Разница в различиях

Разница в различиях ( DID или ДД ) — статистический метод, используемый в эконометрике и количественных исследованиях в социальных науках, который пытается имитировать план экспериментального исследования с использованием данных наблюдательного исследования , изучая дифференциальный эффект лечения на «группу лечения» по сравнению с « контрольной группой » в естественный эксперимент . Он рассчитывает влияние лечения (т. е. объясняющей переменной или независимой переменной ) на результат (т. е. переменную ответа или зависимую переменную ) путем сравнения среднего изменения с течением времени конечной переменной для группы лечения со средним изменением. с течением времени для контрольной группы. Хотя он предназначен для смягчения воздействия внешних факторов и систематической ошибки отбора , в зависимости от того, как выбрана группа лечения, этот метод все равно может быть подвержен определенным систематическим ошибкам (например, регрессии среднего , обратной причинно-следственной связи и систематической ошибке опущенной переменной ).

В отличие от оценки временного ряда эффекта лечения на субъектов (которая анализирует различия во времени) или перекрестной оценки эффекта лечения (которая измеряет разницу между группами лечения и контрольной группой), разница в различиях использует панельные данные для измерить различия между группой лечения и контрольной группой в изменениях конечной переменной, которые происходят с течением времени.

Общее определение

Для определения разницы в различиях необходимы данные, измеренные в группе лечения и контрольной группе в два или более разных периода времени, в частности, по меньшей мере, за один период времени до «лечения» и, по меньшей мере, за один период времени после «лечения». В изображенном примере результат в группе лечения представлен линией P, а результат в контрольной группе представлен линией S. Переменная результата (зависимая) в обеих группах измеряется в момент времени 1, до того, как какая-либо группа получил лечение (т.е. независимую или объясняющую переменную), представленную точками P ₁ и S ₁ . Затем группа лечения получает или испытывает лечение, и обе группы снова измеряются во время 2. Не все различия между группой лечения и контрольной группой во время 2 (то есть разница между P ₂ и S ₂ ) можно объяснить как является эффектом лечения, поскольку группа лечения и контрольная группа не начинали работу в один и тот же момент времени 1. Таким образом, DID вычисляет «нормальную» разницу в переменной результата между двумя группами (разница, которая все равно была бы существуют, если ни одна из групп не проходила лечение), представлена ​​пунктирной линией Вопрос . что наклон от P1 _{(Обратите внимание ,} к Q такой же, как и наклон от к _S1 S2 . ₎ ) Эффект лечения — это разница между наблюдаемым результатом (P2 ₎ и «нормальным» результатом (разница между P2 и S2 _. и В).

Формальное определение

Рассмотрим модель

$y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I(\dots )+\varepsilon _{it}$

где $y_{it}$ является зависимой переменной для индивидуального $i$ и время $t$, $s(i)$ это группа, к которой $i$ принадлежит (т.е. к группе лечения или контрольной группе), и $I(\dots )$ является сокращением фиктивной переменной, равной 1, когда событие, описанное в $(\dots )$ истинно, и 0 в противном случае. В сюжете время против $Y$ по группе, $\gamma _{s}$ является вертикальной точкой пересечения графика для $s$, и $\lambda _{t}$ — временной тренд, общий для обеих групп в соответствии с предположением о параллельном тренде (см. «Допущения» ниже). $\delta$ эффект лечения, и $\varepsilon _{it}$ это остаточный срок .

Рассмотрим среднее значение зависимой переменной и фиктивных показателей по группам и времени:

${\begin{aligned}n_{s}&={\text{ number of individuals in group }}s\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s(i)}\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\D_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}}),\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}$

и предположим для простоты, что $s=1,2$ и $t=1,2$. Обратите внимание, что $D_{st}$ не является случайным; он просто кодирует то, как помечены группы и периоды. Затем

${\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}$

, что Тогда из предположения строгой экзогенности следует

$\operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).$

Без ограничения общности предположим, что $s=2$ это группа лечения, и $t=2$ это период после, тогда $D_{22}=1$ и $D_{11}=D_{12}=D_{21}=0$, давая оценку DID

${\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22}),$

который можно интерпретировать как лечебный эффект лечения, указанный $D_{st}$. Ниже показано, как эту оценку можно рассматривать как коэффициент в обычной регрессии наименьших квадратов. Модель, описанная в этом разделе, чрезмерно параметризована; Чтобы исправить это, один из коэффициентов для фиктивных переменных можно установить равным 0, например, мы можем установить $\gamma _{1}=0$.

Предположения

Иллюстрация предположения о параллельном тренде

Все предположения модели OLS в равной степени применимы и к DID. Кроме того, DID требует предположения о параллельном тренде . Предположение о параллельном тренде гласит, что $\lambda _{2}-\lambda _{1}$ одинаковы в обоих $s=1$ и $s=2$. Учитывая, что приведенное выше формальное определение точно отражает реальность, это предположение автоматически выполняется. Однако модель с $\lambda _{st}~:~\lambda _{22}-\lambda _{21}\neq \lambda _{12}-\lambda _{11}$ вполне может быть более реалистичным. Чтобы повысить вероятность подтверждения предположения о параллельном тренде, подход разницы в различиях часто сочетается с сопоставлением . Это предполагает «сопоставление» известных «лечебных» единиц с смоделированными контрфактическими «контрольными» единицами: характерно эквивалентными единицами, которые не получали лечения. Определив переменную результата как временную разницу (изменение наблюдаемого результата между периодами до и после лечения) и сопоставив несколько единиц в большой выборке на основе аналогичных историй болезни до лечения, результирующее ATE (т. е. ATT: среднее значение лечения) Эффект для пролеченного) обеспечивает надежную оценку эффекта разницы в различиях. Это служит двум статистическим целям: во-первых, при условии наличия ковариат до начала лечения предположение о параллельных тенденциях, скорее всего, будет выполнено; и, во-вторых, этот подход уменьшает зависимость от связанных предположений о пренебрежении, необходимых для правильного вывода.

Как показано справа, эффект лечения — это разница между наблюдаемым значением y значение y и тем, каким было бы при параллельных тенденциях, если бы не было лечения. Ахиллесова пята ДРИ — это когда в одной группе одновременно с лечением меняется что-то, кроме лечения, но не меняется в другой, что подразумевает нарушение предположения о параллельной тенденции.

Чтобы гарантировать точность оценки DID, предполагается, что состав особей двух групп остается неизменным с течением времени. При использовании модели DID могут возникнуть различные проблемы, которые могут поставить под угрозу результаты, например автокорреляция. и Ашенфельтерские провалы , необходимо учитывать и бороться с ними.

Выполнение

Метод DID можно реализовать в соответствии с таблицей ниже, где нижняя правая ячейка представляет собой оценщик DID.

$y_{st}$	$s=2$	$s=1$	Разница
$t=2$	$y_{22}$	$y_{12}$	$y_{12}-y_{22}$
$t=1$	$y_{21}$	$y_{11}$	$y_{11}-y_{21}$
Изменять	$y_{21}-y_{22}$	$y_{11}-y_{12}$	$(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22})$

Запуск регрессионного анализа дает тот же результат. Рассмотрим модель OLS

$y~=~\beta _{0}+\beta _{1}T+\beta _{2}S+\beta _{3}(T\cdot S)+\varepsilon$

где $T$ – фиктивная переменная для периода, равная $1$ когда $t=2$, и $S$ — фиктивная переменная для членства в группе, равная $1$ когда $s=2$. Составная переменная $(T\cdot S)$ — это фиктивная переменная, указывающая, когда $S=T=1$. Хотя здесь это не показано строго, это правильная параметризация формального определения модели ; более того, оказывается, что средние значения группы и периода в этом разделе относятся к оценкам параметров модели следующим образом:

${\begin{aligned}{\hat {\beta }}_{0}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{1}&={\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{2}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{3}&={\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0){\big ]},\end{aligned}}$

где ${\widehat {E}}(\dots \mid \dots )$ обозначает условные средние значения, рассчитанные по выборке, например, $T=1$ – показатель для последующего периода, $S=0$ является показателем для контрольной группы. Обратите внимание, что ${\hat {\beta }}_{1}$ является оценкой контрфактического, а не влияния контрольной группы. Контрольная группа часто используется в качестве замены контрфактического ( более см. в разделе «Метод синтетического контроля глубокое понимание этого вопроса »). Таким образом, ${\hat {\beta }}_{1}$ можно интерпретировать как влияние как контрольной группы, так и контрфактического вмешательства (лечения). Сходным образом, ${\hat {\beta }}_{2}$, из-за предположения о параллельной тенденции, также является той же самой разницей между экспериментальной и контрольной группой в $T=1$. Приведенные выше описания не следует истолковывать как предполагающие (средний) эффект только контрольной группы, поскольку ${\hat {\beta }}_{1}$или только разница между экспериментальной и контрольной группами в предпериодный период, для ${\hat {\beta }}_{2}$. Как и в случае с Кардом и Крюгером , ниже первая (временная) разница результирующей переменной $(\Delta Y_{i}=Y_{i,1}-Y_{i,0})$ устраняет необходимость во временном тренде (т.е. ${\hat {\beta }}_{1}$) для формирования несмещенной оценки ${\hat {\beta }}_{3}$, подразумевая, что ${\hat {\beta }}_{1}$ на самом деле не зависит от экспериментальной или контрольной группы. Следовательно, разница между экспериментальной и контрольной группами устранит необходимость в дифференцированном лечении (т. е. ${\hat {\beta }}_{2}$) для формирования несмещенной оценки ${\hat {\beta }}_{3}$. Этот нюанс важно понимать, когда пользователь считает, что существуют (слабые) нарушения параллельного пред-тренда, или в случае нарушения соответствующих допущений контрфактической аппроксимации, учитывая существование необычных потрясений или искажающих событий. Чтобы увидеть связь между этими обозначениями и предыдущим разделом, рассмотрим, как указано выше, только одно наблюдение за период времени для каждой группы, тогда

${\begin{aligned}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)&={\widehat {E}}(y\mid {\text{ after period, control}})\\[3pt]\\&={\frac {{\widehat {E}}(y\ I({\text{ after period, control}}))}{{\widehat {P}}({\text{ after period, control}})}}\\[3pt]\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i,{\text{after}}}I(i{\text{ in control}})}{n_{\text{control}}}}={\overline {y}}_{\text{control, after}}\\[3pt]\\&={\overline {y}}_{\text{12}}\end{aligned}}$

и так далее для других значений $T$ и $S$, что эквивалентно

${\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22}).$

А ведь именно такое выражение эффекта лечения было дано в формальном определении и в приведенной выше таблице.

Пример

Статья Карда и , опубликованная в Крюгера о минимальной заработной плате в Нью-Джерси 1994 году, считается одним из самых известных исследований DID; Позже Кард был удостоен Нобелевской премии по экономике 2021 года частично за эту и связанные с ней работы. Кард и Крюгер сравнили занятость в секторе быстрого питания в Нью-Джерси и Пенсильвании в феврале 1992 года и в ноябре 1992 года, после того как в апреле 1992 года минимальная заработная плата в Нью-Джерси выросла с 4,25 до 5,05 долларов. и после обработки не сможет контролировать пропущенные переменные, такие как погода и макроэкономические условия региона. Включив Пенсильванию в качестве контрольного показателя в модель «разница в различиях», можно неявно контролировать любые отклонения, вызванные переменными, общими для Нью-Джерси и Пенсильвании, даже если эти переменные не наблюдаются. Если предположить, что в Нью-Джерси и Пенсильвании наблюдаются параллельные тенденции с течением времени, изменение уровня занятости в Пенсильвании можно интерпретировать как изменение, которое произошло бы в Нью-Джерси, если бы они не увеличили минимальную заработную плату, и наоборот. Факты свидетельствуют о том, что повышение минимальной заработной платы не привело к снижению занятости в Нью-Джерси, вопреки тому, что предполагают некоторые экономические теории. В таблице ниже показаны оценки Card & Krueger влияния лечения на занятость, измеряемого как ЭПЗ (или эквиваленты полной занятости) . Кард и Крюгер подсчитали, что повышение минимальной заработной платы на 0,80 доллара в Нью-Джерси привело к увеличению занятости на 2,75 ЭПЗ.

	Нью-Джерси	Пенсильвания	Разница
февраль	20.44	23.33	−2.89
ноябрь	21.03	21.17	−0.14
Изменять	0.59	−2.16	2.75

Программный пример применения этого исследования можно найти в Stata -diff-. команде автор Хуан Мигель Вилья .

См. также

• Планирование экспериментов
• Средний эффект лечения
• Синтетический метод контроля

Дальнейшее чтение

• Ангрист, JD; Пишке, Дж. С. (2008). В основном безобидная эконометрика: спутник эмпирика . Издательство Принстонского университета. стр. 227–243. ISBN  978-0-691-12034-8 .
• Кэмерон, Артур С.; Триведи, Правин К. (2005). Микроэконометрика: методы и приложения . Издательство Кембриджского университета. стр. 768–772. дои : 10.1017/CBO9780511811241 . ISBN  9780521848053 . S2CID   120313863 .
• Имбенс, Гвидо В.; Вулдридж, Джеффри М. (2009). «Последние достижения в эконометрике оценки программ» . Журнал экономической литературы . 47 (1): 5–86. дои : 10.1257/jel.47.1.5 .
• Бакиджа, Джон; Хейм, Брэдли (август 2008 г.). «Как благотворительные пожертвования влияют на стимулы и доходы? Динамические панельные оценки, учитывающие предсказуемые изменения в налогообложении» . Рабочий документ NBER № 14237 . дои : 10.3386/w14237 .
• Конли, Т.; Табер, К. (июль 2005 г.). «Вывод с «разницей в различиях» с небольшим количеством изменений политики» . Технический рабочий документ NBER № 312 . дои : 10.3386/t0312 .

Внешние ссылки

• Разница в оценке разницы , веб-сайт Healthcare Economist