Продукт Кулкарни-Номизу

В математической области дифференциальной геометрии произведение Кулкарни -Номизу (названное в честь Равиндры Шрипада Кулкарни и Кацуми Номидзу ) определяется для двух (0, 2) -тензоров и дает в результате (0, 4) -тензор.

Определение

Если h и k являются симметричными (0, 2) -тензорами, то произведение определяется следующим образом: ^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):={}&h(X_{1},X_{3})k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})k(X_{1},X_{3})\\&{}-h(X_{1},X_{4})k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})k(X_{1},X_{4})\\[3pt]{}={}&{\begin{vmatrix}h(X_{1},X_{3})&h(X_{1},X_{4})\\k(X_{2},X_{3})&k(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}k(X_{1},X_{3})&k(X_{1},X_{4})\\h(X_{2},X_{3})&h(X_{2},X_{4})\end{vmatrix}}\end{aligned}}

где X _j — касательные векторы и $|\cdot |$ – определитель матрицы . Обратите внимание, что $h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k=k{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}h$ , как это ясно из второго выражения.

Что касается основы $\{\partial _{i}\}$ касательного пространства оно принимает компактный вид

(h~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~k)_{ijlm}=(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(\partial _{i},\partial _{j},\partial _{l},\partial _{m})=2h_{i[l}k_{m]j}+2h_{j[m}k_{l]i}\,,

где $[\dots ]$ обозначает полный символ антисимметризации .

Произведение Кулкарни–Номизу является частным случаем произведения градуированной алгебры.

\bigoplus _{p=1}^{n}S^{2}\left(\Omega ^{p}M\right),

где на простых элементах

(\alpha \cdot \beta ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}(\gamma \cdot \delta )=(\alpha \wedge \gamma )\odot (\beta \wedge \delta )

( $\odot$ обозначает симметричное произведение ).

Характеристики

Произведение Кулкарни–Номизу пары симметричных тензоров обладает алгебраическими симметриями тензора Римана . ^{[ 2 ]} Например, на пространственных формах (т.е. пространствах постоянной секционной кривизны ) и двумерных гладких римановых многообразиях тензор кривизны Римана имеет простое выражение через произведение Кулкарни – Номидзу метрики $g=g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}$ сам с собой; а именно, если обозначить через

\operatorname {R} (\partial _{i},\partial _{j})\partial _{k}={R^{l}}_{ijk}\partial _{l}

тензор (1, 3) -кривизны и

\operatorname {Rm} =R_{ijkl}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}\otimes dx^{l}

тензор кривизны Римана с $R_{ijkl}=g_{im}{R^{m}}_{jkl}$ , затем

\operatorname {Rm} ={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g,

где $\operatorname {Scal} =\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} ={R^{i}}_{i}$ скалярная кривизна и

\operatorname {Ric} (Y,Z)=\operatorname {tr} _{g}\lbrace X\mapsto \operatorname {R} (X,Y)Z\rbrace

— тензор Риччи , который в компонентах читается $R_{ij}={R^{k}}_{ikj}$ . Расширение продукта Кулкарни – Номидзу $g~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~g$ используя определение выше, получаем

R_{ijkl}={\frac {\operatorname {Scal} }{4}}g_{i[k}g_{l]j}={\frac {\operatorname {Scal} }{2}}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})\,.

Это то же выражение, что указано в статье о тензоре кривизны Римана .

Именно по этой причине его обычно используют для выражения вклада, который каждый из кривизны Риччи (или, скорее, тензора Схоутена ) и тензора Вейля вносит в кривизну многообразия риманова . Это так называемое разложение Риччи полезно в дифференциальной геометрии .

Когда существует метрический тензор g , произведение Кулкарни–Номизу g на самого себя является тождественным эндоморфизмом пространства 2-форм, Ω ²( M ) при отождествлении (с использованием метрики) кольца эндоморфизмов End(Ω ²( M )) с тензорным произведением Ω ²( М ) ⊗ Ω ²( М ).

Риманово многообразие имеет постоянную секционную кривизну k тогда и только тогда, когда тензор Римана имеет вид

R={\frac {k}{2}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g

где g — метрический тензор .

Примечания

^ Некоторые авторы включают общий фактор ⁠ 1/2 ⁠ определении . в
^ -тензор (0, 4) , удовлетворяющий свойству косой симметрии, свойству перестановочной симметрии и первому (алгебраическому) тождеству Бьянки (см. симметрии и тождества кривизны Римана ), называется алгебраическим тензором кривизны .

Ссылки

Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], том. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN. 978-3-540-15279-8 .
Галло С., Халлин Д. и Лафонтен Дж. (1990). Риманова геометрия . Спрингер Верлаг. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1] Некоторые авторы включают общий фактор ⁠ 1/2 ⁠ определении . в

[2] -тензор (0, 4) , удовлетворяющий свойству косой симметрии, свойству перестановочной симметрии и первому (алгебраическому) тождеству Бьянки (см. симметрии и тождества кривизны Римана ), называется алгебраическим тензором кривизны .

[ 1 ]

[ 2 ]