Личность Безу

Эта статья о теореме Безу в арифметике. Чтобы узнать о теореме Безу в алгебраической геометрии, см. теорему Безу .

В математике , тождество Безу (также называемое леммой Безу ), названное в честь Этьена Безу который доказал его для многочленов, представляет собой следующую теорему :

Тождество Безу . Пусть a и b — целые числа с наибольшим общим делителем d . Тогда существуют целые числа x и y такие, что ax + by = d . Более того, целые числа вида az + bt в точности кратны d .

Здесь наибольший общий делитель 0 и 0 принимается равным 0 . Целые числа x и y называются коэффициентами Безу для ( a , b ) ; они не уникальны. Пара коэффициентов Безу может быть вычислена с помощью расширенного алгоритма Евклида , и эта пара в случае целых чисел является одной из двух пар таких, что | х | ≤ | б / д | и | й | ≤ | а / д | ; равенство имеет место только в том случае, если одно из a и b кратно другому.

Например, наибольший общий делитель 15 и 69 равен 3, а 3 можно записать как комбинацию 15 и 69 как 3 = 15 × (−9) + 69 × 2 с коэффициентами Безу −9 и 2.

Многие другие теоремы элементарной теории чисел, такие как лемма Евклида или китайская теорема об остатках , вытекают из тождества Безу.

Домен Безу — это целостная область , в которой сохраняется тождество Безу. В частности, тождество Безу справедливо в областях главных идеалов . Таким образом, каждая теорема, вытекающая из тождества Безу, верна во всех областях главных идеалов.

Структура решений

Если a и b не равны нулю и одна пара коэффициентов Безу ( x , y ) была вычислена (например, с использованием расширенного алгоритма Евклида ), все пары могут быть представлены в виде $$\left(x-k{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),$$где k — произвольное целое число, d — наибольший общий делитель a и b , а дроби упрощаются до целых чисел.

Если a и b оба ненулевые и ни один из них не делит другой, то ровно две пары коэффициентов Безу удовлетворяют условиям $$|x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{and}}\quad |y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|.$$ Если a и b оба положительны, имеем $x>0$ и $y<0$ для одной из этих пар, и $x>0$ и $y<0$ для другого. Если a > 0 является делителем b (включая случай $b=0$), то одна пара коэффициентов Безу равна (1, 0) .

Это основано на свойстве евклидова деления : для двух ненулевых целых чисел c и d , если d не делит c , существует ровно одна пара ( q , r ) такая, что c = dq + r и 0 < r < | д | и еще один такой, что c = dq + r и −| д | < р < 0 .

Две пары малых коэффициентов Безу получаются из заданного ( x , y ) путем выбора в качестве k в приведенной выше формуле любого из двух целых чисел рядом с ⁠ х / б / д ⁠ .

Расширенный алгоритм Евклида всегда создает одну из этих двух минимальных пар.

Пример

Пусть a = 12 и b = 42 , тогда НОД (12, 42) = 6 . Тогда получаются следующие тождества Безу с коэффициентами Безу, написанными красным для минимальных пар и синим для остальных.

$${\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}$$

Если ( x , y ) = (18, −5) — исходная пара коэффициентов Безу, то ⁠ 18/42/6 ∈ [2 , k ⁠ 3] дает минимальные пары через = 2 , соответственно k = 3 ; то есть (18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1) и (18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1) .

Доказательство существования

Учитывая любые ненулевые целые числа a и b , пусть S = { ax + by | x , y ∈ Z и ax + by > 0} . Множество S непусто, поскольку оно содержит либо a , либо – a (при x = ±1 и y = 0 ). Поскольку S — непустое множество натуральных чисел, оно имеет минимальный элемент d = as + bt по принципу хорошего порядка . Чтобы доказать, что d является наибольшим общим делителем a и b , необходимо доказать, что d является общим делителем a и b , и что для любого другого общего делителя c имеет место c ≤ d .

Евклидово деление на a d как можно записать $$a=dq+r\quad {\text{with}}\quad 0\leq r<d.$$Остаток r находится в S ∪ {0} , потому что $${\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}$$Таким образом, r имеет вид ax + by и, следовательно, r ∈ S ∪ {0} . Однако 0 ≤ r < d , а d — наименьшее положительное целое число в S : поэтому остаток r не может находиться в S , поэтому r обязательно равно 0. Это означает, что d — делитель a . Аналогично d также является делителем b , и, следовательно, d является общим делителем a и b .

Теперь пусть c — любой общий делитель a и b ; то есть существуют u и v такие, что a = cu и b = cv . Таким образом, $${\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}$$То есть c является делителем d . Поскольку d > 0 , это означает, что c ≤ d .

Обобщения

Для трех и более целых чисел

Тождество Безу можно расширить до более чем двух целых чисел: если $$\gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d$$тогда есть целые числа $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ такой, что $$d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}$$имеет следующие свойства:

• d - наименьшее целое положительное число этой формы
• каждое число этой формы кратно d

Для полиномов

Основная статья: Наибольший общий делитель полинома § тождество Безу и расширенный алгоритм НОД

Тождество Безу не всегда справедливо для полиномов. Например, при работе в кольце полиномов целых чисел: наибольший общий делитель 2 x и x ² есть x , но не существует полиномов с целочисленными коэффициентами p и q, удовлетворяющих условию 2 xp + x ² q знак равно х .

Однако тождество Безу работает для одномерных многочленов над полем точно так же, как и для целых чисел. В частности, коэффициенты Безу и наибольший общий делитель могут быть вычислены с помощью расширенного алгоритма Евклида .

Поскольку общие корни двух многочленов являются корнями их наибольшего общего делителя, тождество Безу и основная теорема алгебры влекут за собой следующий результат:

Для одномерных многочленов f и g с коэффициентами в поле существуют многочлены a и b такие, что af + bg = 1 тогда и только тогда, когда f и g не имеют общего корня ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в поле комплексных чисел ).

Обобщение этого результата на любое количество полиномов и неопределённых чисел — это Nullstellensatz Гильберта .

Для главных идеальных областей

Как отмечалось во введении, тождество Безу работает не только в кольце целых чисел, но и в любой другой области главного идеала (PID).То есть, если R — это PID, a и b — элементы R , а d — наибольший общий делитель a и b , существуют элементы x и y тогда в R такие, что ax + by = d . Причина в том, что идеал Ra + Rb является главным и равен Rd .

Область целостности, в которой выполняется тождество Безу, называется областью Безу .

История

Французский математик Этьен Безу (1730–1783) доказал это тождество для многочленов. Это утверждение для целых чисел можно найти уже в работе более раннего французского математика Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581–1638).

См. также

• Теорема AF + BG - об алгебраических кривых, проходящих через все точки пересечения двух других кривых, аналог тождества Безу для однородных многочленов от трех неопределенных.
• Диофантово уравнение - Полиномиальное уравнение, целочисленные решения которого ищутся.
• Лемма Евклида . Простой делитель произведения делит один из множителей.
• Основная теорема арифметики : целые числа имеют уникальные простые факторизации.

Внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор личности Безу.
• Вайсштейн, Эрик В. «Личность Безу» . Математический мир .