Червеобразная цепь

( Модель червеобразной цепи WLC ) в физике полимеров используется для описания поведения полимеров полугибких : довольно жестких, с последовательными сегментами, направленными примерно в одном направлении, и с длиной персистенции в пределах нескольких порядков от длины цепи. Длина полимера. Модель WLC представляет собой непрерывную версию модели Кратки – Порода .

Элементы модели

Модель WLC предполагает постоянно гибкий изотропный стержень. ^[1]^[2]^[3] В этом отличие от модели свободно сочлененной цепи , которая является гибкой только между отдельными свободно шарнирно соединенными сегментами. Модель особенно подходит для описания более жестких полимеров, при этом последовательные сегменты демонстрируют своего рода кооперативность: соседние сегменты примерно выровнены. При комнатной температуре полимер принимает плавно изогнутую конформацию; в $T=0$ K, полимер принимает конформацию жесткого стержня. ^[1]

Для полимера максимальной длины $L_{0}$ , параметризуем путь полимера как $s\in (0,L_{0})$ . Позволять ${\hat {t}}(s)$ быть единичным касательным вектором к цепи в точке $s$ , и ${\vec {r}}(s)$ быть вектором положения вдоль цепи, как показано справа. Затем:

{\hat {t}}(s)\equiv {\frac {\partial {\vec {r}}(s)}{\partial s}}

и расстояние между концами

{\vec {R}}=\int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s)ds

. ^[1]

Энергию, связанную с изгибом полимера, можно записать как:

$E={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds$

где $P$ полимера - характерная длина персистентности , $k_{B}$ – постоянная Больцмана и $T$ это абсолютная температура. При конечных температурах расстояние между концами полимера будет значительно короче максимальной длины. $L_{0}$ . Это вызвано термическими флуктуациями, которые приводят к образованию спиральной хаотичной конфигурации ненарушенного полимера.

ориентации полимера корреляционную функцию Затем можно найти , которая следует экспоненциальному затуханию с константой затухания 1/P: ^[1]^[3]

$\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(0)\rangle =\langle \cos \;\theta (s)\rangle =e^{-s/P}\,$

Полезным значением является среднеквадратичное расстояние между концами полимера: ^[1]^[3]

$\langle R^{2}\rangle =\langle {\vec {R}}\cdot {\vec {R}}\rangle =\left\langle \int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s)ds\cdot \int _{0}^{L_{0}}{\hat {t}}(s')ds'\right\rangle =\int _{0}^{L_{0}}ds\int _{0}^{L_{0}}\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(s')\rangle ds'=\int _{0}^{L_{0}}ds\int _{0}^{L_{0}}e^{-\left|s-s'\right|/P}ds'$

$\langle R^{2}\rangle =2PL_{0}\left[1-{\frac {P}{L_{0}}}\left(1-e^{-L_{0}/P}\right)\right]$

Обратите внимание, что в пределе $L_{0}\gg P$ , затем $\langle R^{2}\rangle =2PL_{0}$ . Это можно использовать, чтобы показать, что сегмент Куна равен удвоенной длине персистентности червеобразной цепи. В пределе $L_{0}\ll P$ , затем $\langle R^{2}\rangle =L_{0}^{2}$ , а полимер демонстрирует поведение жесткого стержня. ^[2] На рисунке справа показан переход от гибкого к жесткому поведению по мере увеличения длины персистентности .

Биологическая значимость

Экспериментальные данные по растяжению ДНК фага лямбда показаны справа, при этом измерения силы определены путем анализа броуновских колебаний шарика, прикрепленного к ДНК. Для модели использовалась персистентная длина 51,35 нм и длина контура 1560,9 нм, которая изображена сплошной линией. ^[4]

Другие биологически важные полимеры, которые можно эффективно смоделировать как червеобразные цепи, включают:

двухцепочечная ДНК (персистентная длина 40-50 нм) и РНК (персистентная длина 64 нм) ^[3]^[5]
одноцепочечная ДНК (персистентная длина 4 нм) ^[6]
неструктурированная РНК (персистентная длина 2 нм) ^[7]
неструктурированные белки (персистентная длина 0,6-0,7 нм) ^[8]
микротрубочки (персистенционная длина 0,52 см) ^[9]
нитевидный бактериофаг ^[10]

Растягивание червеобразных цепных полимеров

При растяжении доступный спектр тепловых колебаний уменьшается, что вызывает появление энтропийной силы, действующей против внешнего растяжения.Эту энтропийную силу можно оценить, рассматривая полную энергию полимера:

$H=H_{\rm {elastic}}+H_{\rm {external}}={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds-xF$ .

Здесь длина контура представлена выражением $L_{0}$ , длина персистентности на $P$ , расширение представлено $x$ , а внешняя сила представлена выражением $F$ .

Лабораторные инструменты, такие как атомно-силовая микроскопия (АСМ) и оптический пинцет, использовались для характеристики зависимого от силы поведения биологических полимеров при растяжении. Формула интерполяции, которая аппроксимирует поведение силы-расширения с относительной ошибкой около 15%: ^[11]

{\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}

Более точное приближение поведения силы расширения с относительной погрешностью около 0,01%: ^[4]

{\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}+\sum _{i=2}^{i=7}\alpha _{i}\left({\frac {x}{L_{0}}}\right)^{i}

,

с $\alpha _{2}=-0.5164228$ , $\alpha _{3}=-2.737418$ , $\alpha _{4}=16.07497$ , $\alpha _{5}=-38.87607$ , $\alpha _{6}=39.49944$ , $\alpha _{7}=-14.17718$ .

Простое и точное приближение поведения силы расширения с относительной погрешностью около 1%: ^[12]

{\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-0.8\left({\frac {x}{L_{0}}}\right)^{2.15}

Также сообщалось об аппроксимации поведения силы растяжения с относительной ошибкой около 1%: ^[12]

{\frac {x}{L_{0}}}={\frac {4}{3}}-{\frac {4}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}T}}+1}}}}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\left(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}-1\right)^{2}}}+{\frac {\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{1.62}}{3.55+3.8\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{2.2}}}

Расширяемая модель червеобразной цепи

Упругой реакцией на растяжение нельзя пренебрегать: полимеры удлиняются под действием внешних сил. Это энтальпийное соответствие учитывается параметром материала $K_{0}$ , и система дает следующий гамильтониан для значительно удлиненных полимеров:

$H=H_{\rm {elastic}}+H_{\rm {enthalpic}}+H_{\rm {external}}={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}(s)}{\partial s^{2}}}\right)^{2}ds+{\frac {1}{2}}{\frac {K_{0}}{L_{0}}}x^{2}-xF$ ,

Это выражение содержит как энтропийный член, который описывает изменения конформации полимера, так и энтальпийный член, который описывает растяжение полимера под действием внешней силы. Было предложено несколько приближений поведения расширения силы в зависимости от приложенной внешней силы. Эти приближения сделаны для растяжения ДНК в физиологических условиях (рН около нейтрального, ионная сила примерно 100 мМ, комнатная температура) с модулем растяжения около 1000 пН. ^[13]^[14]

Для режима малой силы (F < около 10 пН) была выведена следующая интерполяционная формула: ^[15]

${\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}$ .

Для режима более высоких сил, когда полимер значительно растягивается, справедливо следующее приближение: ^[16]

$x=L_{0}\left(1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {k_{B}T}{FP}}\right)^{1/2}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)$ .

Что касается случая без расширения, то была выведена более точная формула: ^[4]

${\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-l\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+l+\sum _{i=2}^{i=7}\alpha _{i}\left(l\right)^{i}$ ,

с $l={\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}$ . $\alpha _{i}$ коэффициенты такие же, как в описанной выше формуле для модели WLC без эластичности.

Точные и простые формулы интерполяции для поведения силы-расширения и силы-расширения для модели расширяемой червеобразной цепи: ^[12]

{\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}-0.8\left({\frac {x}{L_{0}}}-{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{2.15}

{\frac {x}{L_{0}}}={\frac {4}{3}}-{\frac {4}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}T}}+1}}}}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\left(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}-1\right)^{2}}}+{\frac {\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{1.62}}{3.55+3.8\left({\frac {FP}{k_{B}T}}\right)^{2.2}}}+{\frac {F}{K_{0}}}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Дой и Эдвардс (1988). Теория динамики полимеров .
^ Jump up to: ^а ^б Рубинштейн и Колби (2003). Физика полимеров .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кирби, Б. Дж. Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бушиа, К. (1999). «Оценка персистентной длины червеобразной цепной молекулы на основе измерений силового растяжения» . Биофизический журнал . 76 (1): 409–413. Бибкод : 1999BpJ....76..409B . дои : 10.1016/S0006-3495(99)77207-3 . ПМЦ 1302529 . ПМИД 9876152 .
^ Дж. Абельс, Ф. Морено-Эрреро, Т. ван дер Хейден, К. Деккер и Н. Х. Деккер (2005). «Одномолекулярные измерения персистентной длины двухцепочечной РНК» . Биофизический журнал . 88 (4): 2737–2744. Бибкод : 2005BpJ....88.2737A . doi : 10.1529/biophysj.104.052811 . ПМЦ 1305369 . ПМИД 15653727 .
^ Бернар, Тинланд (1997). «Длина персистентности одноцепочечной ДНК». Макромолекулы . 30 (19): 5763. Бибкод : 1997МаМол..30.5763Т . дои : 10.1021/ma970381+ .
^ Чен, Хуэйминь; Мейсбургер, Стив П. (2011). «Длина персистенции одноцепочечной РНК и ДНК, зависящая от ионной силы» . ПНАС . 109 (3): 799–804. Бибкод : 2012PNAS..109..799C . дои : 10.1073/pnas.1119057109 . ПМК 3271905 . ПМИД 22203973 .
^ Л. Дж. Лапидус, П. Дж. Стейнбах, В. А. Итон, А. Сабо и Дж. Хофрихтер (2002). «Одномолекулярное влияние жесткости цепи на динамику образования петель в полипептидах. Приложение: Тестирование одномерной диффузионной модели для динамики пептидов». Журнал физической химии Б. 106 : 11628–11640. дои : 10.1021/jp020829v .
^ Гиттес, Ф (1993). «Изгибная жесткость микротрубочек и актиновых нитей, измеренная по термическим колебаниям формы» . Журнал клеточной биологии . 120 (4): 923–934. дои : 10.1083/jcb.120.4.923 . ПМК 2200075 . ПМИД 8432732 .
^ Халил, А.С.; Феррер, Дж. М.; Брау, Р.Р.; Коттманн, СТ; Норен, CJ; Ланг, MJ; Белчер, AM (2007). «Привязывание и растяжение одиночного бактериофага М13» . Труды Национальной академии наук . 104 (12): 4892–4897. дои : 10.1073/pnas.0605727104 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 1829235 . ПМИД 17360403 .
^ Марко, Дж. Ф.; Сиггия, Эд (1995). «Статистическая механика сверхспиральной ДНК». Физический обзор E . 52 (3): 2912–2938. Бибкод : 1995PhRvE..52.2912M . дои : 10.1103/PhysRevE.52.2912 . ПМИД 9963738 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Петросян, Р. (2017). «Улучшенные аппроксимации для некоторых моделей расширения полимеров». Рехол Акта . 56 : 21–26. arXiv : 1606.02519 . дои : 10.1007/s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .
^ Ван, Мишель Д .; Хун Инь; Роберт Ландик; Джефф Геллес; Стивен М. Блок (1997). «Растягивание ДНК оптическим пинцетом» . Биофизический журнал . 72 (3): 1335–1346. Бибкод : 1997BpJ....72.1335W . дои : 10.1016/S0006-3495(97)78780-0 . ПМЦ 1184516 . ПМИД 9138579 .
^ Муругесапиллай, Дивакаран; МакКоли, Мика Дж.; Махер, Л. Джеймс; Уильямс, Марк К. (2017). «Одномолекулярные исследования высокомобильных белков, изгибающих архитектурную ДНК группы В» . Биофизические обзоры . 9 (1): 17–40. дои : 10.1007/s12551-016-0236-4 . ПМЦ 5331113 . ПМИД 28303166 .
^ Марко, Дж. Ф.; Эрик Д. Сиггия (1995). «Растяжение ДНК». Макромолекулы . 28 (26): 8759–8770. Бибкод : 1995МаМол..28.8759М . дои : 10.1021/ma00130a008 .
^ Одейк, Тео (1995). «Жесткие цепи и нити под натяжением» . Макромолекулы . 28 (20): 7016–7018. Бибкод : 1995МаМол..28.7016О . дои : 10.1021/ma00124a044 .

Дальнейшее чтение

Кратки, О .; Пород, Г. (1949). «Röntgenuntersuruchung gelöster Fadenmoleküle». Коллекция химических предприятий Нидерландов . 68 (12): 1106–1123. дои : 10.1002/recl.19490681203 .
Марко, Дж. Ф.; Сиггия, Эд (1995). «Растяжение ДНК». Макромолекулы . 28 (26): 8759–8770. Бибкод : 1995МаМол..28.8759М . дои : 10.1021/ma00130a008 .
Бустаманте, К.; Марко, Дж. Ф.; Сиггия, Эд; Смит, С. (1994). «Энтропийная эластичность ДНК лямбда-фага» . Наука . 265 (5178): 1599–1600. Бибкод : 1994Sci...265.1599B . дои : 10.1126/science.8079175 . ПМИД 8079175 .
Ван, доктор медицины; Инь, Х.; Ландик, Р.; Геллес, Дж.; Блок, С.М. (1997). «Растягивание ДНК оптическим пинцетом» . Биофизический журнал . 72 (3): 1335–1346. Бибкод : 1997BpJ....72.1335W . дои : 10.1016/S0006-3495(97)78780-0 . ПМЦ 1184516 . ПМИД 9138579 .
К. Бушиа и др., «Оценка продолжительности персистенции червеобразной цепной молекулы на основе измерений силового растяжения» , Biophysical Journal , январь 1999 г., стр. 409-413, Том. 76, № 1

[Doi-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Дой и Эдвардс (1988). Теория динамики полимеров .

[Rubinstein-2] Jump up to: ^а ^б Рубинштейн и Колби (2003). Физика полимеров .

[Kirby-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Кирби, Б. Дж. Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах .

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бушиа, К. (1999). «Оценка персистентной длины червеобразной цепной молекулы на основе измерений силового растяжения» . Биофизический журнал . 76 (1): 409–413. Бибкод : 1999BpJ....76..409B . дои : 10.1016/S0006-3495(99)77207-3 . ПМЦ 1302529 . ПМИД 9876152 .

[dekker2005-5] Дж. Абельс, Ф. Морено-Эрреро, Т. ван дер Хейден, К. Деккер и Н. Х. Деккер (2005). «Одномолекулярные измерения персистентной длины двухцепочечной РНК» . Биофизический журнал . 88 (4): 2737–2744. Бибкод : 2005BpJ....88.2737A . doi : 10.1529/biophysj.104.052811 . ПМЦ 1305369 . ПМИД 15653727 .

[6] Бернар, Тинланд (1997). «Длина персистентности одноцепочечной ДНК». Макромолекулы . 30 (19): 5763. Бибкод : 1997МаМол..30.5763Т . дои : 10.1021/ma970381+ .

[7] Чен, Хуэйминь; Мейсбургер, Стив П. (2011). «Длина персистенции одноцепочечной РНК и ДНК, зависящая от ионной силы» . ПНАС . 109 (3): 799–804. Бибкод : 2012PNAS..109..799C . дои : 10.1073/pnas.1119057109 . ПМК 3271905 . ПМИД 22203973 .

[lapidus2002-8] Л. Дж. Лапидус, П. Дж. Стейнбах, В. А. Итон, А. Сабо и Дж. Хофрихтер (2002). «Одномолекулярное влияние жесткости цепи на динамику образования петель в полипептидах. Приложение: Тестирование одномерной диффузионной модели для динамики пептидов». Журнал физической химии Б. 106 : 11628–11640. дои : 10.1021/jp020829v .

[9] Гиттес, Ф (1993). «Изгибная жесткость микротрубочек и актиновых нитей, измеренная по термическим колебаниям формы» . Журнал клеточной биологии . 120 (4): 923–934. дои : 10.1083/jcb.120.4.923 . ПМК 2200075 . ПМИД 8432732 .

[10] Халил, А.С.; Феррер, Дж. М.; Брау, Р.Р.; Коттманн, СТ; Норен, CJ; Ланг, MJ; Белчер, AM (2007). «Привязывание и растяжение одиночного бактериофага М13» . Труды Национальной академии наук . 104 (12): 4892–4897. дои : 10.1073/pnas.0605727104 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 1829235 . ПМИД 17360403 .

[11] Марко, Дж. Ф.; Сиггия, Эд (1995). «Статистическая механика сверхспиральной ДНК». Физический обзор E . 52 (3): 2912–2938. Бибкод : 1995PhRvE..52.2912M . дои : 10.1103/PhysRevE.52.2912 . ПМИД 9963738 .

[Petrosyan-12] Jump up to: ^а ^б ^с Петросян, Р. (2017). «Улучшенные аппроксимации для некоторых моделей расширения полимеров». Рехол Акта . 56 : 21–26. arXiv : 1606.02519 . дои : 10.1007/s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .

[13] Ван, Мишель Д .; Хун Инь; Роберт Ландик; Джефф Геллес; Стивен М. Блок (1997). «Растягивание ДНК оптическим пинцетом» . Биофизический журнал . 72 (3): 1335–1346. Бибкод : 1997BpJ....72.1335W . дои : 10.1016/S0006-3495(97)78780-0 . ПМЦ 1184516 . ПМИД 9138579 .

[14] Муругесапиллай, Дивакаран; МакКоли, Мика Дж.; Махер, Л. Джеймс; Уильямс, Марк К. (2017). «Одномолекулярные исследования высокомобильных белков, изгибающих архитектурную ДНК группы В» . Биофизические обзоры . 9 (1): 17–40. дои : 10.1007/s12551-016-0236-4 . ПМЦ 5331113 . ПМИД 28303166 .

[15] Марко, Дж. Ф.; Эрик Д. Сиггия (1995). «Растяжение ДНК». Макромолекулы . 28 (26): 8759–8770. Бибкод : 1995МаМол..28.8759М . дои : 10.1021/ma00130a008 .

[16] Одейк, Тео (1995). «Жесткие цепи и нити под натяжением» . Макромолекулы . 28 (20): 7016–7018. Бибкод : 1995МаМол..28.7016О . дои : 10.1021/ma00124a044 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]