta _{0}$ это значение $\beta$ которое решает уравнение зазора. Распространитель призраков также модифицируется и в одноконтурном порядке демонстрирует поведение $\propto 1/k^{4}$.

Акция Грибова-Двадцатых.

Несколько лет спустя Даниэль Цванцигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал другой подход. Вместо того чтобы рассматривать призрак-пропагатор, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева–Попова как пертурбативный ряд по глюонному полю. Это дало определенную функцию, которую он назвал «функцией горизонта», и вакуумное математическое ожидание этой функции горизонта должно быть ограничено не более чем единицей, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова. Это условие можно выразить, введя в интеграл по траекториям функцию горизонта (аналогично тому, как это сделал Грибов) и наложив определенное уравнение щели на энергию вакуума полученной теории. В результате был получен новый интеграл по траекториям с измененным действием, однако нелокальный. В ведущем порядке результаты идентичны ранее найденным Грибовым.

Чтобы было проще справляться с найденным им действием, Цванцигер ввел локализующие поля. Как только действие стало локальным, можно было доказать, что полученная теория перенормируема. - т.е. все бесконечности, генерируемые петлевыми диаграммами, могут быть поглощены путем мультипликативного изменения содержания (константы связи, нормализации поля, параметра Грибова), уже присутствующего в теории, без необходимости дополнительных дополнений.

Кроме того, Цванцигер отметил, что получившийся в результате пропагатор глюона не допускает спектрального представления Келлена-Лемана , что сигнализирует о том, что глюон больше не может быть физической частицей. Это часто интерпретируется как сигнал о ограничении цвета .

Недвижимость первого Грибовского района

Поскольку первая область Грибова играет ключевую роль в разрешении грибовской двусмысленности, она привлекла дополнительное внимание за годы, прошедшие после первой статьи Грибова. Калибровку Ландау можно определить как калибровку, экстремизирующую функционал

$||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.$

Простым экстремумом (максимумом или минимумом) этого функционала является обычная калибровка Ландау. Требование минимума (что эквивалентно требованию, чтобы оператор Фаддеева–Попова был положительным) приводит к попаданию в первую область Грибова.

Однако это условие все еще включает относительные минимумы. Было показано, что внутри первой грибовской области еще существуют грибовские копии, связанные друг с другом топологически тривиальным калибровочным преобразованием. Пространство калибровочных функций, абсолютно минимизирующих функционал $||A||^{2}$ определенный выше, называется «фундаментальной модульной областью». Однако неизвестно, как ограничить интеграл пути этой областью.

Показано, что первая область Грибова ограничена во всех направлениях. так что никакие сколь угодно большие конфигурации поля не учитываются при ограничении интеграла по траектории этой областью. Более того, первая область Грибова выпуклая, и все физические конфигурации имеют внутри себя хотя бы одного представителя.

Более поздние события

В 2013 году было доказано, что два формализма — Грибова и Цванцигера — эквивалентны всем порядкам теории возмущений.

Одной из проблем формализма Грибова – Цванцигера является BRST-симметрии . нарушение Это нарушение можно интерпретировать как нарушение динамической симметрии . Разрушение является «мягким» (т.е. пропорциональным параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), так что перенормируемость еще можно доказать. унитарность Однако все еще остается проблематичной. Однако совсем недавно в литературе появилось утверждение о сохраненном с помощью BRST действии Грибова – Цванцигера.

Долгое время моделирование на решетке , казалось, указывало на то, что модифицированные глюонные и призрачные пропагаторы, предложенные Грибовым и Цванцигером, были правильными. Однако в 2007 году компьютеры стали достаточно мощными, чтобы исследовать область низких импульсов, где пропагаторы наиболее модифицированы, и оказалось, что картина Грибова-Цванцигера неверна. Вместо этого глюонный пропагатор переходит к постоянному значению, когда импульс обращается в ноль, а призрачный пропагатор по-прежнему работает как 1/ k ² при малых импульсах. Это справедливо как для 3-го, так и для 4-го измерений пространства-времени. Было предложено решение этого несоответствия путем добавления к действию Грибова-Цванцигера конденсатов.

Источники

• Капри, Марсио А.Л.; Дюдал, Дэвид; Гимарайнш, Марсело С.; Паларес, Летисия Ф.; Сорелла, Сильвио П. (2013). «Полное доказательство эквивалентности условий отсутствия полюса Грибова и условий горизонта Цванцигера». Физ. Летт. Б. ​ 719 (4–5): 448–453. arXiv : 1212.2419 . Бибкод : 2013PhLB..719..448C . дои : 10.1016/j.physletb.2013.01.039 . S2CID   54216810 .
• Куккьери, Аттилио; Мендес, Тереза ​​(2007). «Что случилось с ИК-глюонами и призраками-пропагаторами в калибровке Ландау? Загадочный ответ огромных решеток». PoS . LAT2007: 297. arXiv : 0710.0412 . Бибкод : 2007slft.confE.297C .
• Делл'Антонио, Джанфаусто; Цванцигер, Дэниел (1989). «Эллипсоидальная граница на грибовском горизонте противоречит пертурбативной ренормгруппе». Ядерная физика Б . 326 (2): 333–350. Бибкод : 1989НуФБ.326..333Д . дои : 10.1016/0550-3213(89)90135-1 .
• Грибов, Владимир Н. (1978). «Квантование неабелевых калибровочных теорий». Ядерная физика Б . 139 (1–2): 1–19. Бибкод : 1978НуФБ.139....1Г . дои : 10.1016/0550-3213(78)90175-X .
• Т. Хайнцль. Гамильтонов подход к задаче Грибова. Nuclear Physics B (Proc.Suppl) 54A (1997) 194-197, arXiv:hep-th/9609055
• Кондо, http://www.icra.it/MG/mg12/talks/sqg5_kondo.pdf (второй слайд)
• Маас, Аксель (2013). «Калибровочные бозоны при нулевой и конечной температуре». Отчеты по физике . 524 (4): 203–300. arXiv : 1106.3942 . Бибкод : 2013ФР...524..203М . дои : 10.1016/j.physrep.2012.11.002 . S2CID   118346148 .
• Певец, Айседор М. (1978). «Некоторые замечания по поводу двусмысленности Грибова» (PDF) . Связь в математической физике . 60 (1): 7–12. Бибкод : 1978CMaPh..60....7S . дои : 10.1007/BF01609471 . S2CID   122903092 .
• ван Баал, Пьер (1992). «Еще (мысли о) копиях Грибова». Нукл. Физ. Б. ​ 369 (1–2): 259–275. Бибкод : 1992НуФБ.369..259В . CiteSeerX   10.1.1.35.6645 . дои : 10.1016/0550-3213(92)90386-П .
• Вандерсикель, Неле (2011). Исследование действия Грибова–Цванцигера: от пропагаторов к глюболам (Диссертация). Гентский университет. arXiv : 1104.1315 . Бибкод : 2011arXiv1104.1315V .
• Вандерсикель, Неле; Цванцигер, Дэниел (2012). «Задача Грибова и динамика КХД». Физ. Представитель . 520 (4): 175–251. arXiv : 1202.1491 . Бибкод : 2012ФР...520..175В . doi : 10.1016/j.physrep.2012.07.003 . S2CID   118625692 .
• Цванцигер, Дэниел (1989). «Локальное и перенормируемое действие с грибовского горизонта» . Ядерная физика Б . 323 (3): 513–544. Бибкод : 1989НуФБ.323..513Z . дои : 10.1016/0550-3213(89)90122-3 .